El software Graphic Linear Optimizer (GLP) es una excelente herramienta que permite resolver gráficamente modelos de Programación Lineal. GLP fue desarrollado bajo la supervisión del profesor Jeffrey Moore (Ph. D) perteneciente a la Universidad de Stanford en Estados Unidos. En el siguiente artículo se muestra la utilización de Graphic LP Optimizer o GLP versión 2.6 en la resolución de un modelo de Programación Lineal en 2 variables que aborda una problemática de planificación forestal.
Una compañía forestal tiene un predio de 100 hectáreas de bosques para explotar. Talar y dejar el suelo para uso agrícola tiene un costo inmediato de M$10 por hectárea y un retorno posterior de M$50 por hectárea. Una alternativa es talar y plantar pino que tiene un costo inmediato de M$50 por hectárea y un retorno posterior de M$120 por hectárea. De aquí que los beneficios netos de ambos planes sean de M$40 y M$70 por hectárea, respectivamente. Desafortunadamente, el segundo plan no puede ser aplicado a todo el terreno ya que sólo se dispone de recursos inmediatos por M$4000. Formule y resuelva gráficamente utilizando el software Graphic Linear Optimizer (GLP) un modelo de Programación Lineal que provea el plan más eficiente de explotación, indicando claramente la solución óptima y valor óptimo.
El modelo de Programación Lineal para la situación anterior es:
Donde representa las hectáreas para talar y dejar para uso agrícola y las hectáreas para talar y plantar pino. En la siguiente imagen se muestra un extracto de la interfaz del programa GLP donde al pie de la misma se observa la solución óptima del problema con y . El valor óptimo es 6.250 el cual se encuentra en la fila con la etiqueta PAYOFF.
El software GLP permite ajustar tanto la escala del gráfico como un zoom personalizado en cualquiera de los ejes de coordenadas. No obstante recomendamos hacer uso de la funcionalidad Auto Zoom que ajusta automáticamente la representación gráfica a una escala adecuada en relación a la magnitud de los datos de origen.
A continuación dejamos a nuestros usuarios un enlace de descarga del software Graphic Linear Optimizer o GLP para que puedan probar sus distintas funcionalidades.
Los problemas de optimización que modelan el desempeño de una red logística o cadena de suministro admiten distintas extensiones que permiten representar la particularidad de distintos escenarios. Es así como en el Blog hemos abordado anteriormente el Problema de Transporte que simplemente aborda el transporte de productos desde oferentes a demandantes al mínimo costo y una extensión al mismo como el Problema de Transporte con Transbordo que incorpora intermediarios en dicho proceso con un objetivo similar. En el siguiente artículo se propone un problema de transporte con transbordo que incorpora adicionalmente la decisión de utilizar centros de distribución que operan como intermediarios entre los oferentes (plantas) y los demandantes (mercados).
Una compañía tiene una red logística que consta de dos plantas y dos centros de distribución (CD). Una de las plantas tiene una capacidad de producción de 150.000 unidades semanales y la otra de sólo 95.000 unidades semanales. Por otra parte la capacidad de despacho en cada ruta es de 65.000 unidades semanales (por ejemplo de la primera planta al segundo CD no se pueden enviar más de 65.000 unidades, lo mismo ocurre desde cualquier CD a cualquier mercado).
La compañía debe entregar sus productos semanalmente en tres mercados diferentes con demandas de 50.000, 80.000 y 45.000, respectivamente (no considerar el valor de demanda de 35.000 para el Mercado 2 que se observa en la imagen a continuación). El siguiente diagrama muestra los costos unitarios de transporte entre las distintas ubicaciones (por ejemplo el costo de transportar una unidad de la planta 1 al centro de distribución 2 cuesta $5).
Existe un costo fijo semanal por concepto de arriendo asociado a utilizar un centro de distribución correspondiente a $2.000 y $3.000, para el centro de distribución 1 y 2, respectivamente. El pago de dicho costo fijo habilita al centro de distribución para recibir productos de las plantas y despachar productos a los mercados (en caso de no asumir el costo fijo de un centro de distribución, éste no se podrá utilizar).
Formule y resuelva un modelo de optimización que permita escoger la política de producción y transporte de los productos, además del arriendo de centros de distribución que minimice los costos totales.
Variables de Decisión:
Parámetros:
Función Objetivo: Se desea minimizar los costos totales asociados a la logística de transporte desde las plantas a los centros de distribución, como de éstos hacia los mercados. Adicionalmente los costos de arriendo de los centros de distribución que se decidan utilizar.
Restricciones:
Capacidad de Producción de las Plantas (Semanal): la cantidad de unidades que puede enviar cada planta a los distintos centros de distribución no puede superar la capacidad de producción de la respectiva planta.
Disponibilidad de los Centros de Distribución: un centro de distribución puede recibir unidades desde las plantas en la medida que se decida su utilización (arriendo). En dicho caso se podrá recibir como máximo 130.000 unidades (2*M), en caso contrario no recibe nada.
Demanda de los Mercados: cada mercado debe recibir las unidades que demanda semanalmente desde los centros de distribución.
Máximo a Despachar en cada Ruta: en cada ruta (combinación de transporte de una planta a un centro de distribución o de un centro de distribución a un mercado) no se podrá enviar más de 65.000 unidades (representado por el parámetro M).
Balance en los Centros de Distribución: la cantidad de unidades que recibe un centro de distribución desde las plantas debe ser igual a las unidades que éste envíe a los mercados.
No Negatividad: se debe respetar las no negatividad para las variables de decisión continuas que representan la logística de transporte (eventualmente se podría exigir adicionalmente que adopten valores enteros)
La implementación del problema anterior haciendo uso de OpenSolver, permite alcanzar los resultados que se observan a continuación:
En la solución óptima de este problema de red logística de transporte y localización de centros de distribución se deben arrendar los 2 centros de distribución. La planta 1 produce 110.000 unidades semanales de las cuales envía 65.000 al centro de distribución 1 y 45.000 unidades al centro de distribución 2. Por otra parte la planta 2 produce sólo 65.000 unidades las cuales envía en su totalidad al centro de distribución 2. El centro de distribución 1 envía 50.000 unidades al mercado 1 y 15.000 unidades al mercado 2 (en el caso del centro de distribución 2, éste envía 65.000 y 45.000 unidades al mercado 2 y 3, respectivamente). Se puede apreciar que se satisfacen las condiciones anteriormente expuestas y se minimiza el costo total semanal que corresponde a $790.000 (valor óptimo).
¿Quieres tener el archivo Excel con la implementación computacional en Solver de este ejemplo?
El coeficiente de correlación de Pearson o r es una prueba estadística que permite analizar la relación entre dos variables medidas en un nivel por intervalos o de razón, donde r mide el grado de asociación lineal entre dos variables X e Y. La prueba en sí no considera a una como independiente y a otra como dependiente, ya que no se trata de una prueba que evalúa causalidad. El coeficiente r de Pearson se estima de acuerdo a la siguiente fórmula:
El coeficiente r de puede variar de -1 a 1, donde el signo indica la dirección de la correlación y el valor numérico, la magnitud de la correlación. En este contexto se resumen algunos criterios de interpretación:
-1,00 = Correlación negativa perfecta
-0,90 = Correlación negativa muy fuerte
-0,75 = Correlación negativa considerable
-0,50 = Correlación negativa media
-0,10 = Correlación negativa débil
0,00 = No existe correlación lineal alguna entre las variables
0,10 = Correlación positiva débil
0,50 = Correlación positiva media
0,75 = Correlación positiva considerable
0,90 = Correlación positiva muy fuerte
1,00 = Correlación positiva perfecta
A continuación se presentan algunos ejemplos de diagramas de dispersión con diferentes valores del coeficiente de correlación de Pearson (poblacional).
Cuando elcoeficiente r de Pearson se eleva al cuadrado, el resultado indica el porcentaje de la variación de una variable debido a la variación de la otra y viceversa. Es decir, el coeficiente de determinación, r al cuadrado o r², es laproporción de la variación en Y explicada por X. Puede adoptar cualquier valor entre 0 y 1, inclusive.
Ejemplo: Una empresa comercial tiene establecimientos en varias ciudades de Chile. El gerente comercial planea lanzar al aire un anuncio comercial por radio en las estaciones locales, al menos dos veces antes de una promoción (liquidación) que empezará el Sábado y terminará el Domingo. Planea tener las cifras de las ventas de grabadoras de vídeos (Blu-Ray) del Sábado y Domingo en sus diferentes locales y compararlas con el número de veces que apareció el comercial en la radio. El objetivo fundamental de la investigación es determinar si existe relación entre el número de veces que se transmitió el anuncio y las ventas de sus productos. Los datos son:
Con la información de la tabla anterior se desea responder las siguientes interrogantes:
1. ¿Cuál es la variable dependiente?. La variable dependiente son las Ventas.
2. Trace el diagrama o gráfico de dispersión.
3. ¿Parece haber alguna relación entre X e Y?. Si existe una fuerte correlación positiva. 4. Determine el coeficiente de correlación. Para ello utilizaremos la herramienta de Análisis de Datos la cual se encuentra disponible en el menú de Datos de Excel. Luego seleccionamos Regresión según se observa a continuación:
En las opciones de regresión seleccionamos los datos de Ventas de Sábado y Domingo como Rango Y de entrada (variable dependiente) y los datos del N° de Anuncios corresponderá al Rango X de entrada (variable independiente).
Al seleccionar Aceptar se obtienen las estadísticas de la regresión donde el coeficiente de correlación de Pearson o r es de 0,93 (aproximado) y en consecuencia el coeficiente de determinación r² es de r²=(0,929516)²=0,864.
5. Evalúe la intensidad de la relación entre X e Y. 0,93 indica una correlación positiva fuerte entre el número de veces que sale publicado el anuncio, y las ventas.
Los problemas de optimización asociados a redes logísticas de distribución o cadenas de suministro, admiten distintas variantes que buscan representar los aspectos más relevantes de estas problemáticas. Tal es el caso del problema de localización y transporte, problema de producción y transporte, problema de transporte con transbordo, entre otros. En el siguiente artículo presentamos la formulación y resolución con Solver de Excel de un problema de arriendo de camiones y distribución de carga, que por su naturaleza se puede clasificar como un modelo de Programación Entera Mixta.
Una empresa debe transportar grava a tres construcciones. La empresa puede comprar hasta 18 toneladas de grava al norte de la ciudad (Foso 1) y hasta 14 toneladas al sur de la ciudad (Foso 2). Se necesitan 10, 5 y 10 toneladas de grava en las construcciones 1, 2 y 3, respectivamente. Los costos de transporte por tonelada desde cada foso a cada construcción y el precio de compra por tonelada de material en cada foso están dados en la siguiente tabla:
Adicionalmente, suponga que los camiones necesarios para el transporte de dicho material deben ser arrendados. Cada camión puede ser usado para llevar grava de un solo foso a una sola construcción. El arriendo de un camión es de $5 por camión. Un camión puede transportar 5 toneladas pero no tiene que ir necesariamente lleno. Formule y resuelva un modelo de programación lineal entera-mixta que permita tomar una decisión óptima del número de camiones a usar y la cantidad de material que va a transportar cada uno.
Variables de Decisión: Se debe establecer las toneladas de grava a transportar desde cada foso a cada construcción y adicionalmente especificar la cantidad de camiones utilizados para transportar grava para cada combinación origen destino.
Función Objetivo: Se busca minimizar los costos totales de compra, la logística de distribución y arriendo de camiones. En color amarillo se observan los costos de compra, con color verde los costos de transporte y con color celeste el costo de arriendo de los camiones.
Restricciones: A continuación se detallan las condiciones que deben satisfacer las variables de decisión para este problema.
Demanda de las Construcciones: cada construcción (1, 2 y 3, respectivamente) debe recibir las toneladas de grava.
Capacidad de Abastecimiento de los Fosos: la cantidad de toneladas de grava que cada foso puede despachar a las distintas construcciones no puede superar el máximo de compra.
Capacidad de Transporte de los Camiones: cada camión puede transportar como máximo 5 toneladas de grava. En consecuencia las toneladas de grava que como máximo se pueden transportar en cada combinación origen destino estará limitada a la cantidad de camiones contratados en dicho trayecto. Por ejemplo, si se arriendan 2 camiones para transportar grava desde el foso 1 a la construcción 1 (el lector podrá apreciar que en efecto eso es lo que sucede en la solución óptima que se detalla más abajo) la cantidad máxima a transportar serán 10 toneladas.
No Negatividad y Enteros: el número de camiones contratados para transportar grava en cada combinación origen destino necesariamente deberá ser un número entero mayor o igual a cero.
No Negatividad: las toneladas de grava a transportar desde cada foso a cada construcción deberá respetar las condiciones de no negatividad (se permite transportar fracciones de tonelada de grava).
Al implementar el modelo de optimización anterior haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo.
Se observa que se arriendan en total 5 camiones (por un total de $25 por concepto de costo de arriendo): 2 camiones para llevar grava del foso 1 a la construcción 1 (transportando 10 toneladas), un camión para llevar grava del foso 2 a la construcción 2 (transportando 5 toneladas), un camión para transportar grava del foso 1 a la construcción 3 (transportando 5 toneladas) y un camión del foso 2 a la construcción 3 (transportando 5 toneladas). En consecuencia el costo de transporte total es de $90, asumiendo adicionalmente un costo de compra de $270. Finalmente el costo total (valor óptimo) es de $385 (sumatoria de los costos de arriendo de camiones, costo de transporte y costo de compra).
La Raíz del Error Cuadrático Medio o RMSE (Root Mean Squared Error) es una medida de desempeño cuantitativa utilizada comúnmente para evaluar métodos de pronóstico de demanda. En este contexto RMSE consiste en la raíz cuadrada de la sumatoria de los errores cuadráticos. En comparación con la Desviación Media Absoluta o MAD, RMSE amplifica y penaliza con mayor fuerza aquellos errores de mayor magnitud. La fórmula de cálculo del RMSE se muestra a continuación:
Al utilizar el método de pronostico de Suavizamiento Exponencial con α=0,8439, se puede obtener fácilmente la Raíz del Error Cuadrático Medio (RMSE) con la ayuda de Excel tal como se muestra a continuación:
En detalle el cálculo del RMSE consiste en:
Lo cual corrobora los resultados alcanzados en su momento con Crystal Ball:
representa las hectáreas para talar y dejar para uso agrícola y 
las hectáreas para talar y plantar pino. En la siguiente imagen se muestra un extracto de la interfaz del programa GLP donde al pie de la misma se observa la solución óptima del problema con 
y 
. El valor óptimo es 6.250 el cual se encuentra en la fila con la etiqueta PAYOFF.
