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Cálculo del Costo de Mano de Obra por unidad de Producto

Un aspecto clave en todo proceso productivo es estimar los costos asociados a la fabricación de los distintos productos el cual esta compuesto por una sumatoria de distintos costos asociados al abastecimiento de materias primas, energía, insumos y servicios generales, mano de obra, etc. En este contexto en el siguiente artículo discutiremos 2 enfoques para el cálculo del costo de mano de obra (trabajo) por unidad de producto el cual entrega resultados disimiles.

Ejemplo Cálculo del Costo de Mano de Obra por unidad de Producto

Consideremos un proceso simple de fabricación a inventario (make to stock) que consta de 3 etapas secuenciales según se detalla en el siguiente diagrama de procesos y donde en cada etapa trabaja un trabajador que recibe un salario de US$12 la hora.

La capacidad del proceso es de 4[unidades/hora] lo cual esta dado por la Etapa A (cuello de botella), un tiempo de ciclo promedio de 15[minutos/unidad] o equivalentemente 1/4[hora/unidad] y un tiempo de flujo de 30[min]. Una descripción de cómo obtener estos indicadores se puede consultar en el artículo Cálculo del Tiempo de Ciclo, Capacidad de Producción y Tiempo de Flujo de una Línea de Ensamble.

Un enfoque de cálculo para el costo de la mano de obra por unidad de producto es considerar el tiempo de flujo, es decir, el tiempo mínimo que una unidad de producto tarda en pasar por el sistema (etapas A, B y C). En este sentido si el costo de una hora de trabajo es de US$12, entonces 30[minutos] (o 1/2[hora]) cuesta US$12*0,5=US$6,0.

Una alternativa al procedimiento anterior es considerar la capacidad del proceso para prorratear los costos que se incurren cada hora por concepto del trabajo. De esta forma el costo unitario es 12*3[US$/hora]/4[unidades/hora]=9[US$/unidad].

Las diferencias en los resultados alcanzados para los 2 procedimientos se debe al tiempo ocioso o tiempo muerto. En efecto resulta ser un escenario más realista el considerar que se incurre en un costo de US$36 por cada hora (por concepto de salarios) independiente de la utilización de los trabajadores. La siguiente Carta Gantt da cuenta de esta situación donde se puede observar que en particular los trabajadores de las Etapas B y C tienen tiempos muertos de 5 y 10 minutos, respectivamente, por cada unidad de producto terminado. No obstante, al considerar la capacidad del proceso en el cálculo del costo de la mano de obra se asume que el sueldo por hora se paga a todo evento.

Características de un Sistema de Revisión Periódica de Inventarios o Modelo P

Un sistema de revisión periódica del inventario (conocido también como modelo P) es aquel en el cual el inventario de un ítem es revisado cada intervalos de tiempo fijos, y se realiza una orden por el monto apropiado, es decir, el tamaño de pedido varia con el comportamiento de la demanda. En relación a lo anterior la pregunta relevante es ¿cuánto ordenar?. Una de sus ventajas potenciales es que permite combinar ordenes a un mismo proveedor.

El siguiente diagrama permite esquematizar la sistematización de un modelo de gestión de inventarios de revisión periódica o modelo P. En el sistema de periodo fijo, se toma la decisión de hacer un pedido sólo en algunos momentos, como cada semana o cada mes.

Generalmente un sistema de revisión periódica exige un nivel más alto de inventario de seguridad en comparación a un sistema de revisión continua (como por ejemplo en el caso del modelo EOQ). En este contexto y para tener una mejor idea de la evolución de los niveles de inventario en el tiempo para el modelo P se presenta el siguiente gráfico:

Por ejemplo, consideremos que el vendedor que abastece de los productos de inventarios a un minorista toma las órdenes de compra de éste todos los días Lunes a las 10:00 de la mañana. Asumamos adicionalmente que el Tiempo de Reposición o Lead Time (L) es fijo y corresponde a 3 días, es decir, todos los pedidos que se realizan el día Lunes son recibidos exactamente 72 horas después (día Jueves). El gráfico anterior muestra que los pedidos son realizados cada intervalos de tiempo fijos (T) y la reposición tarda exactamente L unidades de tiempo en ser recepcionadas. Notar también que el tamaño de los pedidos es variable y esta influenciado por el volumen de productos que se dispone en inventarios al momento de emitir el pedido. Luego bajo este esquema no siempre se podrá abastecer la totalidad de la demanda durante el período de reposición (por cierto tampoco se puede en un sistema de revisión continua por lo cual lo mejor que se puede hacer es establecer niveles de servicio instock como meta para el cálculo en este caso del Punto de Reposición o ROP).

Ejemplo Modelo P (Revisión Periódica) con Inventarios de Seguridad: La demanda diaria de un producto es de 10 unidades y la desviación estándar es de 3 unidades. El nivel de servicio instock que se desea satisfacer con el inventario es de un 98%. El inventario inicial es de 150 unidades. ¿Cuántas unidades se deben pedir?.

Consideremos la siguiente fórmula que describe el cálculo de la cantidad de pedido q para el modelo P:

En primer lugar calculamos el inventario de seguridad $z\sigma _{T+L}$ . La desviación estándar durante el período $T+L$ es la raíz cuadrada de la suma de las varianzas para cada día. Luego, $\sigma _{T+L}=\sqrt{(T+L)\sigma _{d}^{2}}$ o:

$\sigma _{T+L}=\sqrt{(T+L)\sigma _{d}^{2}}=\sqrt{(30+14)3^{2}}=19,90$

Finalmente el tamaño de pedido es de 331 unidades en este período de revisión.

$q=\bar{d}(T+L)+\sigma _{T+L}-I=10(30+14)+2,05(19,90)-150=331[unidades]$

Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ)

En el modelo de Tamaño Económico de Pedido o EOQ (de sus denominación del inglés Economic Order Quantity) y considerando sus supuestos simplificadores (entre otros demanda constante y conocida y tiempo de reposición o Lead Time constante y conocido) los costos significativos son los costos de mantener el inventario y los costos de hacer el pedido.

Sea D la demanda anual (o la demanda durante el horizonte de evaluación que corresponda), S el costo de emisión de pedidos que se asume que es fijo independiente del tamaño del pedido y H el costo unitario de almacenamiento (anual o según corresponda), la función de costos totales se expresa de la siguiente forma:

Se puede observar que desde el punto de vista de los costos de almacenamiento existe un incentivo a pedidos de menor tamaño para satisfacer la demanda. No obstante los costos de emisión de pedidos son crecientes cuando los pedidos son de menor tamaño dado que se requerirá de un mayor número de pedidos para satisfacer la demanda. Este efecto contrapuesto de los costos de almacenamiento y emisión de pedidos para distintos tamaños de pedido se observa en la siguiente gráfica:

En relación a lo anterior la solución del modelo EOQ busca encontrar el tamaño óptimo de pedido que permite minimizar la función de costos totales (que es la suma de los costos de almacenamiento y costos de emisión). Para encontrar dicho Q óptimo derivamos la función de costos totales en términos del tamaño de pedido e igualamos a cero, para luego encontrar la solución EOQ. A continuación la deducción de la fórmula del modelo EOQ:

Notar que el término C*D marcado con color rojo en la fórmula anterior representa el costo asociado a la compra de las unidades que permite satisfacer la demanda D. Si se asume que no hay descuentos por cantidad dicho costo de compra no discrimina entre distintas alternativas de tamaño de pedido. Por el contrario bajo el escenario de que existe descuentos por cantidad entonces el costo total de compra se verá afectado para distintos tramos de pedido que generan cambios en los precios unitarios. Recomendamos al lector revisar en este caso el modelo EOQ con Descuentos por Cantidad.

Ejemplo: LubeCar se especializa en cambios rápidos de aceite para motor de automóvil. La empresa compra aceite para motor a granel a un distribuidor a $2,5 por galón. En el servicio se atienden unos 150 autos diarios y cada cambio de aceite requiere de 1,25 galones. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0,02 por galón y por día. También, el costo de emitir un pedido de aceite a granel es de $20. Considere que el tiempo de entrega del distribuidor (tiempo de espera) es de 2 días. Asuma que un año típico tiene 250 días.

Determine la cantidad óptima de pedido utilizando EOQ:

D=1,25[galones/auto]*150[autos/día]*250[días/año]=46.875[galones/año]. Por tanto la cantidad óptima a pedir es:

Determine el costo total anual para LubeCar:

El lector podrá observar que el tamaño óptimo de pedido de $Q^{*}=612[galones/pedido]$ es el que minimiza el valor de la función de costos totales (se incluye el costo de la compra). Para corroborar el resultado anterior y con la ayuda de Excel se evalúan otras alternativas de pedido que otorgan costos anuales mayores que la cantidad económica de pedido.

Efecto de un Dato Atípico u Outlier en un Pronóstico de Demanda

Un dato atípico conocido comúnmente también como outlier es aquel cuyo valor es numéricamente distante del resto de los datos. Esta situación en particular se puede ver reflejada en una serie de tiempo cuando la variable en cuestión por alguna causa extraordinaria tiene un comportamiento que escapa a los parámetros de comportamiento usuales. Por ejemplo, tal podría ser el caso del shock de demanda por mascarillas luego de un brote de influenza, la demanda de agua en bidones luego de una emergencia provocada por causas naturales (terremoto, aluvión, etc), la demanda de pilas (baterías) y linternas luego de un terremoto, etc.

En el siguiente artículo presentamos una serie de tiempo que corresponde a la demanda de un producto determinado donde en el mes de Julio se observa una demanda que numéricamente escapa de forma significativa respecto al resto de los datos. Para dicha demanda real se ha aplicado el método de Suavizamiento Exponencial para distintos valores de alfa (0,1; 0,5 y 0,9) como también el método de Medias Móviles para 3 y 5 períodos (n=3 y n=5) obtenidos con la ayuda de Excel.

Para favorecer la interpretación de los resultados y por separado se muestra el ajuste de los métodos de pronóstico de demanda anteriormente identificados en las siguientes gráficas:

En el caso del método de Suavizamiento Exponencial se puede observar que mientras mayor sea el valor de alfa el pronóstico reacciona con mayor fuerza a la presencia del dato atípico u outlier. Adicionalmente y luego del efecto del outlier el pronóstico se ajusta nuevamente a valores cercanos a los que se observan en la serie de tiempo. Notar adicionalmente que en los casos de α=0,1 y α=0,5 los pronósticos superan la demanda real en el resto de los períodos, es decir, de Agosto a Diciembre.

Por otra parte y luego de pronosticar la demanda utilizando el método de Media Móvil Simple, se observa que a medida que mayor sea el valor de n los efectos del outlier tienden a perpetuarse en el tiempo. En contraste a lo anterior, al seleccionar n=3 el efecto del outlier se ve reflejado hasta la última oportunidad en que dicho dato real es considerado para efectos de pronósticos, es decir, en la proyección del mes de Octubre (que corresponde al promedio simple de la demanda real de Julio, Agosto y Septiembre).

¿Qué hacer con el outlier?. No es una pregunta con una respuesta sencilla. Una primera recomendación es buscar información complementaria que ayude a explicar las razones de este comportamiento de la demanda que escapa a lo usual. Efectivamente y según los ejemplos presentados anteriormente es difícil extrapolar a futuro un comportamiento que obedece sólo a una causa excepcional. Ahora bien, un dato atípico en casos puntuales puede suponer un cambio sustantivos en las preferencias de los clientes que eventualmente se podría sostener en el tiempo. En dicho caso omitir el dato atípico para efectos de proyección no sería recomendable.

Criterios para la Rapidez de Convergencia del Método Simplex

En un artículo previo respecto a Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con el Método Simplex de 2 Fases, se consideró en una iteración intermedia (es decir, en un tableau que representa una solución básica factible no óptima) la entrada a la base de una variable no básica que no era aquella con el costo reducido más negativo. Dicha situación por cierto no tuvo incidencia respecto a alcanzar los resultados del modelo en cuanto a su solución óptima y valor óptimo, no obstante, dicha situación afecto la rapidez de convergencia del Método Simplex.

Entendemos por rapidez de convergencia en este caso, el número de iteraciones necesarias en la aplicación del Método Simplex para, comenzando en una solución básica factible inicial llegar a una solución básica factible óptima.

Se debe destacar que si bien es frecuente que en la bibliografía básica asociada a cursos de Investigación de Operaciones se considere como criterio privilegiar la entrada a la base de aquella variable no básica con el costo reducido más negativo esto NO garantiza un menor número de iteraciones en el Método Simplex.

Ejemplo Criterio Costo Reducido Más Negativo en el Método Simplex

Como forma de corroborar lo anterior retomaremos el modelo de Programación Lineal que fue presentado en el artículo mencionado anteriormente:

La resolución del problema anterior se aborda a través del Método Simplex de 2 Fases, incorporando $X_{4}$ y $X_{5}$ como variables de exceso y $X_{6}$ y $X_{7}$ como variables auxiliares, de las restricciones 1 y 2, respectivamente. Esto da origen al siguiente problema de la Fase 1.

Luego de algunas iteraciones del Método Simplex se alcanza la siguiente tabla:

A continuación podríamos seleccionar como variable que ingresa a la base tanto a $X_{1}$ , $X_{2}$ o $X_{4}$ , al tener cada una de estas variables no básicas un costo reducido negativo.

Luego, y según lo descrito anteriormente, podemos privilegiar la entrada a la base de la variable $X_{2}$ que tiene el costo reducido más negativo. En consecuencia el mínimo cuociente se calcula en la columna de la variable $X_{2}$ , siendo éste: $Min\begin{Bmatrix}\frac{1/4}{1/4};\frac{1}{3/2}\end{Bmatrix}=2/3$ , por tanto $X_{1}$ deja la base. Se actualiza la tabla con esta nueva información obteniendo lo siguiente que representa el fin de la Fase I:

Eliminamos las columnas de las variables auxiliares $X_{6}$ y $X_{7}$ y adicionalmente actualizamos el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original.

Luego llevamos a cero los costos reducidos de las variables $X_{3}$ y $X_{2}$ :

Ahora entra la variable $X_{1}$ a la base. El criterio de factibilidad o mínimo cuociente determina que $Min\begin{Bmatrix}\frac{1/12}{1/3};\frac{2/3}{2/3}\end{Bmatrix}=1/4$ la variable $X_{3}$ deja la base. Se actualiza la tabla:

Que corresponde a la tabla final de la Fase II donde $X_{1}=1/4$ , $X_{2}=1/2$ y $X_{3}=0$ y que por cierto demuestra la equivalencia en los resultados obtenidos cuando en la tabla intermedia de la Fase I se ingresa a la base a la variable $X_{1}$ . Cabe destacar que una forma alternativa de resolver el problema anterior que evita la aplicación de las 2 Fases del Método Simplex es a través del Método Simplex Dual.

Ejemplo Criterio Costo Reducido Negativo en el Método Simplex

Consideremos el siguiente problema de Programación Lineal:

El lector puede corroborar que luego de llevar a la forma estándar el problema anterior, pasando a minimización la función objetivo y agregando como variables de holgura las variables $x_{3}$ y $x_{4}$ se dispone de una solución básica factible inicial en el origen (vértice A de la siguiente gráfica).

Si se privilegia la entrada a la base de aquella variable no básica con el costo reducido más negativo se debería seleccionar inicialmente la variable $x_{2}$ la cual permite concluir con las iteraciones del Método Simplex y alcanzar la solución óptima al cabo de 3 iteraciones (vértice D). Por el contrario si inicialmente se ingresa a la base la variable $x_{1}$ se alcanza la solución óptima al cabo de 1 iteración. Se recomienda al lector verificar estos resultados.

Este sencillo ejemplo demuestra que NO necesariamente garantiza una mayor rapidez de convergencia del Método Simplex el considerar como criterio de entrada a la base aquella variable no básica con el costo reducido más negativo.