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XI Congreso Chileno de Investigación Operativa Óptima 2015 en Antofagasta

Entre el 18 y el 21 de Octubre de 2015 se llevará a cabo en la ciudad de Antofagasta el XI Congreso Chileno de Investigación Operativa Óptima 2015. En esta oportunidad el congreso es organizado en conjunto por la Universidad Católica del Norte y el Instituto Chileno de Investigación Operativa (ICHIO).

Según consta en la página web oficial del Congreso www.optima2015.cl, el objetivo es proporcionar un foro para que académicos, investigadores y profesionales puedan presentar sus trabajos, intercambiar ideas y comentar experiencias en todos los ámbitos de la Investigación Operativa.

A la fecha de este artículo la programación se encuentra en el segundo llamado para enviar resúmenes y trabajos completos antes del 31 de Mayo de 2015 los que posteriormente serán sometidos para su revisión.

Como es tradicional en cada versión del Congreso Óptima, en este año se cuenta con un destacada nómina de conferencistas, como así también los distintos comités que conforman el programa. Adicionalmente en la página web del evento se detallan datos de interés respecto a hotelería, transporte y turismo de utilidad para los participantes del congreso.

Problema de Generación Eléctrica mediante Programación Entera Mixta

Una de las particularidades de los modelos de Programación Entera es que permiten incorporar en la representación matemática costos fijos que no son proporcionales al nivel de actividad en un sistema. Tal sería el caso, por ejemplo, de una empresa que desea determinar lotes de compra de un producto dado, en los que incurre en costos fijos asociados a la gestión de compra (independiente del volumen de unidades compradas dentro de los límites máximos impuestos por el proveedor) y costos variables (proporcionales) a la cantidad de unidades compradas. En este contexto se presenta a continuación un problema de generación de energía eléctrica donde se debe determinar la utilización y actividad de generadores que busca satisfacer requerimientos proyectados de energía de un día particular.

EGE abastece de electricidad a tres ciudades. La compañía dispone de cuatro generadores que son utilizados para proporcionar la potencia eléctrica requerida. El generador principal es empleado las 24 horas del día y no es materia de planificación en este problema.

Los otros tres generadores (que llamaremos 1, 2 y 3) están disponibles para generar la potencia adicional cuando se requiera. Considerar que se incurre en un costo de arranque cada vez que uno de estos generadores comienza a operar.

Los costos de arranque son de $6.000 para el generador 1, de $5.000 para el generador 2 y de $4.000 para el generador 3. Estos generadores se utilizan (por separado) únicamente de la siguiente manera: se puede poner en operación a las 6am y funcionar 8 horas (hasta las 2pm) o 16 horas (hasta las 10pm), o puede ponerse en funcionamiento a las 2pm y funcionar 8 horas (hasta las 10pm).

Los pronósticos para mañana indican la necesidad de contar con 3.200 MW adicionales entre las 6am y las 2pm, necesidad que se eleva a 5.700 MW entre las 2pm y las 10pm. El generador 1 puede proporcionar hasta 2.400 MW, el 2 hasta 2.100 MW y el 3 hasta 3.300MW. El costo por MW utilizado durante un periodo de 8 horas es de $8 en el caso del generador 1, $9 en el de el generador 2 y $7 en el caso del generador 3.

Formule y resuelva un modelo de Programación Entera Mixta para determinar los niveles óptimos de operación de cada generador para el día de mañana que minimice los costos totales satisfaciendo los requerimientos adicionales de potencia eléctrica.

Variables de Decisión:

Si bien se podría considerar cierta similitud en la definición de $Y_{it}$ y $Z_{it}$ , su utilización se justifica dado que el costo fijo de arranque se debe asociar precisamente a dicho concepto (puesta en marcha de un generador) el cual se produce (en caso de ser utilizado) sólo una vez durante el período de planificación.

Función Objetivo:

Se busca minimizar los costos fijos asociados al arranque de los generadores más el costo variable que resulte de la cantidad de MW aportados por éstos al sistema en los 2 tramos o períodos de planificación.

Restricciones:

Capacidad Generadores: La cantidad de MW que aporta cada generador al sistema no puede superar su capacidad máxima disponible (en caso que se emplee) en cada uno de los períodos de planificación.

Demanda MW: En conjunto los generadores deben aportar la cantidad de MW adicionales para cada tramo horario, es decir, de 6am a 2pm y de 2pm a 10pm.

Relación Arranque Funcionamiento: Un generador sólo podrá ser empleado si arranco en el período de planificación actual o inmediatamente anterior, en caso contrario el generador no arranca (y por tanto no funciona en ninguno de los 2 períodos).

No Negatividad: La cantidad que aporta cada generador en los 2 tramos horarios de 8 horas debe ser mayor o igual a 0 (MW).

Al implementar el modelo anterior haciendo uso de Solver se alcanzan los siguientes resultados:

Notar que sólo arranca el generador 1 (a las 2 pm) y el generador 3 (a las 6 am). El generador 2 no arranca (y en consecuencia no se emplea) durante todo el día. El generador aporta 2.400 MW de 2pm a 10 pm, en tanto el generador 3 aporta con 3.200 MW de 6 am a 2 pm y 3.3o0 MW de 2 pm a 10 pm, respetando en cada caso las capacidadidas disponibles y satisfaciendo los requerimientos de demanda. Finalmente el costo óptimo (mínimo) es de $74.700.

Cálculo del Tiempo de Ciclo, Capacidad de Producción y Tiempo de Flujo de una Línea de Ensamble

Calcular los indicadores básicos de desempeño de un proceso productivo como lo es el tiempo promedio de ciclo, la capacidad máxima de producción y el tiempo de flujo de una unidad de producto en un proceso con actividades que se realizan en forma simultanea, puede resultar ser un trabajo más complejo en comparación a un proceso que sólo considera un conjunto de actividades que se desarrolla de forma secuencial. En este contexto se presenta un ejemplo de una empresa construcción de robots que trabaja con 3 lineas de ensamble que arman el Software, Hardware y Piezas de Conexión respectivamente, para luego ser unidas en una última linea de 3 tareas (I, J y K). El siguiente diagrama muestra las tareas necesarias para la construcción de producto final y las capacidades de cada tarea medidas en [u/hr].

A continuación se presentan algunas preguntas típicas del análisis cuantitativo de procesos que nos ayudarán a comprender de mejor forma el cálculo de los indicadores anteriormente individualizados.

1. Analizar el proceso indicando el tiempo de flujo del proceso, el tiempo de ciclo promedio, la tarea que es cuello de botella y la capacidad total del proceso.

El tiempo de flujo es la suma de la linea más larga junto con la linea de producción común, es decir, 19,3[min] + 11,6[min] = 30,9[min] (aproximado). Notar que esto implica que ningún producto final podrá ser terminado en un tiempo menor a 30,9[min], esto es, el tiempo que pasa desde que se inicia su procesamiento hasta que termina su ejecución en la etapa K.

Adicionalmente las capacidades de las actividades individuales en $[u/hr]$ han sido transformadas a sus tiempos de ciclo asociados, por ejemplo, si la actividad A tiene una capacidad de $15[u/hr]$ esto implica que su tiempo de ciclo es $4[min/u]$ (también sería válido decir que el tiempo de ciclo es $\frac{1}{15}[hr/u]$ ). Finalmente es sencillo notar que el cuello de botella son las tareas B y D, siendo la capacidad del sistema de $12[u/hr]$ .

2. Si pudiera agregar alguna tarea en paralelo (sin importar qué tarea sea), ¿Cuál sería? ¿Cuál es el nuevo cuello de botella?.

Si se pudiera agregar otra actividad naturalmente la tendríamos que agregar al cuello de botella, en este caso a las actividades B o D. Con esto el tiempo de flujo no cambia. El siguiente diagrama muestra el caso de incorporar una actividad D adicional:

La capacidad del proceso se mantiene en $12[u/hr]$ debido a que se conserva el cuello de botella de las actividades B. Ahora si se pudiera al diagrama anterior agregar una actividad B adicional en paralelo, entonces la capacidad del proceso estaría dada por las actividades C y J ( $13[u/hr]$ ).

Cálculo del Cuello de Botella de un Proceso Productivo

El término «Cuello de Botella» de un proceso productivo se refiere a una actividad (o conjunto de actividades) que limita la capacidad de producción y en consecuencia el tiempo de ciclo del proceso. Es importante recordar que no necesariamente la actividad que requiere mayor tiempo para ser ejecutada en un proceso será el cuello de botella del mismo, tal cual fue analizado en el artículo Preguntas Frecuentes sobre Procesos: Capacidad, Tiempo de Flujo y Tiempo de Ciclo. En el siguiente artículo presentamos un ejemplo de un proceso productivo simple que nos ayudará a ilustrar el concepto de cuello de botella y cómo este puede ser modificado al incorporar variaciones en el proceso.

En la cafetería de la Universidad todas las mañanas se venden cafés y sándwich a pedido. Actualmente la dueña Soledad está analizando el proceso en su local. Para vender cafés y sándwich Soledad contrató a 5 alumnos: Matilde, Ignacia, Valentina, Lorenzo y Gustavo, para realizar las siguientes etapas en forma secuencial:

Matilde: Tomar orden (1 min/orden)
Ignacia: Juntar materiales (vaso de café e ingredientes sándwich) (2 min/orden)
Valentina: Preparar el café y cortar el pan (3 min/orden)
Lorenzo: Preparar sándwich (jamón/queso) (4 min/orden)
Gustavo: Preparar bandeja con servilletas, servicio y plato (1,5 min/orden)

Confeccione un Diagrama de Flujo, indique la capacidad de cada etapa y del sistema y también el tiempo promedio de ciclo del sistema.

Con el Diagrama de Flujo anterior se procede a calcular la capacidad de cada estación de trabajo en órdenes/hora u órdenes/minuto. La elección es arbitraria y en nuestro caso calcularemos la capacidad de cada etapa y del proceso como un todo en órdenes/hora según se muestra a continuación:

Preparar sándwich es el cuello de botella (Lorenzo) por tanto la capacidad del proceso es de 15 (órdenes/hora) o equivalentemente 1/4 (orden/min). El tiempo de ciclo promedio es de 4 (min/orden). En el artículo Cómo Calcular la Capacidad y el Tiempo de Ciclo de un Proceso con una Carta Gantt se detalla el procedimiento para obtener estos indicadores. En este contexto a continuación se puede apreciar que el tiempo promedio entre órdenes consecutivas (en operación estable) es de 4 min/orden.

Consideremos ahora la siguiente pregunta adicional: Soledad quiere aumentar la capacidad de la cafetería y decide contratar a Mauricio. Mauricio puede trabajar en paralelo con cualquiera de sus colegas, demorándose lo mismo que ellos (por ejemplo si trabaja con Matilde se demora 1 min para tomar orden). Con la contratación de Mauricio, Soledad afirma que se puede doblar la capacidad del sistema. ¿Ella está en lo correcto? Si está de acuerdo, explique porque. Si no diga cuál es el menor número de funcionarios con las mismas características de Mauricio que hay que contratar para doblar la capacidad del sistema.

Soledad no está en lo correcto. Para doblar la capacidad son necesarias 2 personas: una persona adicional para preparar café y cortar pan y una persona adicional en la tarea preparar el Sándwich. La nueva capacidad subirá a 30 ordenes/hora, el doble de la original, con cuellos de botella en Juntar Materiales (Ignacia) y Preparar sándwich (Lorenzo). Con una sola persona trabajando con Lorenzo en Preparar el Sándwich el cuello de botella será Preparar café y cortar el pan (Valentina) y la capacidad subirá a solamente a 20 ordenes/hora.

Notar que en la nueva Carta Gantt que considera incorporar a Mauricio a la tarea de preparar el sándwich (cuello de botella original) el tiempo de ciclo promedio es de 3 (min/orden), corroborando que la capacidad modificada es de 20 (órdenes/hora).

Informe de Confidencialidad de Celdas de Variables y Restricciones de Solver

El siguiente problema tiene por objetivo mostrar la interpretación del Informe de Confidencialidad (o Informe de Sensibilidad) de Solver de Excel en los distintos escenarios que de éste se pueden considerar. Una empresa fabrica 3 productos (A, B y C) y desea planificar la producción semanal de cada uno de estos productos. Para ello dispone de 200 horas semanales en el departamento de corte, 350 horas semanales en el departamento de ensamblaje y 250 horas semanales en el departamento de terminado. Cada producto utiliza una determinada cantidad de horas en estos departamentos según lo muestran los parámetros en el lado izquierdo de las respectivas restricciones. Adicionalmente la empresa ha adquirido contratos con clientes que compran el producto B y C para producir al menos 50 y 30 unidades semanales, respectivamente. Finalmente según el departamento de ventas se ha estimado que la demanda máxima semanal para los productos A, B y C son 60, 120 y 80 unidades respectivamente.

Un modelo de Programación Lineal para la situación anterior es:

Luego de implementar en Solver de Excel el modelo anterior se obtiene el siguiente Informe de Confidencialidad (Informe de Sensibilidad):

1. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar para cancelar el contrato que obliga a producir al menos 30 unidades de C?

El Precio Sombra de la restricción de contrato del producto C es de -2 y su disminución permisible es de 30 unidades. Por tanto podemos utilizar el precio sombra para predecir el cambio en el valor óptimo ante la eliminación de este contrato (que sería equivalente a reemplazar $C\geq 30$ por $C\geq 0$ ). El valor óptimo en consecuencia aumentaría en -2*(0-30)=$60 que determina la máxima disposición a pagar para eliminar este contrato.

2. Suponga que se elimina el contrato que obliga producir al menos 50 unidades de B. ¿Cuál es el impacto en el impacto en el valor óptimo?

El Precio Sombra de la restricción de contrato del producto B es de -19 y su disminución permisible es de 10 unidades. Esto determina que reemplazar $B\geq 50$ por $B\geq 0$ no llevaría la producción de B a cero sino que sólo disminuiría a 40 unidades. Por tanto al eliminar este contrato el valor óptimo aumentaría en -19*(40-50)=$190 que determina la máxima disposición a pagar para eliminar este contrato.

3. Suponga que la empresa tiene $100 para invertir en capacidad. El costo de una hora extra de capacidad en los departamentos de Corte, Ensamblaje y Terminación es de $7, $5, y $6 respectivamente. ¿Cómo invertiría los fondos?. Asuma que sólo puede invertir en una de las 3 alternativas.

No tiene sentido destinar fondos adicionales para contratar horas extraordinarias en los departamentos de ensamblaje y terminado dado que en la actual solución óptima éstas restricciones no se encuentran activas y por tanto existen horas ociosas en dichos departamentos (70 y 80 horas semanales, respectivamente).

Por el contrario el departamento de corte se encuentra operando a máxima capacidad y dispone de un precio sombra de $9 que es mayor al costo de la hora extra de $7, por lo tanto conviene comprar capacidad adicional.

Con un presupuesto de $100 se pueden adquirir 14,2857 horas adicionales en el departamento de corte ($100/7) lo cual está dentro del aumento permisible para el precio sombra (23,3 horas) por tanto se destina la totalidad del presupuesto para dicho propósito.

4. ¿Cuál es el rango de variación para el coeficiente asociado a la variable B en la función objetivo que conserva la actual solución óptima?

Notar que la solución óptima actual es A=20, B=50, C=30. Adicionalmente el valor actual del parámetro en la función objetivo que pondera la variable B es 8, con un aumento permisible de 19 y una reducción permisible de 1E+30 (infinito). Es decir, el intervalo de variación para el parámetro que conserva la solución óptima es ]-1E+30,27]. La cota inferior del intervalo anterior cobra sentido al considerar la restricción de Contrato de B, que, independiente del beneficio (o pérdida) que reporte dicho producto al plan de producción, se debe fabricar de todos modos.