GEO Tutoriales, Autor en Gestión de Operaciones

Relación entre la Desviación Absoluta Media (MAD) y la Desviación Estándar del Error (σ)

El concepto de error en una proyección de demanda tiene que ver con la diferencia entre el valor real (observado) y el valor pronosticado. Esto da origen a errores de sobre estimación o sub estimación de la demanda real cuando dichos errores son negativos o positivos, respectivamente. En este contexto cuando los errores que ocurren en el pronóstico de demanda tienen una distribución normal (el caso más común) la Desviación Absoluta Media (MAD) se relaciona con la Desviación Estándar del Error (σ) de la siguiente forma:

Para ilustrar sobre esta relación consideremos el ejemplo utilizado en el artículo donde calculamos el Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE) cuyos pronósticos Ft se obtienen al ajustar una Regresión Lineal a los datos reales de la demanda.

Notar que el MAD calculado a Diciembre es de 36,1[u]. Luego para corroborar el cumplimiento de la relación aproximada entre el MAD y σ se requiere verificar si los errores del pronóstico se distribuyen normal. Para esta evaluación utilizaremos el software Easyfit y su herramienta de ajuste de distribuciones. Es importante en este punto destacar que es deseable contar con más datos para realizar el ajuste, no obstante, nos interesa mostrar el procedimiento.

El programa nos entrega el siguiente histograma donde la curva de color rojo representa el comportamiento de una distribución normal (teórica). Adicionalmente en las estadísticas descriptivas se puede obtener que el error medio (considerando la naturaleza del signo del error) es -0,0833 (aproximado) lo cual constituye un elemento a favor de la relación que deseamos verificar.

Si volvemos a los resultados que da origen la planilla Excel podemos calcular la Desviación Estándar del Error σ (celda color naranjo) que es 45,50[u] a través de la fórmula =DESVEST(J3:J14).

Con estos resultados corroboramos si efectivamente 1 MAD es equivalente (aproximadamente) a 0,8 desviaciones estándar del error. La conclusión es que para los datos de este ejemplo dicha relación es efectiva (por cierto aproximada) por lo cual luego de verificar que los errores del pronóstico se distribuyen normal (razonablemente) bastaría con calcular el MAD para poder generar una estimación razonable de la desviación estándar del error (o viceversa).

Análisis Marginal en la Gestión de Inventarios de Productos Perecibles

En general la Gestión de Inventarios de productos perecibles enfrenta desafíos mayores en comparación a la determinación de tamaños de lotes de aquellos productos de ciclo de vida largo donde los productos se desvalorizan de forma más lenta y adicionalmente existe más de una oportunidad de venta. En este contexto el análisis marginal es una alternativa metodológica para enfrentar los problemas de determinación de tamaño de lote de producción o compra, bajo un contexto de incertidumbre (demanda incierta) donde existe una oportunidad única de orden o producción.

Si un producto es perecible (notar que bajo esta clasificación no sólo debemos considerar productos alimenticios) y la demanda excede la cantidad ordenada, entonces se pierde venta (lo que genera costos de quiebres de stock, los cuales son complejos de estimar según lo analizado en la clasificación de los costos de inventario). Por el contrario, si la demanda es menor que la cantidad ordenada entonces sobra inventario el cual puede o no tener un uso alternativo, no obstante por lo general el valor monetario que se logra rescatar de su uso alternativo no logra cubrir la totalidad del costo de compra o fabricación.

El análisis marginal enfrentar el problema de determinación de tamaño de lote de compra o producción de aquellos productos perecibles. Se enfoca en analizar lo que ocurre con el artículo a vender que tiene peor margen, y asegurar que este margen sea positivo. Si se venden “k” items, nos preocupa analizar el margen esperado (en probabilidad) del k-ésimo artículo en venderse. Si D representa la demanda (variable aleatoria) de un producto perecible, ¿cuál es la probabilidad de vender la k-ésima unidad del inventario?:

La probabilidad de que la demanda total sea por lo menos k unidades!. Luego, la probabilidad de NO vender la k-ésima unidad es:

El margen esperado de la k-ésima unidad queda descrito por:

Notar que la ganancia esperada es decreciente en la medida que aumenta el tamaño de pedido.

En consecuencia, queremos encontrar el mayor valor de k tal que esta cantidad sea no negativa. Esto equivale a encontrar el mayor k tal que:

Ejemplo Análisis Marginal en la Gestión de Inventarios

Un retailer especialista en artículos de moda debe decidir cuántas cajas de vestidos de la línea “Sass” pedir para la próxima temporada. Esta línea de vestidos es sumamente exclusiva y elaborada manualmente en Italia. Ya que se trata de un producto nuevo y altamente costoso, el Product Manager encargado de la compra pide ayuda a cinco expertos de la empresa. Juntos ellos pronostican que la demanda seguirá una distribución normal con media 10 cajas y desviación estándar igual a 2 cajas.

La ganancia por cada vestido vendido es de 24% del costo. Si no se vende un vestido, este debe ser liquidado, en cuál caso sólo se recupera el 64% del costo. Utilice el pronóstico de los expertos para modelar la demanda con una distribución normal, y determine la cantidad de cajas que debiera pedir el retailer a fin de maximizar sus ganancias. Indique el nivel de servicio instock que se ofrecerá a los clientes producto de esta estrategia. En su análisis suponga que es posible comprar (y vender) fracciones de cajas.

El nivel de servicio instock es de un 40%. El tamaño óptimo de pedido (aproximado luego de ajustar el valor de Z(40%)) según el análisis marginal es:

Notar que el tamaño óptimo de pedido calculado anteriormente se puede corroborar haciendo uso del software Geogebra, donde luego de seleccionar la función de probabilidad teórica que representa el comportamiento de la demanda, se ingresan sus parámetros y el nivel de servicio (instock) objetivo.

Otra alternativa es obtener Z(40%) haciendo uso de Excel. Para ello utilizamos la fórmula =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,4) según se muestra en la siguiente imagen:

Cómo construir una Curva Característica de Operación (CO) con Excel

La Curva Característica de Operación (o Curva Característica Operativa) consiste en una representación gráfica que muestra para un plan de muestreo específico (n,c) la probabilidad de aceptación del lote, para varios valores de calidad del lote a la entrada p (% de unidades defectuosas). Una Curva Característica de Operación tendrá entre sus puntos uno definido por el NCA y 1-α y otro punto definido por PTDL y β.

Para determinar la probabilidad de aceptación de un lote, se pueden utilizar las distribuciones Binomial o Poisson. Cuando el tamaño de la muestra es al menos 15 unidades (n>15), el tamaño del lote es al menos 10 veces el tamaño de la muestra (N>10*n) y el porcentaje de unidades defectuosas históricamente es menor a un 10% (p<10%), es preferible la Distribución de Poisson debido a la facilidad de los cálculos.

Consideremos el siguiente ejemplo: Un fabricante de pistones para motocicletas comenzará a vender diariamente 1.200 unidades para un nuevo cliente. Este último determina condiciones contractuales para la inspección del lote diario, especificando que tomará muestras de 100 unidades (n=100) y que sólo aceptará los pedidos con 4 o menos defectos (c=4). El fabricante menciona en el contrato, que históricamente ha obtenido un porcentaje defectivo del 2% (p=2%). Determinar la probabilidad de aceptación del lote por parte del cliente.

Para determinar la probabilidad de aceptación del lote podemos utilizar la siguiente fórmula haciendo uso de una planilla de cálculo Excel: =POISSON(4;100*2%;VERDADERO). En consecuencia la probabilidad de aceptación del lote por parte del cliente es de un 94,73% (aproximado).

Una alternativa a Excel para estos efectos es hacer uso de la herramienta de cálculo de probabilidades del software Geogebra donde se debe ingresar los parámetros de la distribución µ (equivalente a n*p=100*2%=2) y el valor correspondiente al número de aceptación c (en la imagen c=4).

De esta forma se puede extender el procedimiento calculando la probabilidad de aceptación del lote Pa para distintos valores de calidades a la entrada p. Un extracto de ello se presenta en la siguiente tabla:

A continuación se construye un gráfico con la Curva Característica de Operación. Se ha destacado con una etiqueta color amarillo el dato que hemos calculado previamente.

En un próximo artículo discutiremos el impacto que tiene en el plan de muestreo y en particular en la Curva Característica de Operación un cambio en el tamaño de la muestra o un cambio en el número de aceptación.

Cómo determinar el Tamaño de la Muestra y el Número de Aceptación en un Muestro de Aceptación

Un muestreo de aceptación simple esta definido por el número de unidades en la muestra n y el número de aceptación c. El tamaño de la muestra n puede variar entre una unidad hasta incluso todos los artículos del lote (que en general se representa por N). En tanto el número de aceptación c determina el número máximo de artículos defectuosos que se pueden encontrar en una muestra antes de rechazar el lote.

En este contexto determinar los valores de n y c es un asunto crítico en todo muestreo de aceptación. Dichos valores se obtienen mediante la interacción de 4 factores, a saber: NCA (Nivel de Calidad Aceptable o AQL: Acceptable Quality Level), α, PTDL (Porcentaje de Tolerancia de Defectos en el Lote o LTPD: Lot Tolerance Percent Defective) y β.

Por una parte al fabricante le interesa que el plan de muestreo tenga una probabilidad baja de rechazar lotes buenos. En tanto el objetivo del consumidor es asegurarse que el plan de muestreo tenga una probabilidad baja de aceptar lotes malos. Se considera que los lotes son de alta calidad si contienen no más de un nivel específico de unidades defectuosas (NCA). Por el contrario un lote es de baja calidad si el porcentaje de defectos es mayor que una cantidad específica (PTDL).

La probabilidad asociada con el rechazo de un lote de alta calidad o α se conoce como riesgo del productor. Análogamente la probabilidad relacionada con la aceptación de un lote de baja calidad o β es el riesgo del consumidor.

Consideremos la siguiente adaptación de un ejemplo extraído del Libro Administracion De Operaciones de Chase, Jacobs y Aquilano (Duodécima Edición).

Una empresa fabrica scaners de radar que se utilizan para detectar trampas de velocidad. Las tarjetas de circuito impreso de los scaners se comprar a un distribuidor externo. El distribuidor produce las tarjetas con un NCA de un 2% y está dispuesto a correr un riesgo de un 5% (α) de que se rechacen lotes con este nivel o menor número de defectos. La empresa considera inaceptables los lotes con 8% o más defectos (PTDL) y quiere asegurarse de que aceptará esos lotes de baja calidad no más del 10% de las veces (β). Se acaba de entregar un lote grande. ¿Qué valores de n y c se deben seleccionar para determinar la calidad de este lote?.

Los parámetros del problema son NCA=2%, α=5%, PTDL=8% y β=10%. A continuación para determinar n y c consideramos un extracto de una tabla de un plan de muestreo para α=5% y β=10%.

En primer lugar se divide PTDL/NCA=8%/2%=4. A continuación en la columna 2 de la tabla anterior se busca la razón que se mayor o igual al cuociente 4. Este valor es 4,057 que está asociado a c=4. Finalmente encontrar el valor en la columna 3 que está en la misma fila que c=4 y luego dividir es cantidad entre NCA para obtener n (1,970/2%=98,5). En consecuencia el plan de muestre apropiado es (n,c)=(99,4).

Para determinar la eficiencia del plan de muestreo al discriminar entre lotes buenos y malos para valores intermedios se propone construir una Curva Característica de Operación (CO). Estas curvas son únicas para cada combinación de n y c e ilustran la probabilidad de aceptar lotes con diversos porcentajes de defectos.

Por ejemplo si el porcentaje de defectos es de un 2% (NCA) la probabilidad de aceptación es de un 95%, por tanto existe un α=5% (1-0,95) de rechazar un lote de alta calidad (riesgo del productor). En tanto para un porcentaje de defectos de un 8% (PTDL) existe una probabilidad de un 10% de aceptar un lote de baja calidad (riesgo del consumidor).

Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE) en un Pronóstico de Demanda

El Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE o Mean Absolute Percentage Error) es un indicador del desempeño del Pronóstico de Demanda que mide el tamaño del error (absoluto) en términos porcentuales. El hecho que se estime una magnitud del error porcentual lo hace un indicador frecuentemente utilizado por los encargados de elaborar pronósticos debido a su fácil interpretación. Incluso es útil cuando no se conoce el volumen de demanda del producto dado que es una medida relativa. Por ejemplo, afirmar que el «error porcentual promedio es de un 4%» es más fácil de comprender que cuando se dice «el error absoluto medio por período es de 1.000 unidades» (que sería la información que podríamos obtener del MAD y que en abstracto no provee información si esta magnitud de error es aceptable o no).

La fórmula para el cálculo del MAPE o Error Porcentual Absoluto Medio es:

La siguiente imagen representa una serie de tiempo de 12 meses donde At representa la demanda real de un producto cualquiera y Ft el pronóstico utilizando una Regresión Lineal. La ecuación de la regresión ajustada es y=5,6993*x+217,12 donde la variable y representa la demanda y la variable x el período (mes).

El detalle de los resultados se presenta a continuación donde en la columna D se muestran los datos reales y en la columna E los pronósticos. Por ejemplo para el mes de Enero (mes 1) el pronóstico se obtiene como F1=5,6993*1+217,12=223 (aproximado arbitrariamente al entero más cercano).

Luego obtenemos el error porcentual absoluto para cada mes del período de evaluación (celdas amarillas de la tabla anterior). Notar que en el ejemplo dicho cálculo correspondería para el mes de Enero en la fórmula F3/D3 donde el numerador (F3) es el error absoluto del período y el denominador (D3) la demanda real del mes. Finalmente se repite el procedimiento para cada uno de los meses lo cual se facilita al hacer uso de una planilla Excel.

En conclusión el Error Porcentual Absoluto Medio es de un 14,56%. De forma complementaria se puede calcular el MAD y la Señal de Rastreo (TS) de modo de tener un mayor número de indicadores para interpretar de forma adecuada el desempeño del pronóstico.

Es conveniente graficar tanto el comportamiento del MAD como la Señal de Rastreo (TS) para facilitar la interpretación de los resultados. A continuación se presentan los resultados:

Notar que la magnitud media absoluta del error aumenta en los últimos períodos. En cuanto al comportamiento de la señal de seguimiento o TS si bien ésta varía en el rango comúnmente aceptable de [-4,4] MADs, las sub estimaciones sucesivas del valor real de la demanda de los meses de Agosto, Septiembre y Octubre marcan una tendencia creciente en su comportamiento, lo cual se compensa luego con las sobre estimaciones de los meses de Noviembre y Diciembre. A continuación un vídeo de nuestro canal de Youtube con la implementación en Excel del ejemplo descrito en este artículo:

¿Quieres tener el archivo Excel con el cálculo del Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE) de este Ejemplo?

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