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Cómo determinar la Duración Óptima de un Proyecto a través del Análisis de Crashing

La Programación Lineal como hemos analizado anteriormente provee una forma eficiente para enfrentar el problema de cómo reducir la duración de un proyecto de la forma más económica posible (Análisis de Crashing) en el contexto de la aplicación del Método de Ruta Crítica (CPM) para la gestión de proyectos. Adicionalmente en algunas situaciones se suele enfrentar costos de penalización en la medida que el proyecto se entregue más tarde de lo comprometido o estimado, como también incentivos por entregas anticipadas que no vayan en desmedro de la calidad del proyecto.

Consideremos el siguiente ejemplo para el cálculo de la Duración Óptima de un Proyecto (el tiempo está medido en días y el costo en dólares):

Por ejemplo la Actividad F tiene una duración normal de 4 días a un costo de 600 dólares y se puede comenzar una vez terminadas las Actividades B y E (predecesores). Si se desea apurar (hacer “crash”) en la Actividad F, el menor tiempo que se puede adoptar es de 2 días (es decir, la reducción máxima es 2 días), donde por cada día que se reduce la duración de dicha actividad se incurre en un costo adicional de 175 dólares. De esta forma, por ejemplo, si se quisiera reducir la duración de la Actividad F de 4 a 3 días, el costo sería de 775 dólares (600+175).

Asuma que la fecha de entrega del proyecto es el día 10. La compañía debe pagar 170 dólares por cada día de atraso. Encuentre el número óptimo de días que debe durar el proyecto a través del análisis de crashing y el costo total del proyecto (incluyendo posibles multas por atraso).

Indique claramente las actividades donde realice crashing. Dibuje el diagrama del proyecto de la alternativa que se propone (el proyecto con el costo más bajo), representando el nombre de cada actividad al interior de los respectivos nodos. Para cada actividad calcule los siguientes indicadores: IC, TC, IL, TL. Luego obtenga explícitamente la holgura de cada actividad y la(s) ruta(s) crítica(s) del proyecto.

A continuación se define un modelo de optimización lineal propuesto para abordar el problema:

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Consiste en minimizar el costo de terminar el proyecto en K días, donde 3.175 corresponde al costo en dólares de desarrollar el proyecto con las actividades en tiempo normal y la expresión en la sumatoria es el costo incremental de disminuir la duración del proyecto.

Restricciones:

Cada actividad se puede reducir (de ser posible) dentro del límite máximo de reducción permisible:

Relaciones de predecesores entre las actividades y el tiempo de inicio y reducción:

Definición del tiempo objetivo para el proyecto:

No negatividad de las variables de decisión:

Una vez definido el modelo de Programación Lineal se implementa computacionalmente haciendo uso de Solver de Excel. Para ello será necesario sensibilizar los resultados del modelo para valores del parámetro K en el intervalo de [10,15] días (el lector puede corroborar que la duración del proyecto si cada actividad mantiene su duración normal es de 15 días). La solución óptima se resume a continuación:

El tiempo óptimo para completar el proyecto corresponde a 12 días, con un costo total (incurriendo multas por atraso) de 3.890 dólares. El gráfico a continuación muestra el valor de la función objetivo (costo total) para distintos valores de duración del proyecto.

A continuación desarrollamos el diagrama del proyecto donde se observa que existen 2 rutas críticas: A-B-F y A-C-E-F, con una duración de 12 días. Notar que la única actividad que no es crítica con holgura positiva (de 1 día) es la Actividad D.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?

[sociallocker]Crashing Óptimo[/sociallocker]

Cómo calcular la Probabilidad de producir un Producto Defectuoso (Control Estadístico de Procesos)

El siguiente artículo aborda a través de un sencillo ejemplo la estimación de la probabilidad de producir un producto defectuoso en el contexto del Control Estadístico de Procesos (CEP). Consideremos una empresa de manufactura que desea determinar si una máquina que tiene es capaz de fresar la pieza de un motor que tiene una especificación clave de 4 ± 0.003 pulgadas. Después de probar esta máquina, la empresa determinó que tiene una media muestral de 4.001 pulgadas con una desviación estándar de 0.002 pulgadas. Asumiendo que el proceso en cuestión se encuentra bajo control estadístico, calcule Cpk para esta máquina:

¿Cuál es la probabilidad de producir un defecto?. Un producto defectuoso será aquel que se encuentre en una dimensión bajo el LEI (3,997) o sobre el LES (4,003).

Probabilidad de Defectuoso = P(X<LEI) + P(X>LES) = (1 – 0,9773) + (1 – 0,8413) = 18,14%.

Una forma alternativa de abordar el procedimiento anterior es haciendo uso de la interfaz de cálculos de probabilidad disponible en el software Geogebra. En la siguiente imagen el área achurada en color azul representa la probabilidad de que un producto no sea defectuoso (81,86%), por tanto por diferencia se obtiene la probabilidad de defectuoso (100% – 81,86% = 18,14%) que corrobora el resultado obtenido anteriormente.

¿Recomendaría a la empresa utilizar esta máquina para producir esta pieza?. No. Cpk indica que el promedio muestral está descentrado, en particular, más cerca del LES. Si bien es difícil encontrar un proceso perfectamente centrado en el valor nominal de la especificación, en este caso esta situación no se compensa con una baja variabilidad del proceso (se propone al lector corroborar que Cp=0,5 lo cual confirma el análisis anterior). Adicionalmente la probabilidad de producir un defecto (18,14%) es inadmisible es un contexto competitivo.

Estimación del Costo de Producción de un Producto bajo Control de Calidad

Estimar de forma correcta los costos de producción es vital al momento de la fijación de precios dado que de esto dependerá si se logra cubrir los costos fijos y variables asociados al Proceso Productivo, como también por cierto el cumplimiento de determinadas expectativas de rentabilidad. Dicho proceso de estimación es más complejo cuando en la fabricación de los productos se incurre en unidades defectuosas que requieren reproceso y/o simplemente son descartadas en el contexto de un control de calidad.

Consideremos por ejemplo un restaurant que tiene como política comercial generar un margen de comercialización de un 32%. Cada cliente paga $10.000 y el costo por cliente es de $6.800. Adicionalmente el 5% de los clientes se retira del restaurant sin pagar la cuenta.

¿Cuál es el margen de comercialización real?. Si atendimos 100 clientes el costo es de $680.000, no obstante dicho costo debe ser asumido por 95 clientes (dado que 5 de cada 100 clientes no paga), por tanto el costo de atender a cada uno de ellos es de $680.000/95=$7.157,89. En consecuencia el margen real es de $10.000-$7.157,89=$2.842,11, es decir, un 28,42%.

Un ejemplo con mayor detalle se presenta a continuación. Una empresa fabrica 2 productos (A y B). Cada uno de ellos requiere un pack de insumos correspondiente a la manufactura inicial de $2.00. Luego el producto se somete a un primer Test (con un costo de $0.50) donde el 10% es descartado, el 60% pasa a un ajuste de terminaciones (con un costo de $1.50) para terminar como Producto A y el 30% restante a un segundo Test (con costo de $0.20). Para aquellos productos que pasan al segundo Test, el 10% de ellos es descartado y el 90% requiere ajustes de terminaciones por un valor de $2.00 con lo cual se completa una unidad del Producto B. El diagrama de proceso a continuación representa dicha situación:

¿Cuántos packs de insumos deben ingresar al sistema si nuestra meta es obtener 1.620 productos de tipo B?
¿Cuánto cuesta producir exactamente 600 unidades de A y 540 unidades de B?
En la situación 2), ¿cuál es el costo real (costo ajustado) por unidad del producto A?

Pregunta 1: X*0,3*0,9=1.620. Despejando X se obtiene X=6.000, es decir se requieren 6.000 packs de insumos para fabricar 1.620 unidades del producto B.

Pregunta 2: Se requiere comenzar con 2.000 packs de insumos: 2.000=540/(0.9*0.3). El costo total es:

Pregunta 3: De los 2.000 packs de insumo, sólo 600 van ser usados para hacer el producto A, lo que representa el 30%. Entonces el costo real es $11.66 ($11.66=$3.50*(100/30)).

Ejemplo del Balance de una Línea de Ensamble utilizando la Regla del Candidato Más Extenso

Una línea de ensamble consiste en un ensamble progresivo que esta asociado por algún tipo de aparato o dispositivo que maneja los materiales, donde el equipo o los procesos de trabajo están ordenados siguiendo los pasos progresivos de la fabricación del producto. Los productos que se producen parcial o totalmente en las líneas de ensamble incluye juguetes, electrodomésticos, automóviles, aviones, armas de fuego, etc. En consecuencia casi todo producto que tiene varias partes y que se producen en volúmenes importantes utiliza las líneas de ensamble en alguna medida.

Equilibrar o balancear una línea de ensamble depende básicamente de la programación, no obstante dicha programación por lo general tiene un impacto directo en la distribución o layout de la planta.

En este contexto el problema del balanceo de la línea de ensamble consiste en asignar todas las tareas a una serie de estaciones de trabajo de modo que cada una de ellas no tenga más de lo que puede hacer en el tiempo de ciclo de dicha estación y que el tiempo inactivo de todas las estaciones de trabajo sea el menor posible.

A continuación se presenta un ejemplo de un proceso que consta de 8 actividades o tareas, el cual corresponde a una línea de ensamble que opera 8 horas al día con una producción deseada de 240 unidades diarias. La siguiente tabla contiene información acerca de los tiempos de la tarea de este producto y las relaciones de precedencia:

Se requiere un dibujo que represente el diagrama de precedencia. ¿Cuál es el tiempo del ciclo de la estación de trabajo?. A continuación balancee esta línea de ensamble utilizando la tarea de tiempo más largo.

El diagrama de precedencia que representa el proceso descrito anteriormente se presenta a continuación. Se puede observar, por ejemplo, que la tarea B tiene una duración de 80 segundos y es posterior a la tarea A que dura 60 segundos.

Luego es necesario determinar el Tiempo de Ciclo (C) que requieren las estaciones de trabajo a través de la siguiente fórmula:

En el ejemplo propuesto el proceso opera 8 horas al día (equivalente a 8[horas/día]*3.600[segundos/hora]=28.800[segundos/día]) con un nivel de producción deseado de 240 unidades. Dado lo anterior el Tiempo de Ciclo (C) es:

A continuación se requiere estimar el número mínimo de estaciones de trabajo (Nt) que, en teoría, se requiere para cumplir el límite del tiempo de ciclo de la estación de trabajo a través de la siguiente fórmula (en caso de obtener un resultado fraccionario se debe redondear al entero superior más cercano).

Notar que el numerador del cálculo anterior corresponde a la sumatoria de los tiempos de las 8 tareas (60+80+20+50+90+30+30+60=420[segundos]). Con ello se espera (en teoría) que sean necesarias 4 estaciones de trabajo y se procede con la configuración de las mismas utilizando como criterio el tiempo más largo o candidato más extenso: Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Por ejemplo la estación 1 considera la tarea A que tiene un tiempo de 60 segundos y dado que el tiempo de ciclo es de 120 segundos el tiempo remanente no asignado también será de 60 segundos. Luego de A siguen las tareas B, C y D (según el diagrama de precedencia) no obstante se descarta B dado que su tiempo es de 80 segundos que es superior al tiempo remanente no asignado, por tanto los candidatos factibles para acompañar a la tarea A en la estación 1 son las tareas C o D. El criterio en este caso es seleccionar la tarea D dado que su tiempo es 50 segundos (mayor que los 20 segundos de C) lo que procura minimizar el tiempo inactivo de la estación de trabajo (que en este caso luego de asignar A y D a la estación de trabajo 1 es de 10 segundos).

Continuando con el procedimiento se determinan las tareas pertenecientes a la estación 2. En primer lugar se podría asignar B o C, no obstante se privilegia B por tener una mayor duración. Sin embargo, luego de asignar B la única tarea remanente viable es C así que se asigna a la estación 2 determinando que el tiempo remanente no asignado de dicha estación es de 20 segundos.

La estación 3 considera en primer lugar la asignación de la tarea E por el criterio del candidato más extenso o de mayor duración. Luego se asigna F con una duración de 30 segundos lo que permite que el tiempo inactivo de esta estación sea nulo. Finalmente la conformación de la estación 4 es trivial con G y H asignadas en ese orden. El siguiente diagrama representa el resultado final donde cada estación de trabajo se ha identificado con un color diferente para mayor claridad:

Cálculo de Índice de Habilidad Cp e Índice de Capacidad Cpk en el Control Estadístico de Procesos

Al planear los aspectos de calidad de la manufactura, nada es más importante que asegurarse de antemano de que el proceso productivo será capaz de mantener las tolerancias. La habilidad del proceso proporciona una predicción cuantitativa de qué tan adecuado es un proceso. La habilidad del proceso es la variación medida, inherente del producto que se obtiene en ese proceso. En este contexto, la habilidad permite entre otras cosas establecer limites de especificación realistas.

La fórmula para el cálculo de la habilidad del proceso que más se usa es: Habilidad del Proceso = +- 3σ (un total de 6σ) donde σ es la desviación estándar del proceso cuando se encuentra bajo control estadístico. Adicionalmente si el proceso esta centrado en la especificación nominal y sigue una distribución de probabilidad normal, 99,73% de la producción estará a menos de 3σ de la especificación nominal.

En este contexto la tasa de habilidad de un proceso Cp se refiere a la variación en un proceso alrededor del valor promedio, obteniéndose a través de la siguiente fórmula (notar que se usa 6S como estimación de 6σ):

Un proceso que cumple bien con los límites de especificación (rango de especificación = +- 3σ) tiene un Cp=1. Lo crítico de muchas aplicaciones y la realidad de que el promedio del proceso no permanecerá en el punto medio del rango de especificación sugiere que Cp debe ser al menos 1,33.

En este contexto es útil tener un índice de habilidad que refleje ambas variaciones y la localización del promedio del proceso. Tal índice es Cpk o índice de capacidad del proceso, el cual refleja la proximidad de la media actual del proceso al Límite de Especificación Superior (LES) o al Límite de Especificación Inferior (LEI).

Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificación, entonces Cpk=Cp.

Adicionalmente si un proceso se encuentra en control estadístico, la siguiente relación se cumple para usar S como una estimación de σ (desviación estándar):

A continuación se presenta el calculo de los índices Cp y Cpk aplicado a los datos del ejemplo de las Gráficas de Promedios y Rangos en el Control Estadístico de Procesos. El resumen de los datos se observa en la siguiente tabla:

Luego se procede a la estimación de S (recordar que cada muestra tiene 4 observaciones, en consecuencia n=4 y d2=2,059).

Notar que el parámetro d2=2,059 se puede obtener de la siguiente tabla:

El cálculo de Cp y Cpk esta dado por:

La media del proceso (999,6 OHMS) se encuentra prácticamente centrada respecto a la especificación nominal (1.000 OHMS). Esto se corrobora en la similitud de los indicadores Cp y Cpk. No obstante lo anterior la habilidad del proceso es relativamente baja (se recomienda al menos Cp≥1,33) lo que permite anticipar que un porcentaje significativo de resistores podrían estar fuera de los límites de especificación.

Existen un importante número de herramientas que permiten el cálculo sencillo de estos indicadores de desempeño. Al respecto recomendamos a nuestros usuarios leer el artículo Cómo Calcular Cp y Cpk con el Complemento SPC for Excel que muestra cómo utilizar el complemento SPC de Excel para simplificar este tipo de operaciones.