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Método de Johnson (Ejercicio Resuelto)

El Método de Johnson permite determinar una secuencia u orden para realizar trabajos en un taller que considera 2 máquinas, donde todos los trabajos siguen un orden común (por ejemplo, primero se ejecutan labores en una máquina 1 y luego en una máquina 2), asumiendo que todos los trabajos se encuentran disponibles para su programación al inicio del horizonte de evaluación y que los tiempos requeridos para pasar por cada máquina son conocidos (es decir, se asume que no existe incertidumbre). De esta forma se busca determinar el tiempo mínimo para completar los trabajos en el taller lo cual se conoce como makespan. En este contexto a continuación se presenta un ejemplo resuelto del Método o Algoritmo de Johnson.

Ejercicio Resuelto del Método de Johnson

Una imprenta se dedica a la copia y encuadernación de documentos. Esta mañana recibió los trabajos que se muestran a continuación, todos los cuales requieren ambas operaciones en ese orden:

La imprenta comienza a trabajar puntualmente a las 09:00 y no se detiene hasta que termina de procesar todos los trabajos. La hora de entrega para todos los trabajos corresponde a las 13:00. Determine una secuencia de manera que el tiempo que tardan en ser procesados los trabajos sea el menor posible, esto es minimizando el makespan. Construya una Carta Gantt para complementar su respuesta.

Este problema trata de máquinas en paralelo sin interrupción con trabajos cuyo tiempo de proceso es determinista y la llegada al comienzo (estática), de modo que se puede aplicar el Algoritmo de Johnson.

El tiempo más breve corresponde al trabajo A en encuadernación, por tanto se asigna en primer lugar y se ejecuta al final de la secuencia. Luego el tiempo más breve es para el trabajo B en encuadernación, siendo este trabajo asignado en segundo lugar y ejecutado penúltimo. De los trabajos remanentes el tiempo más breve es 40[min] existiendo un empate en encuadernación (trabajo C) y copia (trabajo E). En caso de empate el Método de Johnson establece que se prioriza la máquina 1 (en este caso copia) y por tanto E se asigna en tercer lugar y se ejecuta primero. A continuación naturalmente se asigna el trabajo C en cuarto lugar y se ejecuta antepenúltimo. El quinto trabajo en asignar será el D el cual se realiza inmediatamente antes del trabajo C (al tener su menor tiempo en encuadernación). Finalmente se asignan los trabajos F y G (en ese orden) ejecutándolos en segundo y tercer lugar, respectivamente. De esta forma la secuencia es:

E-G-F-D-C-B-A

El makespan para este problema de Programación de Trabajos es de 440 minutos, terminando de atender el último trabajo a las 16:20.

En relación a los resultados obtenidos anteriormente determine: ¿A qué hora se termina de atender el último trabajo?, ¿Cuántos trabajos atrasados tiene la imprenta?, ¿Cuál es el tiempo de flujo promedio?, ¿Cuál es el atraso promedio?, ¿Cuál es el atraso máximo?.

Para responder a esta pregunta confeccionamos una tabla resumen la cual se basa en los resultados obtenidos a través de la Carta Gantt y los horarios de entrega de los trabajos.

Total Atrasos: 5 (Trabajos A, B, C, D y F)
El último trabajo se termina de atender a las 16:20 (Trabajo A)
Tiempo de Flujo Promedio: 06:01
Atraso Promedio: 1:48
Atraso Máximo: 3:20

Cabe recordar que el Tiempo de Flujo (TF) corresponde al tiempo total que cada trabajo se encuentra en el taller, es decir, esto es la suma del tiempo de espera más el tiempo de atención o procesamiento en las distintas máquinas. Por ejemplo si bien el trabajo A requiere en total un tiempo de 30[min] éste comienza a ser atendido recién a las 15:20 en copia, terminando a las 16:20 en encuadernación (total 60[min] o 1[hora]). Adicionalmente el trabajo A debe esperar 7 horas con 5 minutos (es decir, de las 08:15 a las 15:20) para comenzar su atención en copia. Luego el Tiempo de Flujo es 1:00+7:05=8:05 (8 horas y 5 minutos).

10 Cosas que Necesitas Saber sobre el Método Simplex

El Método Simplex desarrollado por George B. Dantzig en 1947 es sin duda el algoritmo más popular a la hora de enfrentar la resolución de un modelo de Programación Lineal y ocupa un lugar destacado en los cursos introductorios a la Investigación de Operaciones.

En esta oportunidad hemos buscado resumir 10 conceptos principales sobre el uso y la aplicación del Método Simplex con el objetivo de que nuestros usuarios puedan tener una primera aproximación al método observando algunos aspectos característicos. Esta recopilación se basa sobre nuestra experiencia docente dictando cursos de Investigación Operativa y las preguntas que frecuentemente recibimos por parte de los alumnos de pregrado.

10 Cosas que Necesitas Saber sobre el Método Simplex

Te invitamos a revisar y compartir esta infografía en las redes sociales. Adicionalmente si consideras si un elemento importante quedo fuera de la lista anterior utiliza la herramienta de comentarios al pie de la página para hacernos saber tu opinión. De esta forma podremos ir actualizando periódicamente el artículo con las características principales del Método Simplex.

Planificación de la Producción Multiproducto

El siguiente problema consiste en la formulación de un modelo de Programación Entera y posterior resolución computacional haciendo uso del complemento OpenSolver de Excel, específicamente en lo que se refiere a un modelo que permita encontrar la estrategia óptima para la Planificación de la Producción Multiproducto (es decir, 2 o más productos) y multiperiodo (2 o más períodos en el horizonte de evaluación). Referencias adicionales sobre esta clase de problemáticas pueden ser consultadas en la categoría Plan Maestro de la Producción (PMP) donde se presentan un importante volumen de ejercicios resueltos de planificación agregada. Dicho lo anterior a continuación presentamos el ejemplo objeto de nuestro análisis:

Una empresa desea optimizar la planificación de la producción de sus cinco productos principales para los primeros 6 meses del año 2016. Para el desarrollo de la tarea encomendada la empresa recolecta los siguientes antecedentes:

El proceso de fabricación es intensivo en mano de obra donde cada trabajador percibe un salario bruto de US$1.200 por una jornada de 160 horas de trabajo al mes.
El costo unitario de materiales y gastos generales, excluyendo el trabajo es de US$12 para A, US$14 para B, US$9 para C, US$13 para D y US$8 para E.
El costo de mano de obra de producción en tiempo extra se paga con un recargo de un 50% respecto a la hora trabajada en horario normal. No obstante por política de la empresa se establece un máximo de 200 horas hombre en tiempo extraordinario para cada mes, exceptuando Enero y Febrero donde el límite corresponde a 100 horas (por acuerdos con el sindicato).
El costo mensual de almacenar una unidad de cualquier producto en inventario es de US$4 por unidad. La bodega tiene una capacidad de almacenamiento de 250 unidades.
El tiempo de producción por unidad es de 5 horas para A, 6 horas para B, 8 horas para C, 4 horas para D y 3 horas para E.
La contratación de personal de producción considera un costo único de US$1.500 (adicional al sueldo) por concepto de capacitación y entrenamiento.
Para la reducción de horas de trabajo o despido considere en promedio: un sueldo de US$1.200 y una antigüedad de 2 años. Por política de estabilidad laboral se establece un máximo de despido de 6 trabajadores durante el primer semestre.
El inventario inicial corresponde a 120 y 80 unidades para los productos B y C respectivamente. No se dispone de inventario inicial para el producto A, D y E.
La planilla de trabajadores al 31 de Diciembre de 2015 es de 55 trabajadores.
Es posible dejar demanda pendiente del producto A y D asumiendo un costo unitario de US$25 en cada caso, la cual no expira y sólo se posterga para un próximo mes. No obstante la empresa requiere que como máximo queden 500 unidades de demanda pendiente (en total para la suma de ambos productos) a fines de Junio de 2016.
En cuanto al producto B, éste se puede comprar adicionalmente a un proveedor a un costo unitario de US$75. Adicionalmente el costo fijo de gestionar un pedido al proveedor del producto B (independiente del tamaño del pedido) es de US$200.
En cuanto al producto E, éste se puede comprar adicionalmente a un proveedor a un costo unitario de US$35. Adicionalmente el costo fijo de gestionar un pedido al proveedor del producto E (independiente del tamaño del pedido) es de US$150.

Formule y resuelva un modelo de optimización matemática que permita determinar la política operacional que minimice los costos totales en el horizonte de planificación y cumpla con las condiciones expuestas.

Planificación de la Producción Multiproducto

Variables de Decisión:

Notar que se dispone de 5 productos y 6 períodos. En este contexto y con el objetivo de lograr una notación más compacta se utilizan los índices i y t para representar los productos y períodos (meses), respectivamente.

Parámetros:

La definición de parámetros no es estrictamente necesaria y se realiza de modo de establecer un caso más general para el problema que facilita (compacta) la notación requerida para definir el modelo. Se puede apreciar que no todos los datos factibles de poder representar con parámetros ha sido llevado a cabo, lo cual corresponde a una decisión arbitraria la que sin embargo no afecta los resultados.

Función Objetivo:

Se busca minimizar los costos totales de la planificación multiproducto y multiperiodo. Los costos involucrados son (en orden): producción, inventario, mano de obra en tiempo normal, mano de obra en sobretiempo, contratación, despido, demanda pendiente, compra del producto B y compra del producto E.

Restricciones:

Balance de Inventario: Para el caso del producto A y D se puede utilizar demanda pendiente y para los productos B y E se pueden realizar compras. En este caso sólo los requerimientos del producto C deben ser satisfechos de forma exclusiva a través de la producción e inventario.

Balance de Trabajadores: La cantidad de trabajadores disponibles en un mes para funciones de producción será igual a los disponibles en el mes anterior, más los contratados en el mes y menos los despedidos en dicho mes.

Capacidad de Producción: El lado izquierdo de la restricción representa la cantidad de horas requeridas en un mes para la producción de los 5 productos, lo cual no podrá superar las horas disponibles (siendo éstas las horas en tiempo normal más las horas que eventualmente se utilicen en sobretiempo).

Capacidad de la Bodega: Para cada mes del horizonte de planificación la cantidad de productos almacenados en inventario (suma de todos los productos) no podrá superar la capacidad de almacenamiento de la bodega de 250 unidades.

Máximo de Compras B y E: La cantidad máxima de compra para el producto B y E dependerá si se adopta la decisión de realizar una compra en el mes respectivo. En dicho caso la cantidad máxima a comprar corresponderá a los parámetros o constantes grandes $M_{B}$ y $M_{E}$ , respectivamente. Por ejemplo un valor para $M_{B}$ podría ser 3.152 que corresponde a la suma de la demanda del producto B del mes 1 al mes 6.

Máxima Cantidad de Despidos: Durante el horizonte de planificación no se pueden despedir más de 6 trabajadores.

Máximo Demanda Pendiente Mes 6: Al final del mes 6 no debe quedar más de 500 unidades de demanda pendiente para el producto A y D (en conjunto).

No Negatividad y Enteros: Las variables de decisión deben adoptar no negativos y enteros (exceptuando las variables binarias).

La implementación computacional con OpenSolver del modelo de optimización anterior entrega los siguientes resultados. Las celdas en color amarillo corresponden a las variables de decisión del problema definidas inicialmente que satisfacen las restricciones impuestas (solución factible).

El valor óptimo corresponde a US$599.770 que corresponde al costo mínimo asociado al plan de producción. A continuación se desglosa dicho costo total en los distintos ítems de costos según lo detallado anteriormente.

¿Quieres tener la planilla Excel con la resolución en OpenSolver de este problema?.

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Ejemplo de Revenue Management

La utilización de los conceptos del Revenue Management (o Yield Management) en la actualidad son ampliamente utilizados en la industria de los servicios. En este contexto en el artículo ¿Qué es el Revenue Management? se detalla las condiciones deseables para la aplicación de esta metodología. A continuación presentamos un ejemplo de Revenue Management donde queda de manifiesto la importancia de la segmentación de clientes y la utilización de esquemas de tarifas diferenciadas con el objetivo de lograr aumentar la recaudación de la venta de un servicio.

Ejemplo de Revenue Management (Discriminación de Precios)

El increíble resort Sipadan-Kapalai Dive se encuentra a unos pocos minutos en barco de las islas Sipadan, al este de Malasia. El Gerente pretende ofrecer un nuevo producto, consistente en un paquete de buceo de 7 días y 6 noches. Para predecir la demanda por dicho paquete, han encuestado una muestra de 50 potenciales clientes, determinando así su disposición a pagar (WTP del inglés Willing to Pay) por este nuevo producto:

Observando la tabla, se verifica que existen 5 rangos de precios. Por ejemplo, la segundo fila indica que existen 10 clientes (de los 50 encuestados) dispuestos a pagar un máximo de $3.000. Asumamos adicionalmente que se ha estimado una demanda total (D) de 1.000 clientes.

Pregunta N°1: Ocupando el modelo de disposición a pagar, donde la demanda es dada por d(p)=D*Prob(WTP≥p), ¿cuál será el precio óptimo que maximice los ingresos totales? ¿Cuántos paquetes se venderán a este precio y cuál será el ingreso total obtenido?.

Para responder a esta pregunta resulta conveniente preparar una tabla resumen como la que se presenta a continuación. Por ejemplo, si se fija un precio de $1.000, sin discriminación, es decir, a todos los clientes se les cobra lo mismo, la demanda esperada será de 1.000 paquetes turísticos (dado que existe una probabilidad de un 100% que todos los clientes reserven a dicho precio) y la ganancia esperada (ingreso) corresponderá a $1.000.000.

Del mismo modo se observa que en la medida que aumenta el precio existirá un menor número de clientes dispuestos a adquirir el paquete turístico. Por ejemplo para un precio de $3.000 aquellos clientes con WTP de $1.000 no solicitarán el servicio (que corresponde al 20% del total de la demanda). Luego la demanda esperada será el 80% del total de clientes (800 clientes) con un ingreso de $2.400.000.

Se concluye por tanto que el precio óptimo es $5.000, se venderán 600 paquetes a ese precio (demanda esperada), y el ingreso total obtenido será de $3.000.000.

Pregunta N°2: Luego de tomar un curso de Revenue Management, el Gerente ha entendido las ventajas de segmentar a los clientes, y observa que puede dividir a sus clientes en dos segmentos: los turistas y los que vienen a conferencias. Los turistas están dispuestos a pagar hasta $1.000, $3.000 o $5.000, y los que asisten a conferencias están dispuestos a pagar $7.000 o $9.000. El Gerente desea cobrar un precio distinto a cada segmento para así alcanzar un mayor nivel de ingresos. Suponiendo que un 60% de la demanda total D es de turistas y un 40% es de personas que asisten a conferencias, ¿cuál será el precio óptimo para cada segmento y a cuánto ascenderán los ingresos totales alcanzados?.

En este caso los turistas, es decir, aquellos con WTP máxima de $5.000 corresponden al 60% del total de la demanda estimada preliminarmente, es decir, son 600 personas. En consecuencia y siguiendo un proceso como el anteriormente descrito se concluye que el precio óptimo para dicho segmento es de $3.000, lo cual genera un ingreso esperado de $1.200.000.

El segmento de conferencia que contiene a personas con disposiciones a pagar de $7.000 y $9.000 representa el 40% de la demanda total (400 personas). En este caso el precio que maximiza la recaudación es de $7.000 (precio al cual todos las personas del segmento conferencistas estarían dispuestos a comprar un paquete turístico) con un ingreso de $2.800.000.

Si se puede aplicar la discriminación de precios anterior y se evitan fugas del segmento de conferencias al segmento turista, se espera un ingreso de $4.000.000 (suma de $1.200.000 y $2.800.000) que supera en $1.000.000 el ingreso asociado al precio óptimo de la alternativa sin discriminación.

Pregunta N°3: Considerando una mayor cantidad de datos, se ha estimado ahora una función de demanda total d(p)=1.000–0,01*p

a) ¿Cuál es el precio que maximiza los ingresos en este caso?: Max p*(1000-0,01*p). Derivando e igualando a cero se obtiene p=50.000.

b) ¿Cuál sería el nivel de ingresos alcanzado si se pudiera discriminar perfectamente a los clientes, esto es cobrando a cada cliente su disposición a pagar? ¿Es posible lograr este objetivo?: La ganancia total es de $5.000.000 (1.000*10.000/2). No es posible realizar esta ganancia dado que es imposible conocer la disposición a pagar de cada cliente.

Ejemplo Resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales)

En el siguiente artículo abordamos un ejemplo resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales) para 2 productos finales y un insumo con demanda dependiente que permite su fabricación. En el ejemplo se abordan las políticas de lotificación de Costo Unitario Mínimo y Tamaño Fijo de Pedido, explicando con detalle cómo se aplican dichos criterios para determinar el tamaño de los pedidos y el momento en el cual se emiten, de modo de satisfacer las necesidades netas de los productos en consideración.

La empresa Manzana produce y distribuye computadores. Dos de sus modelos más famosos, ManBook y ManBook Pro, usan el mismo chip en su interior (sólo se diferencian por los materiales de sus carcasas), el M4. El problema que ha tenido esta compañía con sus productos estrella, es que el chip en su interior se calienta demasiado y falla. Por esto, se debe considerar una demanda independiente del chip M4 de 100 unidades semanales, las cuales son para venta directa a clientes a través de los servicios técnicos. Los ManBook y ManBook Pro son armados por Manzana en cantidades mínimas de producción, pero el chip M4 es comprado a un proveedor asiático el cual impone un volumen mínimo de compra. La demanda estimada para los ManBook y ManBook Pro para las próximas ocho semanas es:

Además, se sabe que: el tamaño de lote para el ManBook Pro y el chip M4 es igual a la cantidad mínima de producción/compra. Antecedentes adicionales se resume en la siguiente tabla correspondiente al Registro del Inventario o IRF (en el artículo Ejemplo del Plan de Requerimientos de Materiales (MRP) se detallan los elementos necesarios para desarrollar un MRP).

Determine cuándo y en qué cantidades deben ser realizados los pedidos del computador ManBook. Para determinar el tamaño de lote use la política del Costo Unitario Mínimo. Asuma que el costo unitario de mantener inventario es de $1,65 por semana, y el costo de hacer un pedido es de $1.000.

Ejercicio Resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales)

En primer lugar resulta necesario identificar la estructura del producto final y cómo este se compone por distintos elementos de productos con demanda dependiente. En este caso en particular se dispone de 2 productos finales o productos padres: ManBook y ManBook Pro, cada uno de los cuales dispone de un chip M4 en su interior. La lista de materiales o BOM (Bill of Materials) se presenta a continuación:

Es decir, cada uno de los productos finales, a saber, ManBook y ManBook Pro, necesitan una unidad del chip M4 para ser fabricados.

Luego con esta información desarrollamos las políticas de lotificación para cada producto final y su insumo común (chip M4). Los resultados se resumen a continuación:

En primer lugar consideramos las necesidades brutas del producto ManBook. En el Registro del Inventario (IRF) se detalla que se dispone de un inventario inicial de 500 unidades y que no se considera mantener inventario de seguridad para dicho producto. En consecuencia, el saldo disponible proyectado (esto es el inventario al final de una semana) para la semana 1 es de 300 unidades que corresponde a descontar 200 unidades (necesidad bruta) al inventario inicial. En la semana 2 existe una entrada programada de 620 unidades (notar la diferencia entre una entrada programada y una entrada de pedido planeada). De esta forma el inventario (saldo disponible proyectado) al final de la semana 2 será de 720 unidades (300 unidades que vienen de la semana 1 + 620 de entradas programas en la semana 2 – 200 unidades de necesidad bruta de la semana 2). Las 720 unidades disponibles al final de la semana 2 permiten satisfacer los requerimientos brutos de las semanas 3, 4 y 5, quedando 50 unidades de saldo al final de la semana 5. Luego la necesidad neta de la semana 6 es de 190 unidades (240 unidades de necesidad bruta – 50 unidades del saldo disponible proyectado para la semana 5).

Se puede observar por tanto que las necesidades netas de Manbook son a contar de la semana 6 y a partir de este momento comenzamos a agrupar las necesidades utilizando la política de lotificación denominada Costo Unitario Mínimo (se recomienda revisar otras alternativas de lotificación descritas en el artículo Ejemplo de la Planeación de Requerimientos de Materiales (MRP o Material Requirements Planning)). El detalle del procedimiento se presenta a continuación:

Considerar un pedido por 190 unidades para satisfacer la necesidad neta exacta de la semana 6 (lo cual no genera costos de almacenamiento o inventario pero sí un costo de emisión de pedido de $1.000). El costo total incurrido ($1.000) se divide por el tamaño del pedido (190 unidades) siendo el costo unitario de $5,263.
Agrupar las necesidades de las semanas 6 y 7 y hacer un pedido por 410 unidades (190+220). El costo de emisión de pedido se mantiene en $1.000, no obstante el costo de almacenamiento será de $363 (se almacenan 220 unidades al final de la semana 6 a un costo unitario de almacenamiento semanal de $1,65). El costo unitario es $3,324 ($1.363/410).
Realizar un pedido único por 640 unidades (190+220+230). El costo de almacenamiento es $1.122 (se almacenan 450 unidades al final de la semana 6 y 230 al final de la semana 7, es decir, (450+230)*$1,65). El costo de emisión de $1.000 es fijo por pedido independiente del tamaño del pedido. En consecuencia el costo unitario será de $3,316 ($2.122/640) el cual corresponde al primer (y único en este ejemplo) costo unitario mínimo. Se concluye que se debe realizar un pedido de 640 unidades para satisfacer las necesidades netas exactas de la semana 6 a la semana 8, el cual se emite en la semana 5 dado un tiempo de reposición o lead time de 1 semana.

Continuando con el análisis ahora es el turno de planificar los requerimientos del producto final ManBook Pro y el chip M4. Para favorecer la lectura de nuestros usuarios incluimos nuevamente la tabla resumen del resultado del MRP.

Luego en el caso del producto ManBook Pro es de Tamaño Fijo de Pedido de 350 unidades (según lo descrito en el Registro del Inventario). El inventario disponible al final de la semana 1 para dicho producto es de 280 unidades correspondientes al inventario inicial – el inventario de seguridad – la necesidad bruta de la semana 1. En este contexto resulta intuitivo observar que la primera necesidad neta es para la semana 4 por 140 unidades (150-10, siendo las 10 unidades el saldo disponible proyectado al final de la semana 4). Por tanto se requiere la recepción de un pedido planeado por 350 unidades al inicio de la semana 4 el cual se emite con 2 semanas de antelación dado el tiempo de producción. De esta forma el inventario al final de la semana 4 será de 210 unidades lo cual satisface a la vez las necesidades brutas de las semanas 5 y 6. Finalmente se requiere la entrada de un nuevo pedido planeado por 350 unidades en la semana 7, siendo éste emitido en la semana 5.

Finalmente es necesario considerar las necesidades del chip M4. Notar que las necesidades brutas corresponderán a la suma de los requerimientos semanales de 100 unidades para ofertar a los servicios técnicos (según se detalla en el enunciado) más lo que corresponda como necesidad para la fabricación de los productos Manbook y Manbook Pro. Por ejemplo, en la semana 5 existe una necesidad bruta de 1.090 chips (640 para la fabricación de Manbook + 350 para la fabricación de Manbook Pro + 100 unidades para servicio técnico).

Adicionalmente se puede apreciar que el inventario disponible del chip M4 es suficiente para cubrir los requerimientos de la semana 1 a la semana 4, observándose necesidades netas en la semana 5 y 6 las cuales son cubiertas con pedidos de 1.000 unidades (el chip M4 al igual que el producto ManBook Pro utilizan la política de lotificación de Tamaño Fijo de Pedido) emitidos en las 3 y 4, respectivamente, dado un lead time de 2 semanas.