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Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos)

Un proceso estocástico en tiempo discreto se denomina una Cadena de Markov en tiempo discreto si y solo sí se satisface la Propiedad Markoviana (esto es básicamente que el futuro t=n+1 es independiente del pasado dado el presente t=n) y Propiedad Estacionaria (la probabilidad de pasar de un estado i a un estado j al cabo de una etapa no depende de la etapa n). A continuación presentamos un conjunto de problemas resueltos de Cadenas de Markov que sirvan de complemento para los estudios de nuestros usuarios.

Ejercicios Resueltos de Cadenas de Markov

Ejercicio N°1: Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?.

En primer lugar definimos la variable aleatoria $X_{n}$ que representa la marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n. Dicha variable aleatoria puede adoptar los valores 1,2,3 en el mes n=0,1,2,3,..

Adicionalmente conocemos cuál es la distribución inicial y la matriz de probabilidades de transición en una etapa tal como se observa a continuación:

Luego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de 2 meses (2 etapas) podemos utilizar la fórmula $f^{n}=P^{T}*f^{n-1}$ :

Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente.

Ejercicio N°2: ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas descritas en el Ejercicio N°1?.

La Cadena de Markov del Ejercicio N°1 es irreducible (es decir todos los estados se comunican entre sí) con estados recurrentes positivos y aperiódicos. Lo anterior se concluye luego de la Clasificación de Estados de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Verificado lo anterior podemos obtener la Distribución Límite de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto a través del siguiente sistema de ecuaciones:

La solución del sistema corresponde a: $\pi _{1}=0,2373$ , $\pi _{2}=0,6184$ y $\pi _{3}=0,1443$ , que representan las cuotas de mercado en el largo plazo para las marcas 1,2 y 3, respectivamente. Notar que las actuales participaciones de mercado difieren significativamente de las cuotas obtenidas en el largo plazo lo cual sugiere que de alguna manera deban ser corregidas las probabilidades de transición.

Ejercicio N°3: En una Unidad de Cuidados Intensivos en un determinado hospital, cada paciente es clasificado de acuerdo a un estado crítico, serio o estable. Estas clasificaciones son actualizadas cada mañana por un médico internista, de acuerdo a la evaluación experimentada por el paciente. Las probabilidades con las cuales cada paciente se mueve de un estado a otro se resumen en la tabla que sigue:

¿Cuál es la probabilidad que un paciente en estado crítico un día Jueves esté estable el día Sábado?.

Sea $X_{n}$ la variable aleatoria que indica el estado que se encuentra un paciente cualquiera en el hospital en el día n. Los valores posibles para dicha variable son C, S y E, representando los estados crítico, serio y estable, respectivamente. Un grafo que representa dicho proceso estocástico dada la tabla anterior es:

La probabilidad de que un paciente esté en estado crítico el día Jueves y que el día Sábado esté estable, esta dado por: $\mathbb{P}_{CE}^{2}$ , es decir, la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas (días).

$\mathbb{P}_{CE}^{2}=0,3*0,2+0,1*0,5+0,6*0,1=0,17$

Notar que de forma equivalente se pueden utilizar las ecuaciones matriciales $f^{n}=P^{T}*f^{n-1}$ :

Se comprueba que la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas es de un 17%.

¿Cuál es la probabilidad que un paciente que está en estado estable el Lunes experimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el Miércoles?.

En este caso cambia la distribución inicial respecto al escenario anterior (ahora el paciente está en estado estable), no obstante, también resulta de nuestro interés analizar qué sucede al cabo de 2 etapas.

Con color verde se marca la probabilidad de que comenzando en un estado estable al cabo de 2 días un paciente se encuentre en estado crítico o serio. La suma de dichas probabilidades es un 66% que da respuesta a la interrogante anterior.

¿Qué porcentaje de la Unidad de Cuidados Intensivos usted diseñaría y equiparía para pacientes en estado crítico?.

Naturalmente se desea estimar la probabilidades de estado en el largo plazo independiente de la distribución inicial. La cadena es irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos. Utilizando las ecuaciones de estado estable presentadas en el Ejercicio N°2 se obtiene que $\pi _{C}\cong0,2373$ , $\pi _{S}\cong0,6184$ y $\pi _{E}\cong0,1443$ , que representan la probabilidad de que un individuo se encuentre en estado crítico, serio y estable, respectivamente.

El software Interactive Operations Research Tutorial (IORTutorial) permite estimar las probabilidades de largo plazo luego de ingresar la matriz de probabilidades de transición según se muestra a continuación:

Comentarios: En el Blog hemos desarrollado otros ejercicios resueltos que recomendamos revisar, entre ellos uno que aborda una Política de Gestión de Inventarios a través de Cadenas de Markov en Tiempo Discreto y Ejemplo de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Adicionalmente en la categoría de contenidos de Cadenas de Markov periódicamente estamos publicando nuevo material didáctico sobre dicha materia. Esperamos que este material sea de utilidad para tus estudios y te agradecemos puedas ayudarnos a difundir éste a través de las redes sociales.

Problema de Producción y Mezcla de Café en Programación Lineal

Como hemos abordado anteriormente en el Blog, los modelos de Programación Lineal constituyen una alternativa metodológica para enfrentar Problemas de Mezcla de Productos. En este contexto a continuación presentamos la formulación de un modelo de optimización lineal junto a su implementación computacional haciendo uso de Solver de Excel el cual fue enviado por uno de nuestros usuarios de Costa Rica.

Problema de Producción y Mezcla

Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con:

Por ejemplo, el costo por libra del café colombiano es $52, el cual contiene 2,5% de cafeína y se dispone de 20.000 libras para la producción de mezclas. Adicionalmente los productos que se comercializan en el mercado son:

Es decir, la mezcla suave se vende a $72 la libra, con una demanda de 35.000 libras y puede contener como máximo un 2,2% de cafeína.

Variables de Decisión:

Donde i=1,2,3 representa los países de origen Colombia, Brasil y México, respectivamente y j=1,2 la mezcla Suave y Suavísimo, respectivamente.

Función Objetivo:

Se busca maximizar la ganancia (diferencia entre los ingresos menos los costos) asociada al plan de producción y venta de las mezclas de café. Con color amarillo se destaca los ingresos por venta correspondientes a las variedades Suave y Suavísimo y en color verde los costos asociados a la utilización de libras de café colombiano, brasileño y mexicano.

Restricciones:

Disponibilidad de Café: para cada país de origen la cantidad de libras utilizadas para el proceso de mezcla no debe superar la disponibilidad.

Demanda de Mezclas: se debe satisfacer la demanda de cada mezcla de café a través de la asignación de las variedades provenientes de los 3 países de origen.

Porcentaje Máximo de Cafeína: cada mezcla no debe superar un porcentaje máximo de cafeína admitido.

No Negatividad: naturalmente las variables de decisión deben satisfacer las condiciones de no negatividad y se permiten valores fraccionarios: $X_{ij}\geqslant 0$ .

Al implementar el modelo de Programación Lineal anterior haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo:

La ganancia total (valor óptimo) es de $1.385.000, la cual se obtiene al asignar 20.000 libras de café Colombiano para la producción de la variedad Suave, 25.000 libras de café Brasileño para la producción de la mezcla Suavísimo y 15.000 libras de café Mexicano para la producción de la variedad Suave (solución óptima).

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

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Método de Suavizamiento Exponencial Ajustado a la Tendencia (Suavización Exponencial Doble)

Los métodos de pronóstico de demanda de series de tiempo como Suavizamiento Exponencial (Alisamiento Exponencial) y Media Móvil Simple, tienen un mejor desempeño cuando el patrón histórico de la demanda no evidencia tendencia ni estacionalidad marcada como se observa en el gráfico a continuación. En particular en el caso del Suavizamiento Exponencial, si la serie de tiempo tiene una tendencia creciente se tenderá a subestimar la demanda real y de forma análoga cuando la demanda presenta una tendencia decreciente el alisamiento exponencial tenderá a sobrestimar el valor de la demanda real.

Para mejorar la calidad del pronóstico al observar una tendencia en la serie de tiempo se puede considerar el método de Suavizamiento Exponencial Doble, conocido también como Suavizamiento Exponencial Ajustado a la Tendencia o Método de Holt. Cabe recordar que una tendencia es un incremento o decremento sistemático en el promedio de la serie a través del tiempo. Luego, el método de Suavizamiento Exponencial Doble busca incorporar la tendencia en un pronóstico suavizado exponencialmente.

Para su cálculo se requieren dos constantes de suavizamiento: α y β, realizándose las siguientes estimaciones:

Donde $A_{t}$ es el promedio suavizado exponencialmente de la serie en el período t, $T_{t}$ el promedio suavizado exponencialmente de la tendencia en el período t, α el parámetro de suavizamiento para el promedio, con un valor entre 0 y 1, β el parámetro de suavizamiento para la tendencia, con un valor entre 0 y 1 y $F_{t+1}$ el pronóstico para el período t+1.

Ejemplo Suavizamiento Exponencial Doble

Un laboratorio clínico realiza exámenes de sangre cada semana. En promedio el laboratorio realizó 28 análisis de sangre cada semana durante las últimas cuatro semanas. Adicionalmente la tendencia en ese período fue de tres muestras adicionales por semana. La demanda en esta semana fue de 27 análisis de sangre. Si α=0,2 y β=0,2 se requiere calcular el pronóstico correspondiente a la semana próxima.

En el caso que el número real de exámenes en la semana 2 resultará ser 44, entonces el pronóstico actualizado para la semana 3 sería el siguiente:

A continuación se presenta un gráfico con el comportamiento de la demanda real y el pronóstico con Suavizamiento Exponencial Doble para los datos del ejemplo anterior.

Finalmente ponemos a disposición de nuestros usuarios una plantilla que permite editar los datos de la demanda real (celdas color amarillo claro) y los datos iniciales $A_{0}$ y $T_{0}$ (celdas celestes), junto con el valor de los parámetros α y β. Al modificar la información de dichas celdas se actualiza automáticamente los pronósticos, el error de cada período, el MAD (Desviación Media Absoluta) y el gráfico que contrasta el comportamiento de la demanda real con el pronóstico.

En caso de obtener un error del tipo #VALUE! ingrese los valores de α y β utilizando . (punto) como separador de decimal, por ejemplo, α=0.2.

Comparación de un Servicio General y Específico para la Atención de Clientes (Teoría de Colas)

En los sistemas de atención de público se suelen encontrar distintos esquemas o configuraciones en las que se organiza la espera de los clientes antes de ser atendidos. Se pueden observar casos donde los clientes se ordenan en una fila para ser atendidos por un servidor, otros donde los clientes se ordenan en una fila común y luego son atendidos por un servidor en la medida que este disponible (esquema frecuente en las cajas rápidas en los supermercados). En este contexto el siguiente artículo evaluaremos un sistema de atención general y uno específico, comparando desde un punto de vista cuantitativo el desempeño de cada caso a través de la simulación del comportamiento de la Línea de Espera.

Un banco pequeño en un centro comercial tiene dos cajeros. Uno maneja al público general y uno maneja a los clientes regulares. Cada tipo de clientes llega con una media de 20 por hora (para una proporción de la llegada total de 40 clientes por hora). El tiempo de servicio para ambos cajeros promedia 2 minutos (sigue una distribución exponencial, es decir, se verifica el cumplimiento de la Propiedad de Falta de Memoria o Amnesia de la Distribución Exponencial). El gerente del banco está considerando cambiar el orden de atención para permitir que cada cajero pueda manejar ambos tipos de clientes. Debido a que los cajeros tendrían que manejar ambos tipos de trabajos, sus eficiencias disminuirían a un tiempo de servicio de 2,2 minutos por cliente. ¿Se debe cambiar al nuevo esquema de atención?.

Servicio General y Específico para la Atención de Clientes

El servicio específico implica que cada cajero atiende de forma exclusiva un tipo de clientes sin existir colaboración entre los mismos. Una representación esquemática de dicho escenario se muestra a continuación:

En el artículo Simulación de una Línea de Espera M/M/1 (Teoría de Colas) en Excel se detalla el procedimiento para obtener los indicadores de desempeño de una línea de espera con un servidor, donde el tiempo entre llegadas de los clientes se distribuye exponencial, al igual que los tiempos de servicios. En el ejemplo la atención para cada tipo de clientes muestra los siguientes resultados:

El número esperado de clientes en el sistema Ls es de 2 clientes (en este caso la fila y atención para cada tipo de cliente constituye un sistema), el número esperado de clientes en la fila Lq es de 1,333, el tiempo promedio que un cliente esta en el sistema Ws es 0,1 horas, es decir, 6 minutos. Finalmente el tiempo que un cliente esta en la fila Wq es de 0,06667 horas (4 minutos).

En el caso de un servicio general, en donde existe colaboración entre los servidores, la capacidad de cada uno de ellos baja a µ=60/2,2[clientes/hora].

Los indicadores de desempeño son: Ls=3,17307 (considerando los 2 tipos de clientes, es decir, en promedio se espera tener menos clientes en el sistema que el caso del servicio específico donde en total se esperan, en promedio, 4 clientes en el sistema); el tiempo promedio que un cliente esta en el sistema Ws es 0,07933 horas (aprox 4,76 minutos); el número esperado de clientes en la fila Lq es de 1,7064 y el tiempo que en promedio un cliente esta en la fila Wq es de 0,04266 horas (2,56 minutos).

Se concluye que si bien en nuestro ejemplo la capacidad de cada uno de los servidores baja al atender los 2 tipos de clientes, esto se ve compensado por el efecto de colaboración que se genera entre los mismos, lo que permite bajar el tiempo que en promedio un cliente esta en el sistema y en la fila. Estos aspectos claramente son valorados desde la perspectiva de los clientes y deberían ser tomados en cuenta al momento de decidir si se cambia el esquema original de atención de clientes.

¿Quieres tener el archivo Excel con la planilla de Simulación de una Línea de Espera utilizada en este ejemplo?

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Ejemplo del Cálculo del Punto de Equilibrio

En todo negocio un aspecto imprescindible consiste en evaluar la ganancia potencial de un producto o servicio, ya sea nuevo o existente. Se considera que los costos asociados a la producción de un producto o prestación de un servicio se puede dividir básicamente en 2 categorías: costos fijos (independientes del volumen de producción dentro de un rango de producción relevante) y costos variables (que varían directamente con el volumen de producción, asumiendo una relación lineal o proporcional). En este contexto el punto de equilibrio determina cuál debe ser el número de unidades vendidas que permite equiparar los ingresos totales con los costos totales, es decir, aquel volumen de ventas que evita pérdidas y ganancias.

Dado lo anterior queda de manifiesto la importancia de la evaluación del punto de equilibrio. El análisis se enfoca a responder preguntas del tipo:

¿Las ventas pronosticadas resultan ser suficientes para evitar pérdidas?
¿Cuánto debe bajar el costo variable unitario para alcanzar el punto de equilibrio, dadas las condiciones actuales de precios y proyecciones de ventas?
¿Cuál es el impacto del precio unitario en la obtención del punto de equilibrio?
¿Cuánto deben bajar los costos fijos para estar en una situación sin ganar o perder?

Sea $CT=F+cQ$ el costo total de producir un bien o prestar un servicio, donde $F$ es el costo fijo y $cQ$ los costos variables ( $c$ es el costo unitario y $Q$ la cantidad vendida). Adicionalmente sea $IT=pQ$ el ingreso total, donde $p$ es el precio unitario. El punto de equilibrio en términos de las unidades vendidas esta dado por:

Ejemplo Cálculo del Punto de Equilibrio

Una clínica esta evaluando un nuevo examen que reportará ingresos de $200 por paciente. El costo fijo anual será de $100.000 y los costos variables son de $100 por paciente. ¿Cuál es el punto de equilibrio para este servicio?.

Al evaluar en la fórmula anterior obtenemos lo siguiente:

Es decir, si se realizan 1.000 exámenes (asumiendo un examen por paciente) los ingresos totales igualan a los costos totales, evitando tanto pérdidas como ganancias. De forma complementaria con la ayuda de Excel se puede evaluar de forma sencilla tanto los ingresos como costos totales para distintos niveles de actividad (en este caso número de exámenes o pacientes). La línea azul representa el ingreso total en miles de $ (eje vertical) para distintos valores de números de pacientes (eje horizontal). La línea roja representa el costo total donde resulta de particular interés observar que su valor es de $100 (mil) en el caso de cero pacientes (costo fijo).

Una representación alternativa del ejemplo anterior hemos desarrollado con Geogebra, la cual se muestra a continuación. El área achurada de color rojo representa la pérdida, es decir, cuando el número de pacientes es menor al punto de equilibrio, por el contrario el área achurada de color verde representa la ganancia, en la cual se incurre cuando el nivel de pacientes supera el punto de equilibrio.