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Ejemplo Resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales)

En el siguiente artículo abordamos un ejemplo resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales) para 2 productos finales y un insumo con demanda dependiente que permite su fabricación. En el ejemplo se abordan las políticas de lotificación de Costo Unitario Mínimo y Tamaño Fijo de Pedido, explicando con detalle cómo se aplican dichos criterios para determinar el tamaño de los pedidos y el momento en el cual se emiten, de modo de satisfacer las necesidades netas de los productos en consideración.

La empresa Manzana produce y distribuye computadores. Dos de sus modelos más famosos, ManBook y ManBook Pro, usan el mismo chip en su interior (sólo se diferencian por los materiales de sus carcasas), el M4. El problema que ha tenido esta compañía con sus productos estrella, es que el chip en su interior se calienta demasiado y falla. Por esto, se debe considerar una demanda independiente del chip M4 de 100 unidades semanales, las cuales son para venta directa a clientes a través de los servicios técnicos. Los ManBook y ManBook Pro son armados por Manzana en cantidades mínimas de producción, pero el chip M4 es comprado a un proveedor asiático el cual impone un volumen mínimo de compra. La demanda estimada para los ManBook y ManBook Pro para las próximas ocho semanas es:

Además, se sabe que: el tamaño de lote para el ManBook Pro y el chip M4 es igual a la cantidad mínima de producción/compra. Antecedentes adicionales se resume en la siguiente tabla correspondiente al Registro del Inventario o IRF (en el artículo Ejemplo del Plan de Requerimientos de Materiales (MRP) se detallan los elementos necesarios para desarrollar un MRP).

Determine cuándo y en qué cantidades deben ser realizados los pedidos del computador ManBook. Para determinar el tamaño de lote use la política del Costo Unitario Mínimo. Asuma que el costo unitario de mantener inventario es de $1,65 por semana, y el costo de hacer un pedido es de $1.000.

Ejercicio Resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales)

En primer lugar resulta necesario identificar la estructura del producto final y cómo este se compone por distintos elementos de productos con demanda dependiente. En este caso en particular se dispone de 2 productos finales o productos padres: ManBook y ManBook Pro, cada uno de los cuales dispone de un chip M4 en su interior. La lista de materiales o BOM (Bill of Materials) se presenta a continuación:

Es decir, cada uno de los productos finales, a saber, ManBook y ManBook Pro, necesitan una unidad del chip M4 para ser fabricados.

Luego con esta información desarrollamos las políticas de lotificación para cada producto final y su insumo común (chip M4). Los resultados se resumen a continuación:

En primer lugar consideramos las necesidades brutas del producto ManBook. En el Registro del Inventario (IRF) se detalla que se dispone de un inventario inicial de 500 unidades y que no se considera mantener inventario de seguridad para dicho producto. En consecuencia, el saldo disponible proyectado (esto es el inventario al final de una semana) para la semana 1 es de 300 unidades que corresponde a descontar 200 unidades (necesidad bruta) al inventario inicial. En la semana 2 existe una entrada programada de 620 unidades (notar la diferencia entre una entrada programada y una entrada de pedido planeada). De esta forma el inventario (saldo disponible proyectado) al final de la semana 2 será de 720 unidades (300 unidades que vienen de la semana 1 + 620 de entradas programas en la semana 2 – 200 unidades de necesidad bruta de la semana 2). Las 720 unidades disponibles al final de la semana 2 permiten satisfacer los requerimientos brutos de las semanas 3, 4 y 5, quedando 50 unidades de saldo al final de la semana 5. Luego la necesidad neta de la semana 6 es de 190 unidades (240 unidades de necesidad bruta – 50 unidades del saldo disponible proyectado para la semana 5).

Se puede observar por tanto que las necesidades netas de Manbook son a contar de la semana 6 y a partir de este momento comenzamos a agrupar las necesidades utilizando la política de lotificación denominada Costo Unitario Mínimo (se recomienda revisar otras alternativas de lotificación descritas en el artículo Ejemplo de la Planeación de Requerimientos de Materiales (MRP o Material Requirements Planning)). El detalle del procedimiento se presenta a continuación:

Considerar un pedido por 190 unidades para satisfacer la necesidad neta exacta de la semana 6 (lo cual no genera costos de almacenamiento o inventario pero sí un costo de emisión de pedido de $1.000). El costo total incurrido ($1.000) se divide por el tamaño del pedido (190 unidades) siendo el costo unitario de $5,263.
Agrupar las necesidades de las semanas 6 y 7 y hacer un pedido por 410 unidades (190+220). El costo de emisión de pedido se mantiene en $1.000, no obstante el costo de almacenamiento será de $363 (se almacenan 220 unidades al final de la semana 6 a un costo unitario de almacenamiento semanal de $1,65). El costo unitario es $3,324 ($1.363/410).
Realizar un pedido único por 640 unidades (190+220+230). El costo de almacenamiento es $1.122 (se almacenan 450 unidades al final de la semana 6 y 230 al final de la semana 7, es decir, (450+230)*$1,65). El costo de emisión de $1.000 es fijo por pedido independiente del tamaño del pedido. En consecuencia el costo unitario será de $3,316 ($2.122/640) el cual corresponde al primer (y único en este ejemplo) costo unitario mínimo. Se concluye que se debe realizar un pedido de 640 unidades para satisfacer las necesidades netas exactas de la semana 6 a la semana 8, el cual se emite en la semana 5 dado un tiempo de reposición o lead time de 1 semana.

Continuando con el análisis ahora es el turno de planificar los requerimientos del producto final ManBook Pro y el chip M4. Para favorecer la lectura de nuestros usuarios incluimos nuevamente la tabla resumen del resultado del MRP.

Luego en el caso del producto ManBook Pro es de Tamaño Fijo de Pedido de 350 unidades (según lo descrito en el Registro del Inventario). El inventario disponible al final de la semana 1 para dicho producto es de 280 unidades correspondientes al inventario inicial – el inventario de seguridad – la necesidad bruta de la semana 1. En este contexto resulta intuitivo observar que la primera necesidad neta es para la semana 4 por 140 unidades (150-10, siendo las 10 unidades el saldo disponible proyectado al final de la semana 4). Por tanto se requiere la recepción de un pedido planeado por 350 unidades al inicio de la semana 4 el cual se emite con 2 semanas de antelación dado el tiempo de producción. De esta forma el inventario al final de la semana 4 será de 210 unidades lo cual satisface a la vez las necesidades brutas de las semanas 5 y 6. Finalmente se requiere la entrada de un nuevo pedido planeado por 350 unidades en la semana 7, siendo éste emitido en la semana 5.

Finalmente es necesario considerar las necesidades del chip M4. Notar que las necesidades brutas corresponderán a la suma de los requerimientos semanales de 100 unidades para ofertar a los servicios técnicos (según se detalla en el enunciado) más lo que corresponda como necesidad para la fabricación de los productos Manbook y Manbook Pro. Por ejemplo, en la semana 5 existe una necesidad bruta de 1.090 chips (640 para la fabricación de Manbook + 350 para la fabricación de Manbook Pro + 100 unidades para servicio técnico).

Adicionalmente se puede apreciar que el inventario disponible del chip M4 es suficiente para cubrir los requerimientos de la semana 1 a la semana 4, observándose necesidades netas en la semana 5 y 6 las cuales son cubiertas con pedidos de 1.000 unidades (el chip M4 al igual que el producto ManBook Pro utilizan la política de lotificación de Tamaño Fijo de Pedido) emitidos en las 3 y 4, respectivamente, dado un lead time de 2 semanas.

Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos)

Un proceso estocástico en tiempo discreto se denomina una Cadena de Markov en tiempo discreto si y solo sí se satisface la Propiedad Markoviana (esto es básicamente que el futuro t=n+1 es independiente del pasado dado el presente t=n) y Propiedad Estacionaria (la probabilidad de pasar de un estado i a un estado j al cabo de una etapa no depende de la etapa n). A continuación presentamos un conjunto de problemas resueltos de Cadenas de Markov que sirvan de complemento para los estudios de nuestros usuarios.

Ejercicios Resueltos de Cadenas de Markov

Ejercicio N°1: Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?.

En primer lugar definimos la variable aleatoria $X_{n}$ que representa la marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n. Dicha variable aleatoria puede adoptar los valores 1,2,3 en el mes n=0,1,2,3,..

Adicionalmente conocemos cuál es la distribución inicial y la matriz de probabilidades de transición en una etapa tal como se observa a continuación:

Luego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de 2 meses (2 etapas) podemos utilizar la fórmula $f^{n}=P^{T}*f^{n-1}$ :

Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente.

Ejercicio N°2: ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas descritas en el Ejercicio N°1?.

La Cadena de Markov del Ejercicio N°1 es irreducible (es decir todos los estados se comunican entre sí) con estados recurrentes positivos y aperiódicos. Lo anterior se concluye luego de la Clasificación de Estados de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Verificado lo anterior podemos obtener la Distribución Límite de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto a través del siguiente sistema de ecuaciones:

La solución del sistema corresponde a: $\pi _{1}=0,2373$ , $\pi _{2}=0,6184$ y $\pi _{3}=0,1443$ , que representan las cuotas de mercado en el largo plazo para las marcas 1,2 y 3, respectivamente. Notar que las actuales participaciones de mercado difieren significativamente de las cuotas obtenidas en el largo plazo lo cual sugiere que de alguna manera deban ser corregidas las probabilidades de transición.

Ejercicio N°3: En una Unidad de Cuidados Intensivos en un determinado hospital, cada paciente es clasificado de acuerdo a un estado crítico, serio o estable. Estas clasificaciones son actualizadas cada mañana por un médico internista, de acuerdo a la evaluación experimentada por el paciente. Las probabilidades con las cuales cada paciente se mueve de un estado a otro se resumen en la tabla que sigue:

¿Cuál es la probabilidad que un paciente en estado crítico un día Jueves esté estable el día Sábado?.

Sea $X_{n}$ la variable aleatoria que indica el estado que se encuentra un paciente cualquiera en el hospital en el día n. Los valores posibles para dicha variable son C, S y E, representando los estados crítico, serio y estable, respectivamente. Un grafo que representa dicho proceso estocástico dada la tabla anterior es:

La probabilidad de que un paciente esté en estado crítico el día Jueves y que el día Sábado esté estable, esta dado por: $\mathbb{P}_{CE}^{2}$ , es decir, la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas (días).

$\mathbb{P}_{CE}^{2}=0,3*0,2+0,1*0,5+0,6*0,1=0,17$

Notar que de forma equivalente se pueden utilizar las ecuaciones matriciales $f^{n}=P^{T}*f^{n-1}$ :

Se comprueba que la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas es de un 17%.

¿Cuál es la probabilidad que un paciente que está en estado estable el Lunes experimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el Miércoles?.

En este caso cambia la distribución inicial respecto al escenario anterior (ahora el paciente está en estado estable), no obstante, también resulta de nuestro interés analizar qué sucede al cabo de 2 etapas.

Con color verde se marca la probabilidad de que comenzando en un estado estable al cabo de 2 días un paciente se encuentre en estado crítico o serio. La suma de dichas probabilidades es un 66% que da respuesta a la interrogante anterior.

¿Qué porcentaje de la Unidad de Cuidados Intensivos usted diseñaría y equiparía para pacientes en estado crítico?.

Naturalmente se desea estimar la probabilidades de estado en el largo plazo independiente de la distribución inicial. La cadena es irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos. Utilizando las ecuaciones de estado estable presentadas en el Ejercicio N°2 se obtiene que $\pi _{C}\cong0,2373$ , $\pi _{S}\cong0,6184$ y $\pi _{E}\cong0,1443$ , que representan la probabilidad de que un individuo se encuentre en estado crítico, serio y estable, respectivamente.

El software Interactive Operations Research Tutorial (IORTutorial) permite estimar las probabilidades de largo plazo luego de ingresar la matriz de probabilidades de transición según se muestra a continuación:

Comentarios: En el Blog hemos desarrollado otros ejercicios resueltos que recomendamos revisar, entre ellos uno que aborda una Política de Gestión de Inventarios a través de Cadenas de Markov en Tiempo Discreto y Ejemplo de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Adicionalmente en la categoría de contenidos de Cadenas de Markov periódicamente estamos publicando nuevo material didáctico sobre dicha materia. Esperamos que este material sea de utilidad para tus estudios y te agradecemos puedas ayudarnos a difundir éste a través de las redes sociales.

Problema de Producción y Mezcla de Café en Programación Lineal

Como hemos abordado anteriormente en el Blog, los modelos de Programación Lineal constituyen una alternativa metodológica para enfrentar Problemas de Mezcla de Productos. En este contexto a continuación presentamos la formulación de un modelo de optimización lineal junto a su implementación computacional haciendo uso de Solver de Excel el cual fue enviado por uno de nuestros usuarios de Costa Rica.

Problema de Producción y Mezcla

Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con:

Por ejemplo, el costo por libra del café colombiano es $52, el cual contiene 2,5% de cafeína y se dispone de 20.000 libras para la producción de mezclas. Adicionalmente los productos que se comercializan en el mercado son:

Es decir, la mezcla suave se vende a $72 la libra, con una demanda de 35.000 libras y puede contener como máximo un 2,2% de cafeína.

Variables de Decisión:

Donde i=1,2,3 representa los países de origen Colombia, Brasil y México, respectivamente y j=1,2 la mezcla Suave y Suavísimo, respectivamente.

Función Objetivo:

Se busca maximizar la ganancia (diferencia entre los ingresos menos los costos) asociada al plan de producción y venta de las mezclas de café. Con color amarillo se destaca los ingresos por venta correspondientes a las variedades Suave y Suavísimo y en color verde los costos asociados a la utilización de libras de café colombiano, brasileño y mexicano.

Restricciones:

Disponibilidad de Café: para cada país de origen la cantidad de libras utilizadas para el proceso de mezcla no debe superar la disponibilidad.

Demanda de Mezclas: se debe satisfacer la demanda de cada mezcla de café a través de la asignación de las variedades provenientes de los 3 países de origen.

Porcentaje Máximo de Cafeína: cada mezcla no debe superar un porcentaje máximo de cafeína admitido.

No Negatividad: naturalmente las variables de decisión deben satisfacer las condiciones de no negatividad y se permiten valores fraccionarios: $X_{ij}\geqslant 0$ .

Al implementar el modelo de Programación Lineal anterior haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo:

La ganancia total (valor óptimo) es de $1.385.000, la cual se obtiene al asignar 20.000 libras de café Colombiano para la producción de la variedad Suave, 25.000 libras de café Brasileño para la producción de la mezcla Suavísimo y 15.000 libras de café Mexicano para la producción de la variedad Suave (solución óptima).

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

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Método de Suavizamiento Exponencial Ajustado a la Tendencia (Suavización Exponencial Doble)

Los métodos de pronóstico de demanda de series de tiempo como Suavizamiento Exponencial (Alisamiento Exponencial) y Media Móvil Simple, tienen un mejor desempeño cuando el patrón histórico de la demanda no evidencia tendencia ni estacionalidad marcada como se observa en el gráfico a continuación. En particular en el caso del Suavizamiento Exponencial, si la serie de tiempo tiene una tendencia creciente se tenderá a subestimar la demanda real y de forma análoga cuando la demanda presenta una tendencia decreciente el alisamiento exponencial tenderá a sobrestimar el valor de la demanda real.

Para mejorar la calidad del pronóstico al observar una tendencia en la serie de tiempo se puede considerar el método de Suavizamiento Exponencial Doble, conocido también como Suavizamiento Exponencial Ajustado a la Tendencia o Método de Holt. Cabe recordar que una tendencia es un incremento o decremento sistemático en el promedio de la serie a través del tiempo. Luego, el método de Suavizamiento Exponencial Doble busca incorporar la tendencia en un pronóstico suavizado exponencialmente.

Para su cálculo se requieren dos constantes de suavizamiento: α y β, realizándose las siguientes estimaciones:

Donde $A_{t}$ es el promedio suavizado exponencialmente de la serie en el período t, $T_{t}$ el promedio suavizado exponencialmente de la tendencia en el período t, α el parámetro de suavizamiento para el promedio, con un valor entre 0 y 1, β el parámetro de suavizamiento para la tendencia, con un valor entre 0 y 1 y $F_{t+1}$ el pronóstico para el período t+1.

Ejemplo Suavizamiento Exponencial Doble

Un laboratorio clínico realiza exámenes de sangre cada semana. En promedio el laboratorio realizó 28 análisis de sangre cada semana durante las últimas cuatro semanas. Adicionalmente la tendencia en ese período fue de tres muestras adicionales por semana. La demanda en esta semana fue de 27 análisis de sangre. Si α=0,2 y β=0,2 se requiere calcular el pronóstico correspondiente a la semana próxima.

En el caso que el número real de exámenes en la semana 2 resultará ser 44, entonces el pronóstico actualizado para la semana 3 sería el siguiente:

A continuación se presenta un gráfico con el comportamiento de la demanda real y el pronóstico con Suavizamiento Exponencial Doble para los datos del ejemplo anterior.

Finalmente ponemos a disposición de nuestros usuarios una plantilla que permite editar los datos de la demanda real (celdas color amarillo claro) y los datos iniciales $A_{0}$ y $T_{0}$ (celdas celestes), junto con el valor de los parámetros α y β. Al modificar la información de dichas celdas se actualiza automáticamente los pronósticos, el error de cada período, el MAD (Desviación Media Absoluta) y el gráfico que contrasta el comportamiento de la demanda real con el pronóstico.

En caso de obtener un error del tipo #VALUE! ingrese los valores de α y β utilizando . (punto) como separador de decimal, por ejemplo, α=0.2.

Comparación de un Servicio General y Específico para la Atención de Clientes (Teoría de Colas)

En los sistemas de atención de público se suelen encontrar distintos esquemas o configuraciones en las que se organiza la espera de los clientes antes de ser atendidos. Se pueden observar casos donde los clientes se ordenan en una fila para ser atendidos por un servidor, otros donde los clientes se ordenan en una fila común y luego son atendidos por un servidor en la medida que este disponible (esquema frecuente en las cajas rápidas en los supermercados). En este contexto el siguiente artículo evaluaremos un sistema de atención general y uno específico, comparando desde un punto de vista cuantitativo el desempeño de cada caso a través de la simulación del comportamiento de la Línea de Espera.

Un banco pequeño en un centro comercial tiene dos cajeros. Uno maneja al público general y uno maneja a los clientes regulares. Cada tipo de clientes llega con una media de 20 por hora (para una proporción de la llegada total de 40 clientes por hora). El tiempo de servicio para ambos cajeros promedia 2 minutos (sigue una distribución exponencial, es decir, se verifica el cumplimiento de la Propiedad de Falta de Memoria o Amnesia de la Distribución Exponencial). El gerente del banco está considerando cambiar el orden de atención para permitir que cada cajero pueda manejar ambos tipos de clientes. Debido a que los cajeros tendrían que manejar ambos tipos de trabajos, sus eficiencias disminuirían a un tiempo de servicio de 2,2 minutos por cliente. ¿Se debe cambiar al nuevo esquema de atención?.

Servicio General y Específico para la Atención de Clientes

El servicio específico implica que cada cajero atiende de forma exclusiva un tipo de clientes sin existir colaboración entre los mismos. Una representación esquemática de dicho escenario se muestra a continuación:

En el artículo Simulación de una Línea de Espera M/M/1 (Teoría de Colas) en Excel se detalla el procedimiento para obtener los indicadores de desempeño de una línea de espera con un servidor, donde el tiempo entre llegadas de los clientes se distribuye exponencial, al igual que los tiempos de servicios. En el ejemplo la atención para cada tipo de clientes muestra los siguientes resultados:

El número esperado de clientes en el sistema Ls es de 2 clientes (en este caso la fila y atención para cada tipo de cliente constituye un sistema), el número esperado de clientes en la fila Lq es de 1,333, el tiempo promedio que un cliente esta en el sistema Ws es 0,1 horas, es decir, 6 minutos. Finalmente el tiempo que un cliente esta en la fila Wq es de 0,06667 horas (4 minutos).

En el caso de un servicio general, en donde existe colaboración entre los servidores, la capacidad de cada uno de ellos baja a µ=60/2,2[clientes/hora].

Los indicadores de desempeño son: Ls=3,17307 (considerando los 2 tipos de clientes, es decir, en promedio se espera tener menos clientes en el sistema que el caso del servicio específico donde en total se esperan, en promedio, 4 clientes en el sistema); el tiempo promedio que un cliente esta en el sistema Ws es 0,07933 horas (aprox 4,76 minutos); el número esperado de clientes en la fila Lq es de 1,7064 y el tiempo que en promedio un cliente esta en la fila Wq es de 0,04266 horas (2,56 minutos).

Se concluye que si bien en nuestro ejemplo la capacidad de cada uno de los servidores baja al atender los 2 tipos de clientes, esto se ve compensado por el efecto de colaboración que se genera entre los mismos, lo que permite bajar el tiempo que en promedio un cliente esta en el sistema y en la fila. Estos aspectos claramente son valorados desde la perspectiva de los clientes y deberían ser tomados en cuenta al momento de decidir si se cambia el esquema original de atención de clientes.

¿Quieres tener el archivo Excel con la planilla de Simulación de una Línea de Espera utilizada en este ejemplo?

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