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Método de Descomposición de Benders

La Descomposición de Benders es, como su nombre lo dice, un Método de Descomposición. La idea de este método es bastante simple: dividir para conquistar. El objetivo es literalmente descomponer el problema en dos partes: El Master Problem (Problema Maestro) y el Subproblem (Subproblema) (también llamado Slave Problem o Problema Esclavo). En el siguiente artículo revisaremos de qué se trata el Método de Descomposición de Benders, en conjunto con la presentación de su uso en un pequeño ejemplo.

Esta metodología fue propuesta por J.F. Benders en 1962, su nombre original es Partitioning procedures for solving mixed-variables programming problems, y como su nombre bien lo dice el método está pensado originalmente para problemas de Programación Entera Mixta. Sin embargo, también se puede aplicar en problemas de Programación Lineal.

El Método de Descomposición de Benders trabaja bajo el concepto de las “variables complicadas”, es decir las variables que hacen que nuestro problema se “complique”. Si estas variables no existieran (o más bien, conociéramos su valor de forma anticipada) entonces el problema resultante se supone que es considerablemente más fácil de resolver.

En Programación Entera Mixta, se espera que estas variables “complicadas” sean las enteras, las cuales al fijar su valor, dejan un problema resultante que cumple con una característica muy conveniente: es lineal. Y como cumple con esto, entonces podemos hacer uso de todo lo que conocemos sobre Programación Lineal para realizar la optimización de las variables que (en un principio) fijamos.

Veamos entonces brevemente de que se trata el Método de Descomposición de Benders. Supongamos que tenemos un problema que tiene la siguiente estructura:

Como mencionamos al principio, entonces podemos separar este problema en dos partes. A continuación se muestra el Master Problem (Problema Maestro) a la izquierda y el Subproblem (Subproblema) a la derecha:

Como se puede ver, el Master Problem contiene las variables que son enteras, y el Subproblem contiene las variables continuas, por lo que este último cumple con ser un problema de Programación Lineal.

Notar que el lado derecho de las restricciones del problema esclavo son números, ya que los valores de las variables enteras están fijos.

Iniciamos este artículo diciendo que el concepto central es dividir para conquistar: en este caso lo que se hace es resolver el Problema Maestro para obtener los valores de y; con esto, podemos resolver entonces el Subproblema. Se puede observar que el valor de la función objetivo del Subproblema se encuentra en la función objetivo del Problema Maestro, lo anterior se reformulará más adelante.

Una nota relevante: Si te das cuenta, el Problema Maestro para esta formulación no tiene ninguna restricción más que las de dominio. Nada impide que el Problema Maestro también tenga restricciones. Esto estará dado por la estructura del problema que estemos estudiando.

Recuerda siempre: ambos problemas están conectados, por lo que el resultado de uno influye directamente en el resultado del otro. Con esto en consideración, se cumple la siguiente propiedad:

Si el Subproblema es no acotado, entonces el Problema Maestro también lo es, resultando en que el problema original es no acotado.

Si tenemos un problema de Programación Lineal, entonces tenemos que aprovecharlo. ¿Qué es lo primero que se nos viene a la mente con un problema lineal? La respuesta es dualidad. Cada problema lineal (primal) tiene su problema dual asociado, el cual para el caso del problema esclavo enunciado anteriormente, tiene la siguiente estructura:

¿Qué es lo que podemos ver en este problema dual?: Que la región factible (es decir el sub-espacio definido por las restricciones y el dominio del problema) no depende del valor que tomen las variables enteras, y sólo influye en el valor de la función objetivo (notar que están en ella).

Lo anterior entonces nos lleva a la siguiente pregunta: ¿Qué sucede cuando la región factible del problema es vacía? (recuerda que al ser vacía estamos diciendo que nuestro problema dual es infactible). Dos cosas pueden ocurrir:

Al ser el problema dual infactible, entonces su primal es no acotado para algún valor de las variables enteras, en cuyo caso el problema original también es no acotado, o bien
La región factible del problema primal es también infactible para todo valor de las variables enteras, llevando a la conclusión de que el problema original es infactible.

¿Por qué revisamos todo esto?: Porque es importante tenerlo en consideración, ya que como mencionamos anteriormente, al tener un problema esclavo lineal, entonces podemos hacer el uso de los conceptos de dualidad.

¿Para qué la usaremos?: Para reformular nuestro Problema Maestro, y transformarlo en lo que usualmente se conoce como Relaxed Master Problem (RMP). Esta reformulación utiliza las variables duales asociadas a las restricciones del Slave Problem primal.

El Relaxed Master Problem (Problema Maestro Relajado) se puede escribir de la siguiente forma:

A las restricciones (1) y (2) se les conoce como restricciones de factibilidad y optimalidad, respectivamente. Además, existe una variable auxiliar z, la cual permite es la responsable de hacer la “conexión” entre el Problema Maestro y el Subproblema (esto se puede ver en las restricciones del tipo (1) y (2)).

Al resolver el RMP vamos a obtener los valores de las variables enteras, las cuales utilizaremos para resolver el Subproblema, como resultado podemos obtener dos cosas:

El sub-problema es infactible, lo cual implica que el problema dual es no acotado. Si esto ocurre, debemos agregar un corte de factibilidad al RMP.
El sub-problema tiene una solución óptima, lo cual implica que el problema dual también la tiene. Si esto ocurre, entonces hay que agregar un corte de optimalidad al RMP.

La última pregunta que nos queda por responder es: ¿Cuántas veces iterar?. Para responder lo anterior debemos definir la cota superior e inferior.

La cota superior corresponde al valor de la función objetivo original de nuestro problema; la cota inferior corresponde a la función objetivo del Master Problem, por lo tanto, debemos continuar hasta que ambos valores sean iguales.

Como la teoría de esta descomposición puede ser un poco compleja, veamos un ejemplo.

Ejemplo Método de Descomposición de Benders (Programación Lineal)

El ejemplo que veremos a continuación corresponde a un problema de Programación Lineal. La aplicación es similar para los problemas de Programación Entera Mixta.

Supongamos que tenemos que resolver el siguiente problema:

La solución óptima para este problema es: $x_{1}=0$ , $x_{2}=0,714$ e $y=1,571$ con un valor para la función objetivo (valor óptimo) de 5,285. La solución óptima del problema anterior se puede alcanzar de forma sencilla a través del Método Simplex Dual o el Método Simplex de 2 Fases (y por cierto a través de otros procedimientos y herramientas computacionales como Solver de Excel).

Vamos a descomponer el problema de la siguiente forma: recuerda que utilizaremos el RMP (Problema Maestro Relajado). Sea esta la primera iteración, K=1.

Al resolver el RMP de la primera iteración, obtenemos como solución óptima $y=0$ y $z=0$ ; lo cual utilizaremos para resolver el Subproblema. Con $y=0$ , el resultado del Subproblema es: $x_{1}=2,2$ y $x_{2}=0,4$ con un valor en la función objetivo de 5,6.

Ahora debemos calcular la cota superior (UB) y cota inferior (LB):

Como difieren el valor de las cotas, debemos continuar. Gracias a la herramienta “Análisis de Sensibilidad” del Solver en Excel, podemos obtener el valor de las variables duales asociadas a las restricciones del Subproblema (también podríamos obtener el valor de las variables duales óptimas al utilizar el Teorema de Holguras Complementarias). Esos valores son: $\lambda_{1}=-1,6$ y $\lambda_{2}=-0,2$ .

Estos valores nos permiten crear el siguiente corte de optimalidad: $-1,6(-3+y)-0,2(-4+3y)\leq z$ , el cual agregamos al Problema Maestro:

Hacemos K=2 (contador de iteraciones) y resolvemos el Problema Maestro nuevamente. Este corte nos permite encontrar una nueva solución óptima: $y=2,545$ y $z=0$ . Con este valor de y, el resultado del Subproblema es: $x_{1}=0$ y $x_{2}=0,227$ con un valor en la función objetivo de 0,68.

Ahora debemos calcular la cota superior (UB) y cota inferior (LB):

Al ver las variables duales para las restricciones del Subproblema tenemos que: $\lambda_{1}=-1,5$ y $\lambda_{2}=0$ , lo cual permite crear el siguiente corte de optimalidad el cual agregamos al Problema Maestro:

Hacemos K=3 y resolvemos el Problema Maestro nuevamente. La nueva solución óptima para el Problema Maestro es $y=1,571$ y $z=2,142$ con un valor óptimo de 5,285. Con $y=1,571$ la solución del Subproblema es: $x_{1}=0$ y $x_{2}=0,714$ con un valor en la función objetivo de 2,148.

Ahora debemos calcular la cota superior e inferior:

Como ambas cotas (superior e inferior) son iguales, podemos detenernos. Hemos encontrado la solución óptima para nuestro problema de Programación Lineal. (Mis sinceros agradecimientos a mi amigo Javier Maturana Ross por su contribución con este detallado tutorial y los créditos correspondientes al profesor Yuping Huang por el ejemplo presentado en este artículo).

Método de Planos Cortantes (Optimización Dual)

En un tutorial anterior discutimos sobre la Relajación Lagrangeana, y gracias a dicho ejemplo, vimos que al variar los valores de las variables asociadas a la relajación (más conocidos como los Multiplicadores de Lagrange), el valor de la función objetivo del Problema Dual Lagrangeano se va aproximando al valor que se obtiene al resolver el problema original. En palabras simples, lo que se realizó en ese ejemplo fue optimizar los multiplicadores.

En este artículo, lo que veremos es una forma distinta de optimizar dichas variables, mediante un algoritmo que lleva el nombre de Método de Planos Cortantes o Método de Planos de Corte (o simplemente Planos Cortantes). Este algoritmo también se conoce con el nombre de Cortes basados en Descomposición de Benders, y esto es principalmente debido a que este procedimiento utiliza inecuaciones muy similares a las que se ocupan en el método propuesto por J.F. Benders.

La idea fundamental detrás del algoritmo de planos cortantes es comenzar con una solución inicial factible para el problema relajado, para después “cortar” o sacar dicha solución y cambiarla por otra que mejore el valor de la función objetivo que se está optimizando (es decir el valor del Problema Dual Lagrangeano).

Además, para iniciar este método es necesario tener una consideración especial:

El conjunto de puntos que constituyen las soluciones enteras factibles del problema relajado debe ser acotado.

¿Por qué?: Debido a que el algoritmo de planos cortantes utiliza estos puntos, por lo que si el conjunto fuera no acotado, entonces el algoritmo nunca convergería (es decir, nunca terminaría de iterar). Este conjunto acotado se conoce como la envoltura convexa, pero cuidado: no es cualquiera, es la envoltura convexa de las soluciones enteras del problema relajado.

Veamos entonces cómo funciona este método de forma general. Supongamos que tenemos el siguiente problema, en donde el segundo conjunto de restricciones $Cx\leq d$ es “difícil” y complica la resolución, por lo tanto lo sacamos y lo llevamos a la función objetivo, a lo cual llamaremos el problema relajado:

Además, supongamos que es posible enumerar todos los puntos que son factibles para nuestro problema relajado (es decir, los que están dentro de la envoltura convexa). Si pudiéramos hacer eso, entonces bastaría con evaluar en la función objetivo todos esos puntos, y ver cuál entrega el menor valor: este punto sería entonces nuestra solución óptima.

Lo que se menciona anteriormente, se puede representar matemáticamente de la siguiente forma, donde p es la cantidad de puntos que pertenecen a las soluciones enteras de este problema relajado:

Con lo anterior en consideración, podemos entonces expresar nuestro Problema Dual Lagrangeano de la siguiente forma:

Lo cual, se puede volver a reformular y expresar mediante un problema de optimización. Esta reformulación se conoce como el Problema Maestro, en donde ocupamos una variable auxiliar u y queda expresado de la siguiente forma:

Esta reformulación es importante de entender, ya que gracias a que se dispone de cada uno de los puntos que pertenecen a las soluciones enteras del problema relajado (recuerda que dijimos que se podían enumerar), entonces cada una de las restricciones del tipo:

Constituyen un corte para nuestro problema.

Esto nos lleva a la siguiente pregunta: ¿si tenemos todos los puntos, entonces agregamos todos los cortes inmediatamente (simultáneamente)?

La respuesta es NO, ya que esto sería un trabajo muy tedioso, y tomaría mucho tiempo computacional. Para esto existe el algoritmo de los planos cortantes, para ir agregando iterativamente los cortes, de manera tal que tome menos tiempo que agregarlos todos en conjunto.

Como hemos llamado a la reformulación anterior el Problema Maestro, entonces necesitamos un sub-problema, o problema esclavo. Este sub-problema corresponde al problema relajado que discutimos al principio del desarrollo:

Finalmente, la última pregunta que nos podemos hacer es con cuántos cortes partir. Para la pregunta anterior no hay una respuesta que pudiésemos dar a priori como exacta, pero una buena aproximación es que la cantidad de cortes iniciales (o puntos iniciales a utilizar) sea igual a la cantidad de variables o penalizadores, incrementado en una unidad, es decir:

Número de Cortes Iniciales = Número de Penalizadores + 1

Algoritmo de Planos Cortantes

El algoritmo de planos cortantes se puede enunciar mediante los siguientes pasos. Además, luego encontrarás un resumen mediante un diagrama de flujo:

Sea k=1. Sea x1, x2 ,x3 ,…, xr la cantidad de puntos necesarios para iniciar el algoritmo. Crear los cortes del tipo $\mu \leq c^{T}x_{i}+\lambda ^{T}(Cx_{i}-d)$ con dichos puntos.
Resolver el Problema Maestro.
El problema maestro entregará una actualización para los valores de los Multiplicadores de Lagrange. Con ellos, resolver el sub-problema.
Al resolver el sub-problema, se encontrará un nuevo punto perteneciente a las soluciones factibles del problema relajado. Verificar el criterio de parada. Si se cumple, terminar; sino, crear un nuevo corte.
Agregar el corte al Problema Maestro, hacer k=k+1 y volver a 2.

La teoría de este procedimiento puede ser un poco complicada, así que veamos un ejemplo.

Ejemplo Método de Planos Cortantes

Supongamos el siguiente problema de optimización, en donde las primeras cuatro inecuaciones serán las que permanecen en el problema relajado, y las ultimas 4 son las inecuaciones “complicadas” que serán incorporadas a la función objetivo.

Sin embargo, antes de ello presentaremos una representación gráfica del problema propuesto. El área achurada de color verde corresponde al dominio de soluciones factibles de la relajación continua del problema, es decir, omitiendo las condiciones de integralidad para las variables de decisión.

En este contexto la solución óptima de la relajación continua es el vértice B donde x=30/11 e y=42/11, con valor óptimo V(PL)=186/11=16,909 (aprox).

De forma análoga, la solución óptima del problema entero se encuentra identificado con la letra F con x=3 e y=3, siendo el valor óptimo V(PE)=15.

Notar que la representación gráfica anterior y la obtención de la solución óptima de la relajación continua y del modelo de Programación Entera propuesto tiene un fin sólo ilustrativo, de modo que favorezca la comprensión de los conceptos que presentamos más adelante.

A continuación retomamos el procedimiento del Algoritmo de Planos Cortantes. Para ello escribiremos el problema relajado (no confundir con la relajación continua!) de la siguiente forma:

Al escribir este problema, los puntos pertenecientes a la envoltura convexa de las soluciones enteras del problema relajado son los siguientes:

Una representación gráfica de la envoltura convexa del problema relajado se muestra a continuación:

A pesar de que el método sugiere una cantidad de cortes iniciales, como se puede ver en este ejemplo son sólo 8 puntos (denotados por E, F, G, H, I, J más las coordenadas (2,3) y (3,2)), por lo que no seguiremos esta sugerencia. Para iniciar, hacemos k=1 y utilizaremos el punto (1,4) para crear el siguiente corte:

$\mu \geq 14+8\lambda _{1}-4\lambda _{2}+8\lambda _{3}+23\lambda _{4}$

Por lo que el Problema Maestro en la iteración k=1 es:

Al resolver este problema, la solución óptima es: $\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=3,5,\lambda_{3}=0,\lambda_{4}=0,\mu=0$ .

Con estos valores para los Multiplicadores de Lagrange, resolvemos el problema relajado:

El cual, entrega como resultado los valores x=5 e y=1, con un valor objetivo de 58,5.

Luego verificamos el criterio de parada ( $0\neq 58,5$ ) por lo que el nuevo punto que nos permite generar un nuevo corte:

$\mu \geq 13+5\lambda _{1}+13\lambda _{2}+\lambda _{3}+24\lambda _{4}$

Hacemos k=2 y el nuevo Problema Maestro es:

Al resolver este problema, la solución óptima es: $\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=0,059,\lambda_{3}=0,\lambda_{4}=0,\mu=13,76$ .

Con estos valores para los Multiplicadores de Lagrange, resolvemos el problema relajado:

El cual, entrega como resultado los valores x=2 e y=4, con un valor objetivo de 15,882.

Verificamos el criterio de parada ( $13,76\neq 15,882$ ) por lo que el nuevo punto que nos permite generar un nuevo corte:

$\mu \geq 16+11\lambda _{1}-2\lambda _{2}+7\lambda _{3}+20\lambda _{4}$

Hacemos k=3 y el nuevo Problema Maestro es:

Al resolver este problema, la solución óptima es: $\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=0,2,\lambda_{3}=0,\lambda_{4}=0,\mu=15,6$ .

Con estos valores para los Multiplicadores de Lagrange, resolvemos el problema relajado:

El cual, entrega como resultado los valores x=5 e y=1, con un valor objetivo de 15,6, verificamos el criterio de parada (15,6=15,6), por lo que como se cumple el criterio de parada y el algoritmo se detiene.

Al estar optimizando los valores para una Relajación Lagrangeana, hemos encontrado un valor que cumple con lo siguiente:

$Z_{PE}\leq Z_{H}\leq Z_{PL}$

Particularmente para este problema se cumple que:

$15\leq 15,6\leq 16,909$

Mis sinceros agradecimientos a mi amigo Javier Maturana Ross en la elaboración de este artículo, esperando nos pueda seguir contribuyendo con sus aportes y conocimientos al sitio de Gestión de Operaciones.

Problema de Tamaño de Lote No Capacitado (Formulación y Resolución en Solver)

El Problema de Tamaño de Lote No Capacitado o ULS (por sus siglas en inglés, Uncapacitated Lot-Sizing), consiste en decidir sobre un Plan de Producción para un horizonte de T periodos para un solo producto. El objetivo consiste en minimizar la sumatoria de los costos de producción, almacenamiento de productos en inventario y setup (costos de emisión), asumiendo que las demandas son conocidas en cada uno de los T periodos y éstas deben ser satisfechas de forma íntegra.

Una formulación típica del Problema de Tamaño de Lote No Capacitado considera los siguientes parámetros y variables de decisión.

Formulación Tradicional Problema de Tamaño de Lote No Capacitado

Variables de Decisión:

$x_{t}$ = cantidad producida en el periodo t.
$s_{t}$ = inventario al final del periodo t.
$y_{t}$ = 1 si la producción ocurre en el periodo t, 0 si no.

Parámetros:

$f_{t}$ = costo fijo de producción en el periodo t.
$p_{t}$ = costo unitario de producción en el periodo t.
$h_{t}$ = costo unitario de almacenamiento en el periodo t.
$d_{t}$ = demanda en el periodo t.

La definición anterior da origen al siguiente problema de Programación Entera Mixta (PEM).

La función objetivo consiste en minimizar la suma de los costos de producción, costos de almacenamiento de productos en inventario y costos de emisión de pedidos, para todo el horizonte de planificación (T períodos).

Por otra parte las restricciones del problema quedan definidas por:

Balance de Inventario $s_{t}=s_{t-1}+x_{t}-d_{t}$ : El inventario al final de un período t es igual al inventario al final del período anterior (t-1) más lo producido en el período t y menos lo demandado en el período t.

Capacidad de Producción $x_{t}\leq M\cdot y_{t}$ : Si bien hemos definido el problema como no capacitado, esta restricción permite vincular la decisión de producción en un período con la cantidad (volumen) de dicha producción. De esta forma se evita situaciones anómalas como que en un período cualquiera se produzca y al mismo tiempo el $y_{t}$ respectivo sea cero.

Además, asumiremos que la constante M es lo suficientemente grande (por ejemplo, la suma de las demandas para el horizonte de planificación). En términos prácticos esto hace que el problema no tenga limitantes de capacidad (es decir, es no capacitado) y que, en un extremo, podría producir en el primer período todo lo requerido durante el horizonte de planificación para luego ir satisfaciendo dichos requerimientos con los remanentes de inventario.

Inventario Inicial $s_{0}=0$ : Se asume que no se dispone de inventario al inicio del horizonte de planificación.

Finalmente se establecen condiciones de no negatividad y binarios a las variables según corresponda.

Alternativamente se propone otra formulación como alternativa al Problema de Tamaño de Lote No Capacitado.

Formulación Dinámica Problema de Tamaño de Lote No Capacitado

Variables de Decisión:

$w_{ts}$ = cantidad producida en el periodo t para satisfacer la demanda en el periodo s.
$s_{ts}$ = inventario al final del periodo t destinado para el periodo s.
$y_{t}$ = 1 si la producción ocurre en el periodo t, 0 si no.

Al conservar la definición de parámetros definida para la formulación anterior, se propone el siguiente modelo de Programación Entera:

De modo de corroborar la equivalencia de las formulaciones anteriores se propone una instancia sencilla que corresponde a 5 períodos de planificación (T=5) y donde los valores de los parámetros se resumen en la siguiente tabla. Por ejemplo, $p_{1}=3$ representa el costo de producción unitario en el período 1.

La solución óptima alcanzada con la Formulación Tradicional del Problema de Tamaño de Lote No Capacitado ULS se observa en las celdas de color amarillo en la imagen a continuación. Se producen 32, 125 y 20 unidades en los períodos 1, 2 y 5, respectivamente, almacenando sólo productos en inventario al final del período 2 y 3 (84 y 36 unidades, respectivamente). El valor óptimo (costo total) asciende a $781.

De forma análoga la solución óptima obtenida con la Formulación Dinámica del Problema de Tamaño de Lote No Capacitado ULS se observa en las celdas de color amarillo en la tabla a continuación.

Notar que $w_{11}=32$ , es decir, en el primer período se produce sólo lo necesario para satisfacer los requerimientos de dicho período. Adicionalmente $w_{22}=41$ , $w_{23}=48$ y $w_{24}=36$ , es decir, en el período 2 se producen en total 125 unidades (41+48+36), para satisfacer la demanda de los períodos 2, 3 y 4. Por último en el período 5 se produce simplemente 20 unidades ( $w_{55}=20$ ) para cumplir lo requerido.

Naturalmente dado lo descrito, la solución alcanzada en la Formulación Dinámica del ULS es equivalente a la obtenida en la Formulación Tradicional del ULS.

Se puede consultar otras variantes de Problemas de Planificación de la Producción en nuestro sitio donde se detalla diversas formulaciones e instancias de problemas de esta naturaleza, donde destaca la contribución de la Investigación de Operaciones como herramienta de apoyo para la toma de decisiones.

[sociallocker]Descarga Aquí el Problema de Tamaño de Lote No Capacitado (ULS)[/sociallocker]

Ejemplo de Relajación Lagrangeana en Programación Entera

El método de Relajación Lagrangeana (o Relajación Lagrangiana) consiste básicamente en un Método de Descomposición cuya idea se basa en descomponer un problema original restringido, en principio complejo de resolver, de modo de reemplazarlo por otro problema que permita simplificar la resolución. Esto se logra incorporando aquellas restricciones que se consideran difíciles (las que hacen compleja la resolución directa del problema) a la función objetivo, donde cada una de éstas tendrá asociada un Multiplicador de Lagrange $\lambda$ que permitirá (iterativamente) penalizar el incumplimiento de las mismas al ser establecidos distintos valores para los multiplicadores. De esta forma se espera que las restantes restricciones (las que no se incorporan mediante penalizaciones en la función objetivo) permitan verificar un problema cuya resolución sea fácil (o al menos más sencilla que el problema en su estructura original).

El problema asociado a encontrar los valores de $\lambda$ que permitan minimizar la función $LR(\lambda)$ (que en sí es un problema de maximización) se conoce como el Problema Dual Lagrangeano. En general puede resultar un problema tedioso de resolver, no obstante, a continuación se enumeran una serie de pasos que permiten una aproximación a la implementación del método de Relajación Lagrangeana.

Supongamos que el problema original es de Maximización y que la o las restricciones relajadas son inecuaciones del tipo $\leqslant$ :

Comenzar con cada $\lambda$ igual a cero. Definir inicialmente (y de forma arbitraria) un Paso de magnitud k.
Resolver $LR(\lambda)$ de modo de alcanzar la solución óptima en términos de x.
Para cada restricción violada por x, incrementar el correspondiente $\lambda$ por k.
Si han transcurrido m iteraciones desde que se alcanzo la última relajación para el problema dual lagrangeano, disminuir k a la mitad.
Ir al Paso 2.

Para ilustrar el procedimiento anterior consideremos un Problema de la Mochila como el que se describe a continuación:

Luego de resolver el problema de Programación Entera propuesto haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la Solución Óptima: $x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=1, x_{4}=1$ con Valor Óptimo: $V(PE)=13$ .

Relajaremos las Restricciones 1 y 2 incorporando éstas a la función objetivo y dejando exclusivamente las condiciones de binarios para las variables de decisión. Esto da origen a nuestro problema de Relajación Lagrangeana $LR(\lambda)$ :

Consideraremos inicialmente $\lambda_{1}=0$ y $\lambda_{2}=0$ . La resolución de dicha instancia es trivial obteniéndose como Solución Óptima: $x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=1$ y Valor Óptimo: $LR(\lambda)=22$ . Notar que la solución alcanzada no satisface la Restricción 1 (sin embargo, se satisface la Restricción 2).

Penalizaremos la Restricción 1 al considerar $\lambda_{1}=0,5$ (penalización arbitrariamente definida como punto de partida) y manteniendo $\lambda_{2}=0$ (dado que la Restricción 2 se satisface). La Solución Óptima es $x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=1$ con Valor Óptimo de $LR(\lambda)=20$ . En consecuencia, la penalización establecida resulto ser insuficiente para que se evitara la violación (incumplimiento) de la Restricción 1.

Sea $\lambda_{1}=1$ (aumentamos nuevamente en 0,5 la penalización de la Restricción 1) y $\lambda_{2}=0$ . La Solución Óptima se mantiene: $x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=1$ con Valor Óptimo: $LR(\lambda)=18$ .

Sea $\lambda_{1}=1,5$ y $\lambda_{2}=0$ . La Solución Óptima se mantiene: $x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=1$ con Valor Óptimo: $LR(\lambda)=16$ . Se sigue violando la Restricción 1.

Sea $\lambda_{1}=2$ y $\lambda_{2}=0$ . La Solución Óptima ahora es: $x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=0, x_{4}=0$ con Valor Óptimo: $LR(\lambda )=15$ . Ahora se satisfacen las Restricciones 1 y 2, teniendo éstas holguras de 5 y 1, respectivamente. Luego si se decide disminuir la penalización de la Restricción 1 a $\lambda_{1}=1,5$ se vuelve al mismo punto de la iteración anterior. En consecuencia se disminuye la magnitud del paso (penalización) a 0,25 de modo que $\lambda_{1}=1,75$ y $\lambda_{2}=0$ . La Solución Óptima es: $x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=0$ con Valor Óptimo: $LR(\lambda)=15$ .

No obstante, la Restricción 2 no se satisface para esta nueva solución y de esta forma se establecen nuevas penalizaciones: $\lambda_{1}=1,75$ y $\lambda_{2}=0,25$ y que dan origen a la Solución Óptima: $x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=1$ con Valor Óptimo: $LR(\lambda)=15$ .

El procedimiento continua de esta forma disminuyendo la magnitud del paso (penalización) cuando resulta necesario. Notar que de esta forma las respectivas penalizaciones pueden aumentar o disminuir al cabo de una iteración. El detalle de las iteraciones realizadas se muestra a continuación:

Para cada iteración k se muestra la penalización aplicada para la Restricción 1 y 2 respectivamente, el criterio para la actualización del Paso, el valor de la función objetivo de la Relajación Lagrangeana $LR(\lambda )$ , la Solución Óptima alcanzada para el problema (destacado con color amarillo), el valor que representa dicha solución óptima al ser evaluada en la función objetivo original V(PE), la holgura de la Restricción 1 (2) (con color rojo se destaca cuando se viola la restricción en una determinada magnitud) y si la solución óptima alcanzada en la iteración k-ésima es factible en el problema original PE).

Según se señala en un tutorial por Michael A. Trick (donde se ha tomado este ejemplo y se ha extendido a un número mayor de iteraciones con ciertas variaciones en la aplicación de las mismas) las penalizaciones “óptimas” (luego de seguir iterando) corresponderán aproximadamente a $\lambda_{1}=1,83$ y $\lambda_{2}=0,33$ , alcanzando $LR(\lambda )=14,67$ que constituye una cota superior del valor óptimo del problema original. La Solución Óptima asociada a este escenario es $x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=1, x_{4}=0$ que es factible en el problema original y reporta un valor en la función objetivo de 11. Notar que la Solución Óptima del PE) es $x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=1, x_{4}=1$ con Valor Óptimo de 13.

Qué es la Programación Entera

¿Qué es la Programación Entera?: Un modelo de Programación Entera es aquel cuya solución óptima tiene sentido solamente si una parte o todas las variables de decisión toman valores restringidos a números enteros, permitiendo incorporar en el modelamiento matemático algunos aspectos que quedan fuera del alcance de los modelos de Programación Lineal.

En este sentido los algoritmos de resolución de los modelos de Programación Entera difieren a los utilizados en los modelos de Programación Lineal, destacándose entre ellos el Algoritmo de Ramificación y Acotamiento (o Branch & Bound), Branch & Cut, Planos Cortantes, Relajación Lagrangeana, entre otros.

Los modelos de Programación Entera se pueden clasificar en 2 grandes áreas: Programación Entera Mixta (PEM) y Programación Entera Pura (PEP).

Programación Entera Mixta (PEM)

A esta categoría pertenecen aquellos problemas de optimización que consideran variables de decisión enteras o binarias pero no de forma exclusiva. De esta forma un problema de PEM puede considerarse como un híbrido entre distintas categorías de modelamiento, siendo un caso típico aquel que considera la mezcla de variables enteras y variables continuas (estas últimas características de los modelos de Programación Lineal). A modo de ejemplo los siguientes artículos que hemos abordado en el Blog dan cuenta de modelos de Programación Entera Mixta:

Programación Entera Pura (PEP)

En esta categoría encontramos aquellos modelos de Programación Entera que consideran exclusivamente variables de decisión que adoptan valores enteros o binarios. Un ejemplo de ello son las siguientes aplicaciones:

Problema de Asignación
Problema de Corte de Rollos
Selección de Invitados a una Boda
Programación de la Explotación Forestal
Problema de la Mochila

Notar que en los problemas anteriores (PEP) el conjunto de las soluciones factibles (o dominio de soluciones factibles) es finito. Esto ocurrirá generalmente con los problemas de Programación Entera (puros).

Adicionalmente resulta interesante hacer un contrastes entre las propiedades de un modelo de Programación Lineal (PL) y uno de Programación Entera (PE). A continuación se presentan 2 modelos de optimización que se diferencian únicamente en que al segundo de ellos (PE) se le exige que las variables de decisión adopten valores enteros.

Para los problemas propuestos realizamos una representación gráfica haciendo uso del software Geogebra. El dominio de soluciones factibles del Problema Lineal (PL) corresponde al área achurada de color verde. Por otro lado el dominio de soluciones factibles del Problema Entero (PE) es enumerable y corresponde a las coordenadas denotadas por A, E, F, B, G, H, I, J, K, C, L, M, D (que es un subconjunto del dominio de factibilidad del PL). En este caso en particular la solución óptima de ambos problemas coincide (en el vértice C), no obstante, perfectamente podrían ser distintas (bastaría con modificar los parámetros del problema).

En este contexto y dada la naturaleza de los problemas propuestos, el valor óptimo del Problema Lineal (PL) será una cota superior del valor óptimo del Problema Entero (PE). También se concluye que el dominio de soluciones factibles de un modelo de Programación Lineal (cuando existe) representa un conjunto convexo (los problemas de Programación Lineal son convexos) y en el caso del problema de Programación Entera Pura su conjunto de soluciones factibles es discreto.

Adicionalmente según tratamos en el artículo Por qué no aparece el Informe de Confidencialidad (o Informe de Sensibilidad) en Solver de Excel se debe tener en cuenta que en la utilización de software para la resolución computacional del modelos de Programación Entera no tendremos acceso a los reportes de sensibilidad como en el caso de la implementación de modelos de Programación Lineal. De esta forma ante la necesidad de analizar el impacto en los resultados ante la modificación de los parámetros del problema será necesario reoptimizar ante la información que brinde el o los nuevos escenarios.

Es importante destacar que las aplicaciones de la Programación Entera no reemplaza la versatilidad que ofrece el disponer de modelos de Programación Lineal. Más aún, se pueden considerar estas categorías de modelamiento matemático como complementarias en el ámbito de la Investigación de Operaciones.

En este sentido en términos abstractos los modelos de Programación Entera imponen un desafío mayor al momento de la resolución en comparación a las propiedades simplificadoras que están asociadas a los problemas de Programación Lineal. De esta forma se espera que el tomador de decisiones sea capaz de evaluar la relación rigurosidad del modelado con el costo (complejidad) de la resolución del mismo.