Gestión de Operaciones

Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con el Método Simplex

Existen algunas herramientas en Internet que permiten resolver modelos de Programación Lineal utilizando el Método Simplex. Este tipo de aplicaciones resultan de bastante utilidad para los estudiantes de ingeniería que desean verificar si los resultados que obtienen en la aplicación manual del método resultan ser correctos.

En esta oportunidad revisaremos la interfaz para resolver modelos de Programación Lineal con el Método Simplex disponible en el sitio web ProgramacionLineal.net. Para ello utilizaremos un modelo lineal en 2 variables que previamente resolvimos gráficamente con el complemento Solver de Excel y el software Geogebra.

Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con el Método Simplex

El siguiente tutorial muestra cómo implementamos este modelo de optimización con la herramienta de resolución del Método Simplex:

La última tabla del Método Simplex luego de la resolución con esta aplicación y eliminando la columna p (no es necesaria) es la siguiente:

La Solución Óptima (que corresponde a una solución básica factible óptima) es x=100 e y=350 (x e y son las variables básicas de las filas 1 y 3 respectivamente). El valor óptimo es V(P)=3.100. Notar que la solución óptima corresponde al vértice C de la representación gráfica del problema propuesto que se muestra a continuación:

Importante: Las variables s1 y s3 son variables no básicas en la actual solución óptima y por tanto su valor es cero. La variable s2 es la variable básica de la fila 2 y toma el valor de 400. Notar que las variables s1, s2 y s3 son inicialmente las variables de holgura necesarias para llevar el modelo de Programación Lineal a su forma estándar.

Cómo calcular la Capacidad de un Proceso con Actividades en Paralelo

En un Proceso Productivo con actividades en paralelo el cálculo de su capacidad, es decir, cuántas unidades se fabrican en promedio en un determinado período de tiempo ( se puede definir arbitrariamente en unidades fabricadas por segundos, minutos, horas, etc) depende, entre otros aspectos, de la configuración del proceso, la duración de cada actividad y los recursos involucrados en cada una (personal, maquinaria, etc).

Para una mejor comprensión de los conceptos consideremos un ejemplo sencillo que corresponde a un proceso productivo para la fabricación de un mueble. Asumamos que en cada actividad trabaja un trabajador:

Capacidad de un Proceso con Actividades en Paralelo

Un mueble se termina en la medida que pasa por las actividades de Pulir, Ensamblar y Pintar (en ese orden) y resulta evidente que existen 2 caminos que permiten cumplir esa secuencia.

Las actividades Ensamblar están en paralelo, es decir, los trabajadores de estas actividades puedes estar operando en forma simultanea en un mismo instante en el tiempo. Dicho de otra forma, el trabajador que Ensambla en la línea de abajo no necesita esperar a que el trabajador que Ensambla en la línea de arriba se desocupe para comenzar a trabajar (y viceversa).

Para calcular la capacidad del proceso de producción de muebles debemos calcular la capacidad de cada uno de las actividades en forma individual.

La etapa Pulir tiene una capacidad de 12[u/hora] (también es correcto decir que la capacidad de Pulir es de 1/5[u/min]); la etapa Ensamblar de la línea de arriba tiene una capacidad de 7,5[u/hora] y la etapa Ensamblar de la línea de abajo tiene una capacidad de 6[u/hora]. Finalmente el trabajador de la etapa Pintar tiene una capacidad de 10[u/hora].

Los 2 trabajadores de las etapas Ensamblar tienen una capacidad conjunta de 13,5[u/hora] (es la suma de la capacidad individual de cada uno, es decir, 7,5+6[u/hora]). Luego la capacidad del proceso es de 10[u/hora] y el Cuello de Botella es la actividad Pintar.

¿Cuál sería la capacidad ahora si el trabajador de la etapa Ensamblar de la primera línea en vez de demorar 8 min ahora demora 20 min?.

En este caso la capacidad de las etapas Ensamblar en paralelo sería 9[u/hora] (3+6[u/hora]) y por tanto las actividades en paralelo ahora serían el cuello de botella, teniendo el proceso una capacidad de 9[u/hora].

Recomendamos revisar el artículo Cálculo de la Capacidad de Producción en un Proceso Flexible con una Carta Gantt donde a través de esta herramienta frecuentemente utilizada en la Gestión de Proyectos se puede corroborar de forma intuitiva el cálculo de la capacidad de un proceso productivo.

Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con WINQSB

El modelo de Cantidad Económica de Pedido o simplemente EOQ (Economic Order Quantity) por sus siglas en inglés, es una de las herramientas más sencillas en la Gestión de Inventarios que permite obtener el tamaño del pedido que minimizan los costos totales asociados a la gestión del inventario.

Como todo modelo necesita de algunos supuestos que dependiendo de la situación práctica que se desee modelar serán más o menos realistas. Los supuestos más fuertes o característicos de EOQ es que la demanda es constante y conocida y que el tiempo de entrega (o lead time) del pedido es constante y conocido.

El Costo Anual total del Inventario queda definido por la suma de los costos de adquisición o compra (D*C), costos de emisión de pedidos (D/Q)*S y costos de almacenamiento (Q/2)*H.

La Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido EOQ que representa el costo total del inventario es la siguiente:

CT = D*C + (D/Q)*S + (Q/2)*H

Al respecto recomendamos leer el artículo Cómo Construir el Gráfico de Costos Totales del Modelo EOQ con Excel que muestra de forma sencilla cómo obtener el costo total para distintos tamaños de pedido.

Para obtener la cantidad de pedido que minimiza la función de costos totales se deriva la fórmula respecto a Q y se iguala a cero, para posteriormente despejar el parámetro Q. Notar que el costo de adquisición (C*D) será constante independiente de la política de pedido (tamaño de pedido) en la medida que no existan descuentos por cantidad.

Donde D es usualmente la demanda anual (que se asume conocida o factible de estimar con precisión), S es el costo de hacer un pedido (o costo de emisión) que se asume fijo y H es el costo anual unitario de almacenamiento en el inventario.

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar la aplicación de este modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ):

D: Demanda Anual = 6.000 unidades
S: Costo de Emisión = $750
H: Costo de Almacenamiento Anual (unitario) = $400

Reemplazando los parámetros en la fórmula se obtiene Q=150 [unidades/pedido] que es la cantidad de pedido que minimiza el costo anual del inventario: CT=(6.000/150)*$750+(150/2)*$400=$60.000. El siguiente tutorial muestra cómo obtener estos resultados utilizando el software WINQSB:

Se puede corroborar (recomendamos fuertemente al lector hacer esto) que cualquier otra cantidad de pedido proporciona un costo anual del inventario superior al obtenido con el modelo EOQ. Esto debido a que el tamaño del pedido obtenido con EOQ equilibra explícitamente los costos de emisión con los costos de almacenamiento.

Notar que para tamaños de pedido grandes los costos de emisión se minimizan (se requerirá de menos pedidos en el año) y los costos de almacenamiento se maximizan (dado que se tendrá un inventario promedio mayor en las bodegas). De forma análoga, para pedidos pequeños los costos de emisión se maximizan a la vez que los costos de almacenamiento se minimizan.

Cómo obtener la Ruta Crítica (CPM) de un Proyecto con WINQSB

En la gestión de cualquier Proyecto un elemento crucial es estimar el tiempo requerido para poder terminarlo. Para ello se debe determinar si el tiempo necesario para completar cada actividad se puede considerar fijo (o determinista), o por el contrario es recomendable analizar distintos escenarios sobre la duración de las tareas o actividades (generalmente descritas como “normal”, “pesimista” y “optimista”) donde en dicho caso se afirma que el tiempo es estocástico.

El Método de Ruta Crítica o CPM (Critical Path Method) considera que el tiempo de las actividades es determinista y consiste en identificar una secuencia o camino más largo (crítico) que determina la duración del proyecto.

En el caso de proyectos con un número reducido de actividades se puede determinar la ruta crítica a través de simples cálculos manuales (como las que usualmente se realizan en las cátedras de ingeniería, por ejemplo, el ejemplo que se presentará a continuación), no obstante, cuando los proyectos crecen en su complejidad la utilización de un software idóneo resulta indispensable (por ejemplo, WINQSB).

Ejemplo Cálculo de la Ruta Crítica de un Proyecto (CPM) con WINQSB

Consideremos un proyecto que tiene 7 actividades, que siguen una secuencia determinada y requiere de un tiempo (en semanas) según se muestra en la siguiente tabla. Por ejemplo, la actividad G tiene una duración de 4 semanas y se puede iniciar una vez concluidas las actividades B, D y E.

Utilizando la información de la tabla anterior ingresamos los datos al programa WINQSB, en su módulo PERT–CPM según se muestra en el siguiente tutorial:

La Ruta Crítica es A-D-G y el tiempo estimado para poder completar el proyecto es de 12 semanas (3[sem]+5[sem]+4[sem]).

Notar que la ruta crítica es una secuencia de actividades relacionadas entre sí y que tienen holgura igual a cero. Esto significa que un atraso ya sea en A, D o G genera inmediatamente un retraso en el tiempo requerido para completar en proyecto (que actualmente es 12 semanas). Por supuesto no sucede lo mismo con otras actividades, por ejemplo, la actividad E que incluso se podría atrasar 4 semanas y el proyecto aún se podría concluir en 12 semanas.

El siguiente diagrama resume los resultados obtenidos con WINQSB para este proyecto:

Pronóstico de Demanda con Media Móvil Simple

El método de Media Móvil Simple (o Promedio Móvil Simple) es un procedimiento de cálculo sencillo que pertenece a la categoría de pronósticos de Series de Tiempo, es decir, que utiliza información histórica del desempeño de la variable que se desea pronosticar para poder generar un pronóstico de la misma a futuro. Es decir, se considera válida la premisa que el pasado es de utilidad para predecir el futuro.

El escenario ideal para la utilización del método de Media Móvil Simple es cuando la demanda real no presenta mayores variaciones de corto plazo, no presenta una tendencia marcada e idealmente no presenta estacionalidades.

En este contexto, por ejemplo, se podría esperar que muchos productos alimenticios presentan estas características (arroz, aceite, azúcar, etc) y por tanto su aplicación en principio puede resultar adecuada.

La función matemática que permite obtener un pronóstico utilizando Media Móvil Simple es:

Donde Ft es la demanda pronosticada para el período t y At la demanda real para el período t. La constante o parámetro n determina el número de períodos a promediar.

Mientras mayor sea el valor de n el pronostico suele presentar menor variabilidad y aproximar una tendencia de la serie de tiempo. Por cierto, esto último no necesariamente es mejor y por tanto se pueden utilizar distintos valores de n para efectos de evaluación y luego comparar el desempeño.

Media Móvil Simple (Ejemplo)

En la tabla a continuación se muestra el procedimiento de pronóstico de demanda con Media Móvil Simple con n=3. Por ejemplo, el pronóstico de Abril se obtiene promediando los valores reales de Enero, Febrero y Marzo: F(Abril)=(200+230+260)/3=230. El pronóstico de Mayo se obtiene promediando los valores reales de Febrero, Marzo y Abril: F(Mayo)=(230+260+180)/3=223. Notar que los pronósticos no consideran decimales (decisión arbitraria).

Para tener una primera aproximación a lo acertado del pronóstico se recomienda graficar los datos reales de demanda y los obtenidos con el pronóstico. De esta forma se obtiene un acercamiento sobre la magnitud de los errores del pronóstico y la naturaleza de éste, es decir, si se genera una sobre o sub estimación de la demanda real. Este análisis se puede complementar con el Cálculo del MAD y la Señal de Rastreo para el pronóstico generado.

Se puede observar que en 6 de los 9 pronósticos realizados se genera una subestimación de la demanda real lo cual nos da indicios que este método de pronóstico no es lo más adecuado en este caso. Dicho esto puede ser recomendable explorar con un método que considere el efecto de la tendencia de la serie, como por ejemplo, una Regresión Lineal Simple.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución de este problema?.

[sociallocker]MUCHAS GRACIAS!. DESCARGA AQUÍ EL ARCHIVO[/sociallocker]