Problema de Producción de Trajes y Vestidos resuelto con el Método Simplex

La empresa Trajes y Vestidos tiene en un momento dado que tomar una decisión sobre cómo maximizar el ingreso en la confección y venta de un tipo de traje y un tipo de vestido específico, que está teniendo demanda por la clientela. Al momento se tiene 80 yardas de tela de algodón y 120 yardas de tela de lana para la confección de los trajes y de los vestidos. Para la confección del traje se necesita 1 yarda de tela de algodón y 3 yardas de tela de lana. Mientras que para el vestido se necesita 2 yardas de tela de algodón y 2 yardas de tela de lana.

Para tomar la decisión de la mezcla de producto óptima para el Problema de Producción de Trajes y Vestidos, hace 3 tipos de escenarios:

1. Cuando ambas confecciones tienen un precio unitario de $30.
2. Cuando los trajes valen $40 y los vestidos $20.
3. Cuando los trajes valen $30 y los vestidos $20.

¿Cuántos vestidos y trajes hay que hacer para maximizar los ingresos?. Esto es, ¿con cuál mezcla de productos se maximiza los ingresos?. Resuelva el problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex.

Sea la cantidad de trajes a fabricar y la cantidad de vestidos a fabricar, se formulan los siguientes modelos de optimización para los 2 primeros escenarios (notar que por simple inspección se descarta inmediatamente el escenario 3 dado que de todos modos no podrá reportar ingresos mayores que el escenario 1 o 2).

En primera instancia resolveremos por el Método Simplex el problema correspondiente al escenario 1. Para ello agregamos las variables de holgura para la restricción de disponibilidad de yardas de algodón y disponibilidad de yardas de lana, respectivamente. De esta forma el problema en su forma estándar es:

El cual da origen a la siguiente tabla inicial del algoritmo:

Tanto la variable no básica  como la variable no básica  tienen costo reducido negativo de la misma magnitud. En este caso seleccionaremos de forma arbitraria la variable  como aquella que ingresa a la base. Luego calculamos el cuociente mínimo en dicha columna: , en consecuencia la variable deja la base.

Ahora ingresa a la base la variable . Calculamos nuevamente el criterio de factibilidad o mínimo cuociente en la columna de la variable  obteniendo: que determina que la variable  deja la base.

La solución óptima es con valor óptimo (ingreso) de $1.500.

A continuación resolvemos el problema del escenario 2. Para ello llevamos el modelo a su forma estándar lo que da origen a la siguiente tabla inicial del Método Simplex:

Naturalmente la variable no básica  ingresa a la base al tener ésta el costo reducido más negativo. Por otra parte la variable que deja la base de obtiene de , por tanto  deja la base y se actualiza la tabla.

Notar que estamos frente a la tabla óptima del segundo escenario donde la política de producción de trajes y vestidos que maximiza los ingresos es  con valor óptimo (ingreso) de $1.600. En consecuencia se propone implementar la solución del escenario 2 que desde el punto de vista de los ingresos es la que logra una mayor recaudación dado los datos del problema.