En el artículo Deducción de la Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ) discutimos los fundamentos que permiten obtener la solución de dicho modelo, en particular aquel tamaño de pedido que permite minimizar la función de costos totales. Siguiendo dicho desarrollo conceptual, a continuación presentaremos un ejemplo tipo del modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) donde con el apoyo de una planilla Excel construiremos la función de costos totales, mediante la evaluación del costo total para distintos tamaños de pedido.
La Joyería Caminante es representante exclusivo de los relojes Ballon Bleu, de la prestigiosa Maison Cartier™, elaborados con oro gris y cubiertos con alrededor de 500 diamantes. Se sabe que:
Caminante le paga a Maison Cartier 40.000€ por cada reloj que importa al país.
Los costos de transporte e internación ascienden a 4.000€ por orden, independiente del número de relojes transportados.
Una vez en el país, los relojes representan un costo de almacenamiento anual del 20% de su precio, debido a los elevados seguros involucrados.
El mercado de compradores para este artículo de lujo es obviamente limitado en el país, pero en los últimos años las ventas de este producto se han estabilizado en la cantidad de 3 relojes mensuales.
Determine el número de relojes que Caminante debe pedir cada vez que pone una orden con Maison Cartier™, de modo de minimizar sus costos totales. ¿Cual es el costo total anual que enfrenta Caminante sin incluir el costo de comprar los productos?.
El tamaño óptimo de pedido que permite minimizar el valor de la función de costos totales es:
Donde el costo total (mínimo) asociado a dicho tamaño de pedido es:
Notar que se han omitido los costos de compra los cuales en este ejemplo al no existir descuentos por cantidad es el mismo independiente del tamaño del pedido.
Con la ayuda de una planilla Excel se puede evaluar cuál es el costo total anual para distintos tamaños de pedido. En particular resulta de interés evaluar el valor que alcanza la función de costos totales para tamaños de pedido entre 1 y 36 relojes (la siguiente tabla muestra un extracto de dicho procedimiento).
La información completa se puede graficar lo que permite apreciar la convexidad de la función de costos totales. Se ha incluido una línea punteada de color rojo que intercepta el eje vertical (costo total anual) para un valor de 48.000€ el cual se alcanza para un tamaño de pedido de 6 relojes.
En el modelo de Tamaño Económico de Pedido o EOQ (de sus denominación del inglés Economic Order Quantity) y considerando sus supuestos simplificadores (entre otros demanda constante y conocida y tiempo de reposición o Lead Time constante y conocido) los costos significativos son los costos de mantener el inventario y los costos de hacer el pedido.
Sea D la demanda anual (o la demanda durante el horizonte de evaluación que corresponda), S el costo de emisión de pedidos que se asume que es fijo independiente del tamaño del pedido y H el costo unitario de almacenamiento (anual o según corresponda), la función de costos totales se expresa de la siguiente forma:
Se puede observar que desde el punto de vista de los costos de almacenamiento existe un incentivo a pedidos de menor tamaño para satisfacer la demanda. No obstante los costos de emisión de pedidos son crecientes cuando los pedidos son de menor tamaño dado que se requerirá de un mayor número de pedidos para satisfacer la demanda. Este efecto contrapuesto de los costos de almacenamiento y emisión de pedidos para distintos tamaños de pedido se observa en la siguiente gráfica:
En relación a lo anterior la solución del modelo EOQ busca encontrar el tamaño óptimo de pedido que permite minimizar la función de costos totales (que es la suma de los costos de almacenamiento y costos de emisión). Para encontrar dicho Q óptimo derivamos la función de costos totales en términos del tamaño de pedido e igualamos a cero, para luego encontrar la solución EOQ. A continuación la deducción de la fórmula del modelo EOQ:
Notar que el término C*D marcado con color rojo en la fórmula anterior representa el costo asociado a la compra de las unidades que permite satisfacer la demanda D. Si se asume que no hay descuentos por cantidad dicho costo de compra no discrimina entre distintas alternativas de tamaño de pedido. Por el contrario bajo el escenario de que existe descuentos por cantidad entonces el costo total de compra se verá afectado para distintos tramos de pedido que generan cambios en los precios unitarios. Recomendamos al lector revisar en este caso el modelo EOQ con Descuentos por Cantidad.
Ejemplo: LubeCar se especializa en cambios rápidos de aceite para motor de automóvil. La empresa compra aceite para motor a granel a un distribuidor a $2,5 por galón. En el servicio se atienden unos 150 autos diarios y cada cambio de aceite requiere de 1,25 galones. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0,02 por galón y por día. También, el costo de emitir un pedido de aceite a granel es de $20. Considere que el tiempo de entrega del distribuidor (tiempo de espera) es de 2 días. Asuma que un año típico tiene 250 días.
Determine la cantidad óptima de pedido utilizando EOQ:
D=1,25[galones/auto]*150[autos/día]*250[días/año]=46.875[galones/año]. Por tanto la cantidad óptima a pedir es:
Determine el costo total anual para LubeCar:
El lector podrá observar que el tamaño óptimo de pedido de es el que minimiza el valor de la función de costos totales (se incluye el costo de la compra). Para corroborar el resultado anterior y con la ayuda de Excel se evalúan otras alternativas de pedido que otorgan costos anuales mayores que la cantidad económica de pedido.
El siguiente artículo desarrolla un ejemplo de la Planificación de Requerimientos de Materiales o MRP para una empresa de manufactura que se dedica a las operaciones de ensamblaje, como lo que se podría observar en un sistema productivo Flow Shop. En particular consideraremos una empresa que produce carros de golf, la cual ha recibido una orden de 100 carros para la semana 6, 100 para la semana 8 y 100 para la semana 9. La información sobre la producción de los carros de golf se presenta en la tabla a continuación. Las partes en la primera columna alineadas a la izquierda se hacen con las partes centradas.
Notar que la empresa utiliza distintas políticas de lotificación lo que vuelve más complejo el desarrollo del MRP. Se propone la siguiente abreviación para las mismas: LxL: Lote a Lote; C.T.M: Costo Total Mínimo; C.U.M: Costo Unitario Mínimo; EOQ: Cantidad Económica de Pedido). Para cada ítem el costo de emitir un pedido es de $400 (independiente del tamaño del pedido) y el costo unitario semanal de almacenamiento de inventario es de $1. En base a la información anterior se solicita:
Realizar el Bill of Materials (BOM) para el carro de golf.
El BOM o lista de materiales es un registro donde figuran todos los componentes de un articulo, las relaciones padre – componente y las cantidades de uso derivadas de los diseños de ingeniería y de procesos. Una forma tradicional de representar la información del BOM es a través del árbol estructural del producto el cual se presenta a continuación:
Cada carro de golf requiere de un «Top» y una «Base». Adicionalmente cada «Top» necesita de 4 «Supports» y 1 «Cover». Análogamente cada «Base» necesita 1 «Motor», 1 «Body» y 2 «Seats». Finalmente cada «Body» necesita 1 «Frames», 1 «Controls» y 4 «Wheel Assemblies». Por cierto la información es consistente con lo detallado en la tabla inicial pero la representación gráfica de la lista de materiales facilita su rápida interpretación.
Con esta información desarrollamos el MRP del carro de golf, siendo el producto final el que establece las necesidades brutas de 100 unidades en las semanas 6, 8 y 9, según lo indicado en los datos del problema. En este sentido al no disponer de inventario inicial del carro de golf (terminado) las necesidades brutas de los períodos indicados son al mismo tiempo necesidades netas. Por ello se requiere entradas de pedidos planeados de 100 unidades en las semanas 6, 8 y 9 para lo cual la emisión (expedición) de las mismas debe ser con una semana de antelación dado el tiempo de reposición o lead time de una semana.
En el caso del ítem «Top» las necesidades brutas corresponden al mismo período en el cual se emiten los pedidos planeados del carro de golf. Ahora bien, se dispone de 40 unidades de inventario inicial de «Top» lo que se traduce a que el requerimiento neto de este producto de demanda dependiente sea de 60 unidades en la semana 5. En consecuencia se requiere la entrada de un pedido planeado de 60 unidades de «Top» en la semana 5, el cual se emite en la semana 4 (lead time de 1 semana).
De forma análoga se puede completar la información correspondiente para la «Base» que al igual que «Top» utiliza la política de lotificación lote a lote, por tanto se satisface de forma exacta el requerimiento neto positivo de cada período (si lo hubiere).
En el caso del ítem «Supports» se utiliza el método de Costo Unitario Mínimo. Descontando de las necesidades brutas el inventario inicial, los requerimientos netos de dicho componente son 40, 400 y 400 en las semanas 4, 6 y 7, respectivamente. Con ello se aplica el Costo Unitario Mínimo agrupando las necesidades: por ejemplo, un pedido de 40 unidades para satisfacer la necesidad neta exacta de la semana 4 no genera costos de inventario (C.Inv) pero sí un costo de emisión (C.Em) de $400 (el costo unitario es $400/40=$10). En el caso de consolidar las necesidades de la semana 4 y 6 se deberá hacer un pedido de 440 unidades. En este caso el costo de emisión (que es independiente del tamaño de pedido) seguirá siendo $400 y el costo de inventario es de $800 (al final se la semana 4 y 5 quedaran 440-40 unidades en inventario, con un costo unitario de almacenamiento semanal de $1, es decir, 400*$1+400*$1=$800). El costo unitario en este caso es ($800+$400)/440=2,727 (aprox). Finalmente se analiza la alternativa de realizar un pedido único de 840 unidades (para cubrir los requerimientos netos de las semanas 4, 6 y 7). El costo de emisión es de $400 y el de almacenamiento es $2.000 (800*$1+800*$1+400*$1), con un costo unitario de ($2.000+$400)/840=$2,857 (aprox).
En consecuencia el Costo Unitario Mínimo se alcanza agrupando las necesidades netas de la semana 4 a la 6 y se deberá realizar un pedido de 440 unidades. Luego se requerirá un pedido de 400 unidades el cual satisface el requerimiento neto de la semana 7.
Para el producto «Cover», sus necesidades brutas dependen de la emisión de pedidos planeados del «Top» en una razón 1 a 1. Como el ítem «Cover» utiliza la política lote a lote, los pedidos satisfacen las necesidades netas exactas (notar que no se dispone de inventario inicial) y en cada caso son emitidos con una semana de antelación dado el tiempo de reposición.
Un «Motor» es necesario para cada «Base» (según se detalla en el BOM) y este producto utiliza al igual que «Supports» la política de Costo Unitario Mínimo. No obstante se dispone en este caso de un inventario inicial suficiente (300 unidades) para cubrir los requerimientos brutos en las semanas 4, 6 y 7.
El ítem «Body» al igual que el «Motor» depende de la «Base». Este producto («Body») utiliza la política de Tamaño Fijo de Pedido de Q=300 unidades, es decir, cada vez que se necesite se emite un pedido de esa magnitud. Adicionalmente se dispone de un inventario inicial de 50 unidades de «Body» por lo cual la necesidad neta es de 30 unidades en la semana 4 (80-50). Por ello se emite un pedido de 300 unidades (en la semana 3) el cual se recibe al inicio de la semana 4, en consecuencia, el saldo disponible proyectado al final de la semana 4 es de 270 unidades (que de hecho es suficiente para cubrir las necesidades brutas de las semanas 6 y 7).
Por cada «Base» se necesitan 2 «Seats», luego las necesidades brutas de este último ítem es de 160, 200 y 200 (semanas 4, 6 y 7, respectivamente). Este producto utiliza la lotificación de Costo Total Mínimo la cual se detalla a continuación.
Notar que para la semana 4 es sólo necesario 40 unidades (dado el inventario inicial de 120 unidades). Naturalmente un pedido de este tamaño no genera costos de almacenamiento pero si el costo fijo de pedido de $400. Por otra parte un pedido de 24o unidades que cubre las necesidades netas de la semana 4 a la 6 tiene un costo de emisión de $400 y un costo de inventario de $400 (200*$1+200*$1). En este caso el diferencial en valor absoluto entre el costo de preparación de pedido y de inventario es de $0 que es el primer Costo Total Mínimo. Luego se realiza un pedido adicional de 200 unidades para enfrentar los requerimientos de la semana 7.
Continuando el desarrollo del MRP del carro de golf, los ítems «Frames» y «Controls», ambos dependen del «Body» en una relación 1 a 1. En cada caso es suficiente con un único pedido de la magnitud que establece el Tamaño Fijo de Pedido.
Finalmente se requieren 4 «Wheels» por cada «Body» lo que determina el requerimiento bruto de 1.200 unidades de «Wheels» en la semana 3. Como se dispone de un inventario inicial de 240 unidades y no hay más requerimientos después de la semana 3, es suficiente con un pedido único de 960 que se emite en la semana 2.
La siguiente tabla resumen muestra el resultado final de la Planificación de Requerimientos de Materiales (MRP):
El manejo de inventarios implica equilibrar la disponibilidad del producto (servicio al cliente) con los costos de suministrar un nivel determinado de disponibilidad del producto. En este contexto se busca minimizar los costos relacionados con el inventario para cada nivel de servicio. El propósito del análisis de inventarios en organizaciones manufactureras y de servicio es especificar cuándo se deben pedir los artículos y el tamaño o cuánto solicitar en cada pedido.
Luego resulta natural que para tomar cualquier decisión que afecte el tamaño del inventario se deben tomar en cuenta los costos asociados a su gestión. El siguiente diagrama representa dichos costos de una forma esquemática, agrupando éstos en costos de hacer un pedido, costos de mantener el inventario y costos de falta de existencias:
Costos de Inventario
1. Costos de hacer un pedido: Conocido también como costo de emisión de pedido. Son aquellos costos asociados con la adquisición de bienes para el reaprovisionamiento del inventario. Cuando se emite un pedido se incurre en costos asociados con el procedimiento, ejecución, transmisión, manejo y compra del pedido.
Los costos de hacer un pedido, en una empresa de comercio detallista (retail) o empresa se servicios, pueden incluir:
el costo de procesar un pedido a través de los departamentos de contabilidad y compras.
el costo de transmitir el pedido al punto de suministro.
el costo de transportar el pedido cuando los cargos de transporte no están incluidos en el precio de los artículos comprados.
el costo de cualquier manejo o procesamiento de materiales de los artículos en el punto de recepción.
Por ejemplo en el modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) que considera abastecimiento externo se asume que el costo de emisión de pedido es fijo e independiente del tamaño del pedido.
Por otra parte cuando la empresa se auto suministra sus propios inventarios de artículos terminados (empresa manufacturera), como en el caso de reabastecimiento de una fábrica, los costos de hacer el pedido se alteran para reproducir los costos de ejecución de la producción (como sucede en el modelo de POQ). En este caso los costos de hacer un pedido pueden incluir:
el costo de procesar la orden de trabajo (OT).
el costo de preparación de máquina o proceso.
el costo de producción del producto para varios tamaños de pedido.
2. Costos de mantener el inventario: Son aquellos asociados a guardar artículos durante un período de tiempo y son proporcionales a la cantidad promedio de artículos disponibles. A la vez los costos de mantener inventario se pueden clasificar en:
2.1. Costo de espacio: Son cargos hechos por el uso del volumendentro del edificio o espacio de almacenamiento (bodega). Cuando la bodega es rentada, la renta mensual se distribuye en función del volumen ($/m3/mes). Si el espacio es propio, los costos de espacio se determinan mediante la distribución de los costos de operación relacionados con el espacio, así como los costos fijos, como costos de equipo del edificio y del almacenamiento sobre una base de volumen almacenado.
2.2. Costo de capital: Se refiere al costo de oportunidad en conexión con el inventario. El costo exacto del capital para los propósitos de inventario se ha debatido durante algún tiempo. Muchas empresas usan:
Costo promedio de capital.
Tasa promedio de recuperación requerida de las inversiones de la compañía.
La tasa de rendimiento de las inversiones más lucrativas que la empresa no acepta.
2.3. Costo de seguros e impuestos: Los seguros y los impuestos, dependen de la cantidad de inventario disponible. De forma intuitiva la prima de los seguros a pagar serán mayores en la medida que la cantidad de productos que se almacene en inventario sea mayor.
2.4. Costo de riesgos de inventario: Son aquellos costos relacionados con deterioro, pérdidas, robos, daño, u obsolescencia. Por ejemplo los productos tecnológicos almacenados en inventario en un tienda de departamento se deprecian (en un sentido comercial) rápidamente en la medida que se mantengan un tiempo prolongado en la bodega (debido al desarrollo de la tecnología donde los productos son sustituidos rápidamente por nuevas alternativas con mejores prestaciones y en algunos casos incluso más económicas). En general los costos de riesgo de inventario son particularmente caros en productos que tienen un ciclo de vida corto (por ejemplo en aquellos casos que la decisión del tamaño de pedido involucra un sólo período como el modelo Newsvendor).
3. Costos de falta de existencias: Se incurre en costos por falta de existencias o quiebres de stock cuando se emite un pedido pero este no puede satisfacerse desde el inventario al cual esta normalmente asignado. Dentro de los costos de quiebre de stock se encuentran:
3.1. Costo por pérdida de ventas: Ocurre cuando el cliente, ante una situación de falta de existencias decide cancelar su pedido del producto (el costo es el beneficio que se habría obtenido de esta venta). Este costo es muy difícil de estimar dado que frente a un quiebre de stock no estamos seguros cuántas unidades estaba dispuesto a comprar el cliente y si también la falta de inventario afecto la venta de otros productos. Por ejemplo si una panadería vende toda la producción del día antes de lo estimado, cuando lleguen nuevos clientes preguntando por pan al percatarse que no queda es menos probable que compren productos complementarios (por ejemplo queso). Incluso es más, en un caso extremo el quiebre de stock puede implicar que el cliente no nos prefiera en el futuro y se cambie a la competencia, perdiendo todos los flujos de dinero que representaba ese cliente en el tiempo.
3.2. Costo de pedido pendiente: Ocurre cuando un cliente espera a que su pedido sea surtido, por lo que la venta no esta perdida, sólo retrasada. Los pedidos pendientes pueden crear costos adicionales de personal, ventas, transporte, manejo, etc.
A nivel táctico-operacional se necesita contar con un plan detallado que coordine las decisiones del Plan Maestro de Producción con todos los ítems de demanda dependiente relacionados con el plan óptimo de elaboración de productos finales. A ello contribuye precisamente el empleo de la técnica de la Planificación de Requerimientos de Materiales (MRP). Sin embargo, existen varias limitaciones y dificultades en esta técnica que en muchas situaciones obligan a considerar extensiones y mejoras de la misma.
Los problemas más serios y comunes del MRP son:
1. No toma en cuenta restricciones a la disponibilidad o capacidad de los recursos escasos: En consecuencia se asume que se puede implementar (al menos que se indique explícitamente lo contrario) cualquier lotificación que sea factible y que logre cubrir los requerimientos. Por ejemplo consideremos las siguientes necesidades brutas de un producto con demanda dependiente:
Asumiendo un costo de emisión de pedido de $10, un inventario inicial de 45 unidades, un costo unitario semanal de inventario de $0,02 y un lead time de 2 semanas, al aplicar la técnica del Costo Total Mínimo se alcanzan los siguientes resultados:
El primer pedido debe ser de 205 unidades el cual satisface las necesidades de la semana 4 a la semana 8. No obstante no tenemos certeza si es posible emitir un pedido de esa magnitud, en particular si se dispone de una capacidad de producción por período suficiente para llevar a cabo tal alternativa.
2. El tiempo real que demora en completarse una orden de fabricación o de compra depende muchas veces más de la congestión del sistema que del ítem propiamente tal: Efectivamente para el desarrollo del MRP se asume que el tiempo de reposición o lead time es conocido y no existe incertidumbre en su comportamiento lo que claramente corresponde a una simplificación del análisis. Si en el ejemplo anterior el lead time es superior al estimado esto podría generar un quiebre de stock.
3. Lo sensible que resultan los lotes de fabricación o compra frente a pequeños cambios en las necesidades brutas o netas requeridas, especialmente ante la presencia de lotes mínimos: Para visualizar esta dificultad es suficiente con sensibilizar las necesidades brutas del ejemplo anterior y verificar que aun frente a modificaciones que se podrían considerar marginales perfectamente puede afectar el tamaño de los lotes de compra o fabricación.
En consecuencia a lo anteriormente expuesto en relación a las dificultades asociadas al uso del MRP, el empleo de dicha herramienta de planificación obliga a su uso de manera iterativa, reprogramando y modificando las capacidades en el plan agregado y/o el plan maestro una y otra vez hasta respetar los límites disponibles de capacidad del plan detallado a que da origen en MRP.
De manera alternativa, es posible emplear modelos de planificación de necesidades, llamados de MRP II (Planeación de Recursos de Manufactura), que extienden la técnica de MRP mediante el uso de modelos de optimización que representan de mejor forma las dificultades comentadas.
![Q^{*}=612[galones/pedido]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Q%5E%7B%2A%7D%3D612%5Bgalones%2Fpedido%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "Q^{*}=612[galones/pedido]")
es el que minimiza el valor de la función de costos totales (se incluye el costo de la compra). Para corroborar el resultado anterior y con la ayuda de Excel se evalúan otras alternativas de pedido que otorgan costos anuales mayores que la cantidad económica de pedido.
