Como hemos abordado anteriormente en el Blog, los modelos de Programación Lineal constituyen una alternativa metodológica para enfrentar Problemas de Mezcla de Productos. En este contexto a continuación presentamos la formulación de un modelo de optimización lineal junto a su implementación computacional haciendo uso de Solver de Excel el cual fue enviado por uno de nuestros usuarios de Costa Rica.
Problema de Producción y Mezcla
Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con:
Por ejemplo, el costo por libra del café colombiano es $52, el cual contiene 2,5% de cafeína y se dispone de 20.000 libras para la producción de mezclas. Adicionalmente los productos que se comercializan en el mercado son:
Es decir, la mezcla suave se vende a $72 la libra, con una demanda de 35.000 libras y puede contener como máximo un 2,2% de cafeína.
Variables de Decisión:
Donde i=1,2,3 representa los países de origen Colombia, Brasil y México, respectivamente y j=1,2 la mezcla Suave y Suavísimo, respectivamente.
Función Objetivo:
Se busca maximizar la ganancia (diferencia entre los ingresos menos los costos) asociada al plan de producción y venta de las mezclas de café. Con color amarillo se destaca los ingresos por venta correspondientes a las variedades Suave y Suavísimo y en color verde los costos asociados a la utilización de libras de café colombiano, brasileño y mexicano.
Restricciones:
Disponibilidad de Café: para cada país de origen la cantidad de libras utilizadas para el proceso de mezcla no debe superar la disponibilidad.
Demanda de Mezclas: se debe satisfacer la demanda de cada mezcla de café a través de la asignación de las variedades provenientes de los 3 países de origen.
Porcentaje Máximo de Cafeína: cada mezcla no debe superar un porcentaje máximo de cafeína admitido.
No Negatividad: naturalmente las variables de decisión deben satisfacer las condiciones de no negatividad y se permiten valores fraccionarios: .
Al implementar el modelo de Programación Lineal anterior haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo:
La ganancia total (valor óptimo) es de $1.385.000, la cual se obtiene al asignar 20.000 libras de café Colombiano para la producción de la variedad Suave, 25.000 libras de café Brasileño para la producción de la mezcla Suavísimo y 15.000 libras de café Mexicano para la producción de la variedad Suave (solución óptima).
¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.
Es frecuente reconocer en los problemas de optimización que representan una estructura productiva, un componente de costo fijo asociado a la utilización de un recurso (dentro de un intervalo de producción relevante) y un costo variable que que asume proporcional al nivel de actividad que represente la unidad productiva (por ejemplo, lo que se refiere a costos de producción, costos de transporte en una red logística, entre otros). Por ejemplo, el Problema de Inclusión de Costos Fijos en Programación Entera representa una situación muy sencilla de lo anteriormente descrito.
En este contexto a continuación se presenta un problema de operación de minas de carbón que su simple utilización tiene asociado un costo fijo, además de incurrir en costos variables por concepto de producción y transporte a distintos puertos demandantes, que adicionalmente tienen requerimientos particulares sobre la calidad del producto recepcionado.
Problema de Explotación de Minas y Transporte
La compañía ABC puede explotar hasta tres minas de carbón y debe realizar envíos a tres puertos. El costo por tonelada de producción (en dólares), el costo fijo de operación en dólares (en caso de ser utilizada), los contenidos de una cierta clase de ceniza y de sulfuro por tonelada y las capacidades de producción (en toneladas de carbón) se resumen en la siguiente tabla:
Por su parte, las toneladas demandadas que deben ser enviadas a cada puerto, conjuntamente con los costos de transporte (en dólares por tonelada) se dan en la siguiente tabla:
Formule y resuelva un modelo de optimización que permita determinar la eventual operación de cada mina y sus niveles de producción, de modo de satisfacer los requerimientos de demanda y que las cantidades enviadas a cada puerto contenga a los más un 4,5% de ceniza y a lo más un 3% de sulfuro.
Variables de Decisión:
Parámetros:
Función Objetivo: Se desea minimizar los costos asociados a la explotación de las minas, el costo de producción del carbón y los costos de transporte del carbón enviado desde las minas a los puertos.
Restricciones:
Capacidad de Producción de las Minas: cada mina puede operar a su capacidad máxima de producción para abastecer los requerimientos de los distintos puertos en caso en que se decida realizar funciones de explotación en la misma.
Demanda de Carbón los Puertos: cada puerto debe recibir la cantidad de toneladas de carbón que demanda.
Máximo Porcentaje de Ceniza admitido por cada Puerto: cada puerto esta dispuesto a recibir como máximo un 4,5% de ceniza en los envíos de carbón que recibe desde las minas. En este caso se expresa dicha condición de forma general a través de parámetros.
Máximo Porcentaje de Sulfuro admitido por cada Puerto: similar al caso anterior pero estableciendo un límite máximo al porcentaje de sulfuro que admite cada puerto (en el ejemplo un 3%).
No Negatividad: las toneladas producidas en las minas y transportadas a los puertos naturalmente deben satisfacer las condiciones de no negatividad.
A continuación de presenta un extracto de la implementación computacional del modelo anterior haciendo uso de Solver de Excel junto a un tutorial de nuestro canal de Youtube con los detalles de la resolución:
Se puede observar que sólo se utilizan las minas 1 y 3. La mina 1 envía 35, 45 y 30 toneladas al Puerto 1, 2 y 3, respectivamente. En el caso de la mina 3, ésta envía 35, 35 y 30 toneladas a los Puertos 1, 2 y 3, respectivamente. La demanda en toneladas de carbón es satisfecha en los puertos y se respeta adicionalmente la capacidad máxima de producción de las minas. Adicionalmente se puede observar en color verde el porcentaje de ceniza o sulfuro (según sea el caso) que recibe cada puerto lo cual satisface las condiciones expuestas. Finalmente el valor óptimo, es decir, el costo mínimo asociado al plan de producción y transporte descrito es de 14.550 dólares.
¿Quieres tener el archivo Excel con la implementación computacional de este problema?
«Haga el producto correcto, correctamente, la primera vez». Probablemente en alguna oportunidad ha escuchado dicha aseveración que deja de manifiesto que en la gestión de empresas es vital conocer los costos asociados a la calidad y su influencia en la competitividad. Su importancia radica en que nos permite analizar la manera cómo se llevan a cabo las actividades, planificar las actividades relacionadas con la calidad y los recursos disponibles, controlar las actividades desarrolladas y compararlas con aquellas planificadas y detectar y eliminar aquellas condiciones poco favorables.
Costos de la Calidad
En este contexto usualmente se considera la siguiente clasificación de los costos de la calidad en 4 dimensiones:
Prevención
Evaluación
Fallas Internas (cliente interno)
Fallas Externas (cliente externo)
1. Costos de Prevención: El objetivo es mantener los costos de fallas (internas y externas) y evaluación al mínimo. Algunos ejemplos son:
Revisión de nuevos productos y procesos
Planeación de la calidad (Plan global y difusión)
Capacitación focalizada
Control de Procesos
Planificación de la inspección
Selección y evaluación de proveedores
Auditorías de calidad (Evaluación del Plan global)
2. Costos de Evaluación: Se incurre en ellos debido a la inspección y comprobación de las especificaciones de calidad. Por ejemplo:
3. Costos de Fallas Internas: Son aquellos detectados antes de que el producto llegue a manos del cliente externo. Entre ellos destaca:
Desechos
Reelaboración
Reinspección
Análisis de defectos
Pérdidas de proceso evitables
Degradación (Rebajas)
4. Costos de Fallas Externas: Se incurre en ellos aún si el cliente no los percibe. Típicamente se ven traducidos en:
Garantías efectivas
Reclamos-devoluciones
Descuentos por razones de calidad
Conciliación de quejas
Retiradas de productos
Concesiones
Otros (generalmente mezclas de los anteriores)
Es importante detectar los problemas asociados a la mala calidad lo antes posible y en especial evitar que estos lleguen al cliente. Cuando se incurren en costos de fallas externas, el impacto de éstos puede ser insospechado. Tal es el caso de la situación que debió enfrentar la marca de automóviles Toyota, la cual debió emitir una orden de retirada en todo el mundo de 6,4 millones de vehículos, de 27 modelos diferentes, por cinco problemas distintos. Lo anterior no sólo se traduce en una pérdida monetaria millonaria por el concepto de reemplazo de componentes, sino también el impacto en la reputación de la marca y su posicionamiento, un aspecto que por cierto es más complejo de estimar cuantitativamente pero no obstante podría superar fácilmente aquellos costos visibles asociados a los problemas de calidad.
El manejo de inventarios implica equilibrar la disponibilidad del producto (servicio al cliente) con los costos de suministrar un nivel determinado de disponibilidad del producto. En este contexto se busca minimizar los costos relacionados con el inventario para cada nivel de servicio. El propósito del análisis de inventarios en organizaciones manufactureras y de servicio es especificar cuándo se deben pedir los artículos y el tamaño o cuánto solicitar en cada pedido.
Luego resulta natural que para tomar cualquier decisión que afecte el tamaño del inventario se deben tomar en cuenta los costos asociados a su gestión. El siguiente diagrama representa dichos costos de una forma esquemática, agrupando éstos en costos de hacer un pedido, costos de mantener el inventario y costos de falta de existencias:
Costos de Inventario
1. Costos de hacer un pedido: Conocido también como costo de emisión de pedido. Son aquellos costos asociados con la adquisición de bienes para el reaprovisionamiento del inventario. Cuando se emite un pedido se incurre en costos asociados con el procedimiento, ejecución, transmisión, manejo y compra del pedido.
Los costos de hacer un pedido, en una empresa de comercio detallista (retail) o empresa se servicios, pueden incluir:
el costo de procesar un pedido a través de los departamentos de contabilidad y compras.
el costo de transmitir el pedido al punto de suministro.
el costo de transportar el pedido cuando los cargos de transporte no están incluidos en el precio de los artículos comprados.
el costo de cualquier manejo o procesamiento de materiales de los artículos en el punto de recepción.
Por ejemplo en el modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) que considera abastecimiento externo se asume que el costo de emisión de pedido es fijo e independiente del tamaño del pedido.
Por otra parte cuando la empresa se auto suministra sus propios inventarios de artículos terminados (empresa manufacturera), como en el caso de reabastecimiento de una fábrica, los costos de hacer el pedido se alteran para reproducir los costos de ejecución de la producción (como sucede en el modelo de POQ). En este caso los costos de hacer un pedido pueden incluir:
el costo de procesar la orden de trabajo (OT).
el costo de preparación de máquina o proceso.
el costo de producción del producto para varios tamaños de pedido.
2. Costos de mantener el inventario: Son aquellos asociados a guardar artículos durante un período de tiempo y son proporcionales a la cantidad promedio de artículos disponibles. A la vez los costos de mantener inventario se pueden clasificar en:
2.1. Costo de espacio: Son cargos hechos por el uso del volumendentro del edificio o espacio de almacenamiento (bodega). Cuando la bodega es rentada, la renta mensual se distribuye en función del volumen ($/m3/mes). Si el espacio es propio, los costos de espacio se determinan mediante la distribución de los costos de operación relacionados con el espacio, así como los costos fijos, como costos de equipo del edificio y del almacenamiento sobre una base de volumen almacenado.
2.2. Costo de capital: Se refiere al costo de oportunidad en conexión con el inventario. El costo exacto del capital para los propósitos de inventario se ha debatido durante algún tiempo. Muchas empresas usan:
Costo promedio de capital.
Tasa promedio de recuperación requerida de las inversiones de la compañía.
La tasa de rendimiento de las inversiones más lucrativas que la empresa no acepta.
2.3. Costo de seguros e impuestos: Los seguros y los impuestos, dependen de la cantidad de inventario disponible. De forma intuitiva la prima de los seguros a pagar serán mayores en la medida que la cantidad de productos que se almacene en inventario sea mayor.
2.4. Costo de riesgos de inventario: Son aquellos costos relacionados con deterioro, pérdidas, robos, daño, u obsolescencia. Por ejemplo los productos tecnológicos almacenados en inventario en un tienda de departamento se deprecian (en un sentido comercial) rápidamente en la medida que se mantengan un tiempo prolongado en la bodega (debido al desarrollo de la tecnología donde los productos son sustituidos rápidamente por nuevas alternativas con mejores prestaciones y en algunos casos incluso más económicas). En general los costos de riesgo de inventario son particularmente caros en productos que tienen un ciclo de vida corto (por ejemplo en aquellos casos que la decisión del tamaño de pedido involucra un sólo período como el modelo Newsvendor).
3. Costos de falta de existencias: Se incurre en costos por falta de existencias o quiebres de stock cuando se emite un pedido pero este no puede satisfacerse desde el inventario al cual esta normalmente asignado. Dentro de los costos de quiebre de stock se encuentran:
3.1. Costo por pérdida de ventas: Ocurre cuando el cliente, ante una situación de falta de existencias decide cancelar su pedido del producto (el costo es el beneficio que se habría obtenido de esta venta). Este costo es muy difícil de estimar dado que frente a un quiebre de stock no estamos seguros cuántas unidades estaba dispuesto a comprar el cliente y si también la falta de inventario afecto la venta de otros productos. Por ejemplo si una panadería vende toda la producción del día antes de lo estimado, cuando lleguen nuevos clientes preguntando por pan al percatarse que no queda es menos probable que compren productos complementarios (por ejemplo queso). Incluso es más, en un caso extremo el quiebre de stock puede implicar que el cliente no nos prefiera en el futuro y se cambie a la competencia, perdiendo todos los flujos de dinero que representaba ese cliente en el tiempo.
3.2. Costo de pedido pendiente: Ocurre cuando un cliente espera a que su pedido sea surtido, por lo que la venta no esta perdida, sólo retrasada. Los pedidos pendientes pueden crear costos adicionales de personal, ventas, transporte, manejo, etc.
Estimar de forma correcta los costos de producción es vital al momento de la fijación de precios dado que de esto dependerá si se logra cubrir los costos fijos y variables asociados al Proceso Productivo, como también por cierto el cumplimiento de determinadas expectativas de rentabilidad. Dicho proceso de estimación es más complejo cuando en la fabricación de los productos se incurre en unidades defectuosas que requieren reproceso y/o simplemente son descartadas en el contexto de un control de calidad.
Consideremos por ejemplo un restaurant que tiene como política comercial generar un margen de comercialización de un 32%. Cada cliente paga $10.000 y el costo por cliente es de $6.800. Adicionalmente el 5% de los clientes se retira del restaurant sin pagar la cuenta.
¿Cuál es el margen de comercialización real?. Si atendimos 100 clientes el costo es de $680.000, no obstante dicho costo debe ser asumido por 95 clientes (dado que 5 de cada 100 clientes no paga), por tanto el costo de atender a cada uno de ellos es de $680.000/95=$7.157,89. En consecuencia el margen real es de $10.000-$7.157,89=$2.842,11, es decir, un 28,42%.
Un ejemplo con mayor detalle se presenta a continuación. Una empresa fabrica 2 productos (A y B). Cada uno de ellos requiere un pack de insumos correspondiente a la manufactura inicial de $2.00. Luego el producto se somete a un primer Test (con un costo de $0.50) donde el 10% es descartado, el 60% pasa a un ajuste de terminaciones (con un costo de $1.50) para terminar como Producto A y el 30% restante a un segundo Test (con costo de $0.20). Para aquellos productos que pasan al segundo Test, el 10% de ellos es descartado y el 90% requiere ajustes de terminaciones por un valor de $2.00 con lo cual se completa una unidad del Producto B. El diagrama de proceso a continuación representa dicha situación:
¿Cuántos packs de insumos deben ingresar al sistema si nuestra meta es obtener 1.620 productos de tipo B?
¿Cuánto cuesta producir exactamente 600 unidades de A y 540 unidades de B?
En la situación 2), ¿cuál es el costo real (costo ajustado) por unidad del producto A?
Pregunta 1:X*0,3*0,9=1.620. Despejando X se obtiene X=6.000, es decir se requieren 6.000 packs de insumos para fabricar 1.620 unidades del producto B.
Pregunta 2: Se requiere comenzar con 2.000 packs de insumos: 2.000=540/(0.9*0.3). El costo total es:
Pregunta 3: De los 2.000 packs de insumo, sólo 600 van ser usados para hacer el producto A, lo que representa el 30%. Entonces el costo real es $11.66 ($11.66=$3.50*(100/30)).
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