El siguiente artículo consiste en un ejemplo de la aplicación de los conceptos del Revenue Management (RM) para determinar los límites de reserva y el nivel de protección en una empresa de transporte de pasajeros. En particular consideraremos una empresa de buses que tiene un servicio entre las ciudades de Santiago y Antofagasta (Chile), servido diariamente con buses de un piso y capacidad para 36 pasajeros. Actualmente se venden pasajes a tarifa normal a $15.000 y descontada a $7.500. Se considera válida la premisa que las demandas son independientes entre sí y que no habría problemas en asignar la capacidad total del bus si a todos los pasajeros se les cobra la tarifa descontada.
El analista de Revenue Management de la ruta a estimado que la demanda a tarifa normal sigue una distribución normal con media de 11 pasajes y desviación estándar de 5 pasajes (N~(11,5)). ¿Cuáles deberían ser los límites de reservas y niveles de protección para esta ruta si se busca maximizar el ingreso esperado?.
El analista deberá deja reservados 11 asientos para la tarifa normal (nivel de protección) de modo que el límite de reservas para la tarifa descontada es de 25 asientos (36-11). Notar que si la demanda por tarifa descontada se incrementa el nivel de protección se mantiene. Adicionalmente si se quisiera evaluar el impacto de disponer de un bus de mayor capacidad para la ruta (por ejemplo 45 asientos) esto no altera los resultados alcanzados. En consecuencia el nivel de protección depende de la demanda por tarifa normal y del ratio entre ambas tarifas (normal y descontada).
En el análisis del comportamiento de una línea de espera se suele considerar la premisa de que el tiempo entre llegada de los clientes se distribuye exponencial con parámetro lambda (λ). Si bien esta presunción es válida en muchas situaciones es conveniente realizar un diagnóstico de dicha situación a través de test estadísticos ad hoc. En este contexto el siguiente artículo aborda el problema de ajuste de una función de probabilidad teórica a una serie de datos empíricos que como se menciono anteriormente es un asunto de interés en el análisis de los sistemas de espera como así también en un sin número de aplicaciones estadísticas clásicas.
La pregunta que queremos responder es: ¿El tiempo entre llamada de los clientes se distribuye exponencial?. Análogamente ¿Qué función de probabilidad teórica ajusta de mejor forma los datos empíricos?. Para enfrentar dichas interrogantes utilizaremos el software Easyfit que hemos abordado en artículos anteriores para la confección de histogramas y análisis de estadísticas descriptivas.
Preliminarmente ordenaremos los datos recolectados en una columna y procedemos a calcular el tiempo transcurrido entre cada llamada (Iai), por ejemplo, entre la primera y segunda llamada pasan 23 segundos, entre la segunda y tercera llamada pasan 1 minuto y 24 segundos (equivalente a 84 segundos) y así sucesivamente. A continuación se muestra un extracto de dicho procedimiento:
Con los tiempos entre llamadas en segundos (o su equivalencia en minutos si así se desea) se hace uso de Easyfit. Copiamos dichos tiempos en la columna A tal se muestra en la siguiente imagen y luego la opción «Ajustar distribuciones»:
Luego seleccionamos «OK»:
El programa se ejecuta y proporciona los resultados de los ajustes de los datos empíricos a un importante número de distribuciones teóricas, proporcionando una estimación de los parámetros respectivos.
La distribución Wakeby es la que muestra el mejor ajuste, considerando los siguientes parámetros:
Adicionalmente podemos obtener los test de bondad de ajuste (en la pestaña «Bondad de ajuste»). Probablemente el más conocido de ellos es el test Chi-cuadrado (notar que las distribuciones han sido ordenadas en base a este criterio). También se puede obtener el detalle de las pruebas de hipótesis para distintos niveles de significancia estadística (valores de alfa).
Una interpretación exhaustiva de los test de bondad de ajuste requiere de una discusión más detallada que escapa a los propósitos de este artículo. No obstante queda de manifiesto que existen herramientas computacionales que permite simplificar este tipo de análisis que es recurrente en el ámbito de la estadística y por cierto en el de la gestión de operaciones.
La Regla o Técnica de Littlewood es ampliamente utilizada en el Revenue Management como procedimiento para asignar la capacidad de un recurso. Para ello se considero un vuelo con 2 tarifas, p1 y p2, en los cuales p1>p2, además de ello la demanda del producto 2 se presenta antes que la demanda de la clase 1. Este supuesto de orden de llegada de los clientes es importante para la formulación del modelo, ya que representa el comportamiento lógico que debiesen tener los consumidores frente a un producto de similares características. Por ejemplo los segmentos con menor disposición a pagar (por ejemplo «turistas») tienden a comprar con mayor antelación que un segmento de mayor disposición a pagar (por ejemplo «ejecutivos») los cuales compran en una fecha más cercana a la del vuelo.
La solución se puede obtener mediante el análisis de la relación ingreso/pérdida marginal, es decir, hay que suponer que quedan n unidades de capacidad disponible y llega el cliente de clase 2. Si se acepta la llegada del cliente clase 2, se recibirá ingresos de p2. En caso de no aceptar, se venderán n unidades al precio p1, solamente si se cumple que la demanda de clase 1 es mayor o igual que n. Esto se refiere que evitaremos capacidad inutilizada. En resumen, si y sólo si D1>=n. Como resultado, el beneficio que se espera de reservar el n-ésimo asiento para la clase 1 (paga un precio mayor), que es el beneficio marginal esperado es p1*P[D1>=n]. Finalmente tiene sentido y lógica aceptar llegada de clientes 2, siempre que su precio supere este valor marginal o sea equivalente: p2>p1*P[D1>=n]. Para ejemplificar lo anterior consideremos el siguiente caso:
Técnica de Littlewood en Revenue Management
Una línea aérea ofrece dos precios para sus vuelos en un tramo particular: el precio “Full” que cuesta $440/ticket (dirigido al segmento «ejecutivo») y el precio “Económico” que cuesta $218/ticket (dirigido al segmento «turista»). En el avión hay 230 asientos. La demanda de pasajes a tarifa “Full” tiene la siguiente distribución empírica:
Utilizando la Regla de Littlewood se desea determinar el nivel de protección de asientos “Full” y el límite que se debería imponer en el número de reservas de tipo “Económico”. Para ello determinamos el mayor valor de Q tal que:
Para Q=45, P(Dfull<=Q) = 0,49 y P(Dfull=Q) = 0,07
Luego P((Dfull<Q) = P(Dfull<=Q) – P(Dfull=Q) = 0,49 – 0,07 = 0,42 < 0,504
Para Q=46, P(Dfull<=Q) = 0,51 y P(Dfull=Q) = 0,02
Luego P((Dfull<Q) = P(Dfull<=Q) – P(Dfull=Q) = 0,51 – 0,02 = 0,49 < 0,504
Para Q=47, P(Dfull<=Q) = 0,54 y P(Dfull=Q) = 0,03
Luego P((Dfull<Q) = P(Dfull<=Q) – P(Dfull=Q) = 0,54 – 0,03 = 0,51 > 0,504
La cantidad óptima de asientos a destinar (nivel de protección) a la tarifa «Full» es de 46 asientos. En consecuencia el número máximo de reservas a aceptar de la tarifa descontada es 184 asientos (230-46).
Una forma equivalente de enfrentar el problema anterior es mediante el cálculo del valor esperado (ganancia marginal) asociado a distintos niveles de protección de la tarifa «Full». Para ello notar que P[D1>=Q]=1-P[D1<Q] o análogamente P[D1>=Q]=1-P[D1<=Q]+P[D1=Q]. Con ello obtenemos las 2 últimas columnas de la derecha de la siguiente tabla:
El valor esperado se obtiene de p1*P[D1>=Q], por ejemplo para Q=46 tenemos $440*P[D1>=46]=$224,4>$218 (este último precio tarifa turista). Luego el mayor valor de Q que satisface la condición de Littlewood es Q=46 asientos como nivel de protección para la tarifa Full.
En la Gestión de Inventarios resulta como regla general tomar decisiones en un contexto de incertidumbre en el cual no se conoce por anticipado el valor o realización de la variable aleatoria que representa la demanda de un producto.
En este aspecto es importante detenerse un momento dado que según nuestra experiencia docente suele ser una fuente de confusión de los alumnos. Se puede asumir que en base a información histórica se puede construir una demanda empírica que represente razonablemente el comportamiento de la demanda de un producto o incluso buscar su representación a través de una función de probabilidad conocida o demanda teórica (por ejemplo distribución normal, distribución uniforme, distribución gamma y otras utilizadas frecuentemente para fines académicos) para la cual se deberá estimar los mejores valores de los parámetros respectivos (por ejemplo en el caso de seleccionar una distribución normal se deberá estimar los valores de la media µ y la desviación estándar σ).
Para este propósito se puede hacer uso de software estadístico como Easyfit. No obstante, independiente si trabajamos con una distribución empírica o distribución teórica que modele el comportamiento de la demanda, conocer con anticipación el valor que tomará ésta no es posible dado que esto corresponde a la realización de una variable aleatoria.
En el contexto anterior resulta necesario disponer de indicadores de gestión que permitan evaluar el desempeño de una política de mantenimiento de inventario que ayude a los tomadores de decisiones a tomar acciones correctivas de ser necesario.
Para ello presentaremos 2 indicadores frecuentemente utilizados en la actualidad, en particular en la industria de la venta al detalle o comercio minorista, conocida comúnmente como Retail.
Instock: Considerando una demanda aleatoria, y dado una cantidad de inventario Q decimos que su probabilidad de Instock es P[D<=Q].
Fill Rate: Es un indicador de servicio que representa el porcentaje de la demanda que se logra satisfacer. En fórmula:
Ejemplo Instock y Fill Rate
La panadería Bredi es conocida por producir el mejor pan fresco de la ciudad, por eso tiene ventas sustancialmente altas. Los siguientes datos fueron recolectados durante el último año y para cada valor de k en la segunda columna se indican que porcentaje de días del año pasado la demanda fue exactamente k (baguettes):
En base a la demanda esperada, el gerente de la panadería Bredi decide hornear 475 baguettes cada mañana (Q=475). ¿Cuál es el Instock y Fill Rate asociado a este tamaño de lote de producción?. (Es importante verificar que la suma de las probabilidades (días en que la demanda fue exactamente k unidades de producto) es un 100%).
Instock: P[D<=475]=25%+15%+10%+10%=60%, es decir, la probabilidad de que en un día cualquiera se puede satisfacer la demanda de forma íntegra es un 60%. Por ejemplo, si la demanda de un día es de 500 baguettes dado un tamaño de producción de 475 unidades se incurre en un quiebre de stock.
Fill Rate: Las ventas esperadas depende del tamaño de lote de producción (Q). Por ejemplo, si la realización de la variable aleatoria (demanda) resulta ser igual o superior a 475 baguettes, se venderán sólo lo que se produce (Q=475) y el remanente se considera como venta perdida.
En cuanto a la demanda esperada, ésta es independiente de Q por tanto corresponde simplemente a ponderar los distintos valores de k por la probabilidad de ocurrencia del escenario respectivo. En consecuencia en el ejemplo:
Lo anterior permite corroborar un resultado que se puede generalizar: Instock <= Fill Rate
Conclusiones: Naturalmente al aumentar el tamaño de Q se incrementa tanto el Instock como el Fill Rate, no obstante, esta decisión no necesariamente es la recomendable dado que aumenta la probabilidad de quedar con stock al final del día (el cual en el ejemplo podría no tener uso alternativo en caso que se decida botar el pan que sobre o podría venderse como pan frío al día siguiente obteniendo usualmente una fracción del costo de fabricación).
Este tipo de escenarios es al que usualmente los tomadores de decisiones se ven enfrentado en problemas de ciclo de vida corto (Modelo Newsvendor) ante lo cual se necesita disponer de estimaciones adicionales.
. Esta corresponde a las 686 llamadas que ha recibido un Call Center en un período de 4 horas según se muestra a continuación:
