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Ejemplo del Algoritmo de Wagner y Whitin (Sistemas de Loteo)

El Algoritmo de Wagner y Whitin (1958) consiste en una extensión natural y dinámica al problema de Tamaño Económico de Pedido (conocido también como Cantidad Económica de Pedido o EOQ) donde la demanda durante el período de planificación presenta variabilidad, no obstante, se sigue manteniendo el supuesto de asumir que dicha demanda es conocida.

De esta forma, dada una demanda que presenta variabilidad en el tiempo, costos de emisión de pedidos asociados a la gestión de los mismos y no al volumen involucrado en ellos, y costos de almacenamiento correspondientes al inventario de los productos almacenados en inventario, se busca determinar una política de pedidos que satisfaga los requerimientos de demanda al menor costo posible.

En este contexto asumiremos que el lead time (tiempo de reposición) es nulo, es decir, el pedido se recibe en el mismo período en el que se realiza y que adicionalmente estamos frente a un Problema de Tamaño de Lote No Capacitado, vale decir, que no existe limitantes de capacidad y que, eventualmente, se podría satisfacer la demanda íntegra del horizonte de planificación a través de un único pedido que se realice en el primer período (mediante la acumulación de inventarios para períodos futuros).

Un problema similar al que se aborda con el Algoritmo de Wagner y Whitin es el Problema de Producción e Inventario, en el cual frecuentemente se incorporan limitantes de capacidad para la cantidad de unidades que se pueden pedir en cada período, constituyendo de esta forma un problema capacitado.

Algoritmo de Wagner-Whitin

Los pasos detallados para la implementación del Algoritmo de Wagner y Whitin pueden encontrarse en la publicación académica original: Dynamic Version of the Economic Lot Size Model, (Versión Dinámica del Tamaño Económico de Pedido) disponible para descarga por un valor de 30 dólares. No obstante, a continuación resumiremos los pasos del algoritmo y presentaremos un ejemplo de su aplicación para favorecer su comprensión.

Paso 1: Considere la política de ordenar en el período $t^{**}$ , $t^{**}=1,2,$ …, $t^{*}$ y satisfacer las demandas $d_{t}$ , $t=t^{**},t^{**}+1,$ …, $t^{*}$ en ese orden.
Paso 2: Determine el costo total de las $t^{*}$ políticas de pedido, sumando los costos de emisión y almacenamiento asociados a la emisión de un pedido en $t^{**}$ , y el costo de actuar de forma óptima entre el período 1 y el período $t^{**}-1$ consideradas por si mismas.
Paso 3: De las $t^{*}$ alternativas, seleccione la política de mínimo costo del período 1 hasta $t^{*}$ consideradas de forma independiente.
Paso 4: Continué al período $t^{*}+1$ o detengase si $t^{*}=N$ donde $N$ representa el horizonte de planificación.

Ejemplo del Algoritmo de Wagner y Whitin

Consideremos las necesidades asociadas a un producto cualquiera para un período de planificación de 12 meses (N=12). La demanda Dt que se enfrenta cada mes es variable, como así también los costos de emitir un pedido (St), no obstante, el costo unitario de almacenar una unidad en inventario de un mes a otro (Ht) por simplicidad se asumirá que es fijo.

Aplicamos a continuación el Algoritmo de Wagner y Whitin:

El plan óptimo para el período 1 es ordenar (asumiendo un costo de emisión de $85).

Para el período 2 se deben evaluar 2 posibilidades:

ordenar en el período 2 y usar la mejor política para el período 1 considerado por si solo (con un costo de emisión de $102+$85=$187).
o emitir un pedido en el período 1 para ambos períodos (1 y 2), almacenando inventario para el período 2 (con un costo total de $85+$29=$114).

En este caso comparativamente es mejor la segunda alterativa.

En el período 3 existen tres alternativas:

emitir un pedido en el período 3 y utilizar la mejor política para los períodos 1 y 2 (a un costo de $102+$114=$216).
o emitir un pedido en el período 2 para los 2 últimos períodos (2 y 3) y utilizar la mejor política para el período 1 considerado de forma independiente (a un costo de $102+$36+$85=$223).
o emitir un pedido en el período 1 para los 3 períodos (con un costo de $85+$29+$36+$36=$186).

En nuestro ejemplo, resulta evidente que no existen incentivos para almacenar productos en inventario en el período 1 o 2 para satisfacer la demanda del período 4, dado que los costos de almacenamiento excederían los costos de emisión de pedido en el período 4. Si lo anterior es cierto, claramente no tiene sentido guardar inventario en el período 1 o 2 para satisfacer demanda de un período superior al 4 (5, 6, 7, etc).

Para los datos propuestos en nuestro ejemplo, la política óptima de pedidos según el Algoritmo de Wagner Whitin es la siguiente:

Pedir 135 unidades (79+56) en el período 11 para satisfacer los requerimientos del período 11 y 12, y utilizar la política óptima para los períodos del 1 al 10.
Emitir un pedido de 67 unidades para el período 10 y utilizar la política óptima de pedidos para los períodos 1 al 9.
Pedir 112 unidades (67+45) en el período 8 para satisfacer la demanda de los períodos 8 y 9, y luego utilizar la mejor alternativa para los períodos del 1 al 7.
Ordenar 121 unidades (61+26+34) en el período 5 para enfrentar la demanda de los períodos 5, 6 y 7.
Pedir 97 unidades (36+61) en el período 3 para satisfacer la demanda de los períodos 3 y 4.
Finalmente pedir 98 unidades (69+29) en el período 1 y con ello cumplir la demanda de los períodos 1 y 2.

La siguiente tabla resume los resultados anteriormente expuestos.

Al pie del cuadro resumen se detalla, por ejemplo, «567 indica la política óptima de pedido para los períodos del 1 al 7 es pedir en el período 5 y satisfacer la demanda de los períodos 5, 6 y 7 y adoptar una política óptima para los períodos 1 al 4 considerados de forma separada».

El costo asociado a implementar el Algoritmo de Wagner y Whitin al problema propuesto como ejemplo es de $864. Se propone al lector corroborar que dicha política minimiza los costos de inventario en comparación a otros sistemas de loteo como Costo Total Mínimo, Costo Unitario Mínimo, EOQ, entre otras.

Una forma de corroborar los resultados obtenidos es mediante una aplicación en Excel que permite automatizar los procesos de cálculo. Básicamente ingresando un inventario inicial (en nuestro ejemplo cero), la demanda pronosticada, los costos de emisión de pedidos y los costos de almacenamiento, se puede fácilmente aplicar una política de lotificación como aquellas que tratamos en extenso en el Plan de Requerimientos de Materiales (MRP).

Observación: La imagen anterior ha sido editada para efectos de una mejor resolución de modo que solo se visualiza los resultados parciales hasta el período 8. El archivo Excel con la aplicación donde se encuentran los resultados del ejemplo desarrollado en este artículo, como también la posibilidad de poder utilizarlo con otras políticas de lotificación se puede descargar a continuación.

[sociallocker]Descarga Aquí el Archivo Excel del Algoritmo de Wagner y Whitin: lotsizing[/sociallocker]

Qué es Just in Time (JIT o Justo a Tiempo)

La filosofía de manufactura Just in Time (conocido simplemente por su acrónimo JIT en inglés o en su traducción al español Justo a Tiempo) postula que se debe producir solo lo que sea necesario, en la cantidad que sea necesaria y en el momento que sea necesario. Lo anterior establece como un imperativo de cualquier negocio que aspira ser de Clase Mundial (World Class) la reducción de capital inmovilizado con el correspondiente impacto en la eficiencia de los procesos y la reducción de costos.

Qué hace el Just in Time (JIT)

Just in Time (Justo a Tiempo) se basa sobre 3 pilares u objetivos básicos:

Atacar los problemas fundamentales
Eliminar despilfarros (desperdicios)
Buscar la simplicidad

1. Atacar los Problemas Fundamentales

Consiste en atacar las causas fundamentales de los problemas, resolviendo éstos sin encubrirlos. El enfoque anterior se puede representar a través de una analogía denominada “mar de las existencias” que indica básicamente que el nivel de inventario o existencias suele ocultar problemas en los procesos.

El nivel del mar representa las existencias o inventario y las operaciones de la empresa se visualizan como un barco. Cuando una empresa intenta bajar el nivel del mar, en otras palabras, reducir el nivel del inventario, descubre rocas, es decir, problemas.

El solo hecho de identificar los problemas no garantiza por cierto que estos se resuelvan, sin embargo, se cimientan las bases para poder enfrentar las causas que lo generan (acá se puede hacer uso de metodologías complementarias de la Gestión de Calidad como el Diagrama de Ishikawa y Diagrama de Pareto). De esta forma se deba atacar las causas de los problemas que causan las ineficiencias y no sólo concentrarse en los síntomas o efectos.

En palabras del ingeniero japones Taiichi Ohno, precursor de la filosofía Just in Time (JIT) al interior del sistema de producción del fabricante de automóviles Toyota.

Si se ha entendido bien lo que es el control de la producción, entonces es innecesario el control de inventarios.

De esta forma y en consecuencia a lo discutido anteriormente se pueden establecer diferencias entre el enfoque Tradicional y el enfoque de Just in Time JIT:

2. Eliminar Despilfarros (Desperdicios)

El desperdicio (waste en inglés) se refiere a toda inversión de costo, tiempo, material, mano de obra o recursos aplicada en exceso versus lo mínimo indispensable para ofrecer un Producto y/o Servicio que exceda cualitativa y cuantitativamente las expectativas del cliente.

De esta forma en la manufactura Justo a Tiempo (JIT) el énfasis debe estar en eliminar todas aquellas actividades que no añaden valor al producto con lo que se reduce costos, mejora la calidad, reduce los plazos de fabricación (lead time logístico) y aumenta el nivel de servicio al cliente (que se puede medir cuantitativamente a través de indicadores como Instock, Fill-rate, entre otros).

Algunos ejemplos de los tipos de desperdicios más comunes son:

1. Sobreproducción
2. Tiempo de Espera
3. Transporte
4. Inventario
5. Proceso inadecuado (reprocesamiento)
6. Movimientos innecesarios
7. Defectos en Productos

Luego una forma de poder enfrentar los desperdicios es a través de un enfoque sistémico como el propuesto en JIT que se basa en los siguientes criterios:

Hacer el producto y/o prestar el servicio bien en la primera oportunidad
El operario asume la responsabilidad de controlar, es decir, el operario trabaja en autocontrol
Garantizar el buen desempeño del proceso mediante el Control Estadístico de Procesos (CEP)
Analizar y prevenir los riesgos potenciales que hay en un Proceso
Reducir stocks (Inventarios) al máximo

De esta forma se pueden establecer metas ambiciosas que sean consistentes con el objetivo de eliminar los desperdicios. Entre ellas destacan:

?Cero defectos (Seis Sigma)
?Cero Tiempo de Preparación (Setup Time)
?Cero Inventarios
?Cero Manejo de Materiales
?Cero Lead Time (Plazos)
?Tamaño de Lote Unitario (Q* bajos)
?Productos que satisfagan las necesidades (Calidad)

3. Buscar la Simplicidad

Por regla general los enfoques de producción simples están asociados a una gestión más eficaz. El primer tramo del camino hacia la búsqueda de la simplicidad abarca 2 zonas:

Flujo de Material
Control de las Líneas de Flujo

Un enfoque simple respecto al flujo de material es eliminar las rutas complejas y priorizar líneas de flujo más directas, en lo posible unidireccionales. Otra alternativa es agrupar los productos en familias que se fabrican en una línea de flujo, con lo que se facilita la gestión en células de producción (celdas de manufactura).

De forma complementaria la simplicidad del Justo a Tiempo (JIT) también se aplica al manejo de las líneas de flujo. Un ejemplo de ello es el sistema Kanban, en el que se arrastra el trabajo (sistema Pull o Jalar que consiste en producir sólo lo necesario, tomando el material requerido de la operación anterior).

En resumen el enfoque Just in Time (JIT) o Justo a Tiempo se basa en el control físico del material para identificar los desperdicios y forzar su eliminación. JIT es una filosofía propia de la Ingeniería Industrial que consiste en la reducción de desperdicio (actividades que no agregan valor) es decir todo lo que implique sub-utilización en una Cadena de Suministro desde compras hasta producción.

Requisitos del Just in Time (JIT)

1. ?Nivelado de la Producción: consiste en adaptar los niveles de producción a los cambios que se observan en el comportamiento de la demanda. De esta forma se busca que el Plan Maestro de la Producción sea altamente sensible y adaptable a la aleatoriedad de la Demanda, disminuyendo al mínimo la producción de unidades innecesarias.

2. Estandarización de Operaciones: se busca que los niveles de producción sean equilibrados en todos los procesos utilizando la cantidad mínima de operaciones y recursos, además de minimizar el trabajo en curso (WIP).

3. ?Reducción del Tiempo de Fabricación: consiste en implementar un conjunto de estrategias congruentes que apunten a la reducción de los tiempos requeridos para fabricar los productos. Destaca la reducción del tiempo de operación en cada proceso, reducción de los tiempos de transporte y la reducción de los tiempos de espera o tiempos muertos entre procesos (esto último, por ejemplo, a través del Balance de una Línea de Ensamble).

4. ?Reducción del Tiempo de Preparación: usualmente se asume el setup como irreducible y dado, en efecto en las fórmulas tradicionales de Lote Económico (EOQ) se observa un trade off entre los costos de emisión de pedidos y los costos de almacenamiento de inventario. En este sentido la filosofía JIT reconoce la importancia de reducir el tiempo de emisión o preparación al mínimo posible.

De esta forma bajos setups y lotes pequeños llevan naturalmente a bajos lead times, ?acortando el horizonte de planificación y el pronóstico es mas preciso. Adicionalmente ?el sistema puede cambiar rápido para atender un cambio en la demanda, aumentando la flexibilidad del sistema.

5. Distribución en Planta y Polivalencia: se busca privilegiar a través de la distribución de planta o layout y un esquema de organización del trabajo colaborativo y polivalente, de modo de aprovechar al máximo la disponibilidad de tiempo y capacidades de los trabajadores.

Consistente con esta estrategia se puede utilizar el tiempo sobrante (disponible) para múltiples propósitos con fines productivos entre los que destacan: transferencia de trabajadores a otras líneas, disminución de horas extraordinarias, reuniones de círculos de calidad, prácticas en mejora de programación, mantenimiento y reparación de máquinas, mejora de herramientas e instrumentos, etc.

Cómo implementar Just in Time (JIT) en la Empresa

?La adopción del sistema de manufactura Justo a Tiempo o JIT debe nacer como parte de una Planificación Estratégica, es decir, con una mirada de largo plazo que sea consistente con la ?adaptación de los requisitos y principios del JIT, bajo un ambiente de control y evaluación constante.

En este contexto implementar Just in Time (JIT) no es sencillo y se debe lidear con un importante numero de obstáculos que dificultan su adopción, entre los que destacan:?

Compromiso de la Directiva y Trabajadores
Disciplina de Trabajo
Redistribución de la Planta
Relación con los Proveedores

Por tanto no se deben hacer falsas expectativas esperando resultados a corto plazo.

En relación a aquellas empresas que se enfrentan por primera vez a la implementación de un sistema JIT se recomienda la utilización de un proyecto piloto que cumpla con los siguientes requisitos:

No debe ser un producto nuevo
El proceso debe ser conocido
No se debe escoger un producto crónico o problemático
No se debe escoger un producto con atraso para su entrega

De esta forma se pueden acotar los riesgos asociados a una deficiente implementación.

Finalmente en relación a la metodología de implementación se identifican 5 fases secuenciales que dada la evidencia empírica son adecuadas para la ejecución del JIT:

?Primera Fase: Educación (clave)
?Segunda Fase: Distribución y Polivalencia
?Tercera Fase: Mejoras en el proceso
?Cuarta Fase: Mejoras en el control
Quinta Fase: La ejecución

Just in Time (JIT) o Justo a Tiempo orienta a los procesos para que éstos funciones de forma correcta, correctamente la primera vez.

Evaluación de Proveedores y Determinación del Tamaño Óptimo de Pedido utilizando EOQ con Descuentos

El siguiente artículo representa la evaluación de 2 proveedores que ofrecen un esquema de descuentos por cantidad por las unidades vendidas, asumiendo que se satisfacen los supuestos simplificadores del modelo de Cantidad Económica de Pedido o EOQ. En particular consideraremos que la demanda del producto es constante y conocida y adicionalmente que el costo unitario de compra dependerá del tamaño del pedido (en este sentido utilizaremos el modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con Descuentos por Cantidad).

Ejemplo EOQ con Descuentos

Una compañía necesita comprar controles remotos y tiene una demanda semestral de 4.800 unidades. Los controles pueden ser comprados o del proveedor A o del B. Los precios por cantidad de cada proveedor están en la tabla abajo:

El costo por pedido es de $30 para cualquiera de los proveedores y el costo anual de inventario es 25% del costo unitario. Adicionalmente la compañía incurre en un costo fijo por emitir un pedido de $10 por concepto de gastos administrativos. ¿De cuál proveedor la compañía debe comprar y cuál es el tamaño del pedido si el objetivo es minimizar costos totales anuales?.

En primer lugar determinamos el tamaño de pedido para cada uno de los tramos de descuentos por cantidad que aplican al Proveedor A. Notar que se considera una demanda anual de 9.600 controles remotos (un año tiene 2 semestres). Para el tramo 1 el pedido se aproxima a la cota superior de dicho intervalo; para el tramo 2 se mantiene el lote obtenido dado que pertenece al intervalo de [200,499] y en el tramo 3 se aproxima el tamaño de pedido a la cota inferior del intervalo (500 unidades) lo cual permite acceder a un precio unitario de $13,60.

En consecuencia los candidatos a óptimo son pedidos de 199, 472 y 500 unidades para el Proveedor A. Para ver cuál de ellos reporta el menor costo total anual se evalúa en la función de costos totales:

El tamaño óptimo de pedido en caso de seleccionar el Proveedor A es de 500 unidades por pedido.

En el caso del Proveedor B el procedimiento es similar al descrito para el Proveedor A. En este caso los candidatos a óptimo son pedidos de 149, 349 y 474 unidades.

Al evaluar en la función de costos totales (anual) se observa que el tamaño de lote que minimiza los costos para el Proveedor B son 474 controles por pedido.

Finalmente se procede a comparar los costos mínimos para cada proveedor con lo cual se concluye que se debe comprar al Proveedor A y hacer pedidos de 500 controles, alcanzando un costo total anual de $132.178 (que incluye los costos que se incurren anualmente por concepto de compra, emisión de pedidos y almacenamiento).

Cómo Construir el Gráfico de Costos Totales del Modelo EOQ con Excel

En el artículo Deducción de la Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ) discutimos los fundamentos que permiten obtener la solución de dicho modelo, en particular aquel tamaño de pedido que permite minimizar la función de costos totales. Siguiendo dicho desarrollo conceptual, a continuación presentaremos un ejemplo tipo del modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) donde con el apoyo de una planilla Excel construiremos la función de costos totales, mediante la evaluación del costo total para distintos tamaños de pedido.

La Joyería Caminante es representante exclusivo de los relojes Ballon Bleu, de la prestigiosa Maison Cartier™, elaborados con oro gris y cubiertos con alrededor de 500 diamantes. Se sabe que:

Caminante le paga a Maison Cartier 40.000€ por cada reloj que importa al país.
Los costos de transporte e internación ascienden a 4.000€ por orden, independiente del número de relojes transportados.
Una vez en el país, los relojes representan un costo de almacenamiento anual del 20% de su precio, debido a los elevados seguros involucrados.
El mercado de compradores para este artículo de lujo es obviamente limitado en el país, pero en los últimos años las ventas de este producto se han estabilizado en la cantidad de 3 relojes mensuales.

Determine el número de relojes que Caminante debe pedir cada vez que pone una orden con Maison Cartier™, de modo de minimizar sus costos totales. ¿Cual es el costo total anual que enfrenta Caminante sin incluir el costo de comprar los productos?.

El tamaño óptimo de pedido que permite minimizar el valor de la función de costos totales es:

Donde el costo total (mínimo) asociado a dicho tamaño de pedido es:

Notar que se han omitido los costos de compra los cuales en este ejemplo al no existir descuentos por cantidad es el mismo independiente del tamaño del pedido.

Con la ayuda de una planilla Excel se puede evaluar cuál es el costo total anual para distintos tamaños de pedido. En particular resulta de interés evaluar el valor que alcanza la función de costos totales para tamaños de pedido entre 1 y 36 relojes (la siguiente tabla muestra un extracto de dicho procedimiento).

La información completa se puede graficar lo que permite apreciar la convexidad de la función de costos totales. Se ha incluido una línea punteada de color rojo que intercepta el eje vertical (costo total anual) para un valor de 48.000€ el cual se alcanza para un tamaño de pedido de 6 relojes.

Características de un Sistema de Revisión Periódica de Inventarios o Modelo P

Un sistema de revisión periódica del inventario (conocido también como modelo P) es aquel en el cual el inventario de un ítem es revisado cada intervalos de tiempo fijos, y se realiza una orden por el monto apropiado, es decir, el tamaño de pedido varia con el comportamiento de la demanda. En relación a lo anterior la pregunta relevante es ¿cuánto ordenar?. Una de sus ventajas potenciales es que permite combinar ordenes a un mismo proveedor.

El siguiente diagrama permite esquematizar la sistematización de un modelo de gestión de inventarios de revisión periódica o modelo P. En el sistema de periodo fijo, se toma la decisión de hacer un pedido sólo en algunos momentos, como cada semana o cada mes.

Generalmente un sistema de revisión periódica exige un nivel más alto de inventario de seguridad en comparación a un sistema de revisión continua (como por ejemplo en el caso del modelo EOQ). En este contexto y para tener una mejor idea de la evolución de los niveles de inventario en el tiempo para el modelo P se presenta el siguiente gráfico:

Por ejemplo, consideremos que el vendedor que abastece de los productos de inventarios a un minorista toma las órdenes de compra de éste todos los días Lunes a las 10:00 de la mañana. Asumamos adicionalmente que el Tiempo de Reposición o Lead Time (L) es fijo y corresponde a 3 días, es decir, todos los pedidos que se realizan el día Lunes son recibidos exactamente 72 horas después (día Jueves). El gráfico anterior muestra que los pedidos son realizados cada intervalos de tiempo fijos (T) y la reposición tarda exactamente L unidades de tiempo en ser recepcionadas. Notar también que el tamaño de los pedidos es variable y esta influenciado por el volumen de productos que se dispone en inventarios al momento de emitir el pedido. Luego bajo este esquema no siempre se podrá abastecer la totalidad de la demanda durante el período de reposición (por cierto tampoco se puede en un sistema de revisión continua por lo cual lo mejor que se puede hacer es establecer niveles de servicio instock como meta para el cálculo en este caso del Punto de Reposición o ROP).

Ejemplo Modelo P (Revisión Periódica) con Inventarios de Seguridad: La demanda diaria de un producto es de 10 unidades y la desviación estándar es de 3 unidades. El nivel de servicio instock que se desea satisfacer con el inventario es de un 98%. El inventario inicial es de 150 unidades. ¿Cuántas unidades se deben pedir?.

Consideremos la siguiente fórmula que describe el cálculo de la cantidad de pedido q para el modelo P:

En primer lugar calculamos el inventario de seguridad $z\sigma _{T+L}$ . La desviación estándar durante el período $T+L$ es la raíz cuadrada de la suma de las varianzas para cada día. Luego, $\sigma _{T+L}=\sqrt{(T+L)\sigma _{d}^{2}}$ o:

$\sigma _{T+L}=\sqrt{(T+L)\sigma _{d}^{2}}=\sqrt{(30+14)3^{2}}=19,90$

Finalmente el tamaño de pedido es de 331 unidades en este período de revisión.

$q=\bar{d}(T+L)+\sigma _{T+L}-I=10(30+14)+2,05(19,90)-150=331[unidades]$