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Cómo hacer un Histograma con Geogebra

En un artículo anterior nos referimos a Cómo hacer un Histograma con Excel y EasyFit y a continuación mostraremos cómo poder desarrollar el mismo procedimiento utilizando el software de distribución gratuita Geogebra el cuál ya hemos utilizado previamente para la Resolución Gráfica de un modelo de Programación Lineal y como resulta evidente su aplicación no se ve limitada a lo anterior.

Los pasos a seguir son muy sencillos y los detallamos a continuación:

Paso 1: Abrir el programa Geogebra y en el Menú «Vista» seleccionar «Hoja de Cálculo».

Paso 2: Copiar y Pegar los datos a granel en la planilla (Columna A) que desplegara el programa en la esquina superior derecha. En el ejemplo utilizaremos los mismos datos (40) del artículo anterior.

Paso 3: En el Menú seleccionar el icono con barras azules (con forma de histograma) y en las opciones que se desplegaran seleccionar «Análisis Una Variable».

Paso 4: Se desplegara la ventana «Fuente de Datos» donde se podrán observar los valores ingresados en la Columna A. Luego seleccionar «Analiza». Importante: Si los datos de la Columna A no aparecen en la ventana de «Fuente de Datos» debes posicionarte sobre la letra A de la planilla de cálculo y repetir el Paso 2 y 3. La imagen a continuación muestra cómo se deberían visualizar los datos de la Columna A antes de proceder con el Paso 4.

Paso 5: Listo!. Ya hemos generado un histograma con Geogebra. Se puede observar que existe una barra que se puede desplazar para ajustar la cantidad de clases que tiene el histograma según lo que nos parezca razonable. En la imagen a continuación hemos seleccionado 6 clases para mostrar la consistencia de los resultados con lo obtenido previamente con Excel y Easyfit. Notar adicionalmente que en el eje vertical se considera por defecto la frecuencia absoluta («n»).

Finalmente se puede obtener de forma muy sencilla un resumen de las estadísticas de los datos proporcionados a granel seleccionando el icono «Muestra Estadísticas» (símbolo de sumatoria). Adicionalmente existen otras opciones interesantes que permiten generar un Diagrama de Caja o Diagrama de Tallo y Hojas. Te proponemos el desafío para que lo puedas revisar directamente!

Cómo hacer un Histograma con Excel y EasyFit

En el siguiente artículo mostraremos cómo hacer un histograma aplicado a una serie de datos a granel. Para ello utilizaremos 2 programas computacionales frecuentemente utilizados para estos propósitos: Excel y EasyFit.

Recordemos que un histograma consiste en una representación gráfica a través de un diagrama de barras, donde cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. El histograma como herramienta de análisis gráfica que resume información nos ayuda para tener una primera visión de si, por ejemplo, la distribución de los datos se asemeja al comportamiento de una función de probabilidad conocida.

Consideremos los siguientes 40 datos a granel que consideran la medición de un cierto fenómeno de interés:

A continuación generaremos una tabulación de la información utilizando algunos conceptos estadísticos básicos. Primero determinaremos la cantidad de clases «k» para lo cual se pueden utilizar múltiples criterios y donde se selecciona aquel que otorga una cantidad de clases «razonable». En nuestro ejemplo consideraremos k=6 clases.

Luego determinamos el Rango «R» que consiste en la diferencia entre la mayor y menor observación de los datos a granel. R=Máximo(Xi)-Mínimo(Xi)=2,8-0,5=2,3.

Ahora determinamos la amplitud de cada clase «a». Notar que el concepto de «Unidad» esta relacionado con los datos que se disponen que en nuestro ejemplo consideran un decimal, en consecuencia se define como unidad a 0,1.

Finalmente calculamos el Límite Inferior (LI) y Límite Superior (LS) utilizando las siguientes fórmulas:

Límite Inferior (LI) = Mínimo Dato (Xi) – 0,5 «Unidad»
Límite Superior (LS) = Limite Inferior de la clase + amplitud

De acuerdo a lo anterior estamos en condiciones de construir una tabla que resume la información de los datos proporcionados a granel:

Notar, por ejemplo, que para la primera clase el Límite Inferior (LI=0,45) se obtiene restando al Mínimo Dato (en el ejemplo el dato 9 con valor 0,5) menos 0,5*(0,1).

El Límite Superior de la primera clase (LS=0,85) se obtiene sumando al Límite Inferior (LI=0,45) la amplitud obtenida previamente (a=0,4).

Adicionalmente los valores en la columna etiquetada con «Mi» representa la marca de la clase (por ejemplo en M1 es igual a (0,45+0,85)/2=0,65).

En la columna n se contabilizan las observaciones que corresponden a la clase lo que se denomina como frecuencia absoluta (por ejemplo en la clase 1 se observan 3 datos que están en el intervalo entre 0,45 y 0,85).

En f se considera la frecuencia relativa, es decir, la proporción de datos sobre el total de la muestra que pertenecen a la clase (por ejemplo, para la clase 1 es f=3/40).

Finalmente en N y F se representa la frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa acumulada, respectivamente.

Si generamos un gráfico de columna en Excel con los valores de la frecuencia relativa de cada clase y como etiqueta de datos (línea horizontal) la marca de clase, se obtiene lo siguiente:

Cabe destacar que existe una serie de software estadístico que permite procesar este tipo de análisis de forma rápida e intuitiva. A continuación mostraremos cómo generar un histograma utilizando EasyFit el cual esta disponible en una versión de evaluación de 30 días y en una licencia académica de 69 Euros. Para ello copiamos y pegamos los 40 datos en una columna de la interfaz del programa y luego seleccionamos el icono con forma de rayo.

A continuación se desplegara el menú a continuación donde sólo será necesario seleccionar OK.

El programa ejecutará una rápida rutina donde ajustará un importante número de distintas funciones de probabilidad teóricas a los datos proporcionados. Por ejemplo, en el siguiente gráfico mostramos el histograma de los datos (que por cierto es consistente con lo que hemos obtenido previamente en Excel) y donde se ha ajustado una distribución normal a los datos (línea color rojo).

Claramente la función de densidad de probabilidad ajustada es una aproximación a la distribución de los datos y resulta de interés decidir si una distribución particular es representativa de la naturaleza de los datos. Para esto es necesario realizar un Test de Bondad de ajuste sobre lo cual nos referiremos en un próximo artículo.

Método de Descomposición aplicado para un Pronóstico de Demanda

El Método de Descomposición corresponde a una metodología para la Proyección de la Demanda que como el nombre lo sugiere «descompone» el comportamiento de una Serie de Tiempo en tendencia, estacionalidad y ciclo, relacionando dichos componentes a través de la siguiente fórmula (multiplicativa):

Donde:

S= Valor pronosticado
T= Factor de tendencia
C= Componente cíclico
Y= Componente estacional
μ= Variación no sistemática

A continuación aplicaremos el Método de Descomposición para el pronóstico de la demanda de un producto sobre el cual tenemos información histórica para un período de 4 años (48 meses).

Paso 1: Se debe calcular el factor de estacionalidad, realizando un cuociente entre el valor pronosticado según el Promedio o Media Móvil Simple con n=12 y el valor real de la demanda. En la imagen a continuación se observa que el promedio móvil para Enero de 2010 corresponde al promedio simple de la demanda real desde Enero de 2009 a Diciembre de 2009. (Los resultados han sido aproximados a un decimal)

Paso 2: Se calcula el factor de estacionalidad promedio para cada período. Este procedimiento se facilita al trabajar con Tablas Dinámicas (Selecciona las columnas de los datos de la planilla según muestra la imagen a continuación, luego en el Menú de Excel ir a «Insertar» y en la esquina superior izquierda seleccionar Tabla Dinámica).

Al desplegarse el menú «Lista de campos de tabla dinámica» arrastramos el campo de Mes a Etiquetas de columnas y el campo Año a Etiquetas de fila. Por último arrastrar el campo (a/b)*100 a Valores seleccionando en la configuración de dicho campo «Promedio«.

La Tabla Dinámica tiene la siguiente forma donde se obtiene el factor de estacionalidad promedio:

Paso 3: Se ajusta cada factor promedio, multiplicándolo por el factor de estacionalidad K, calculado de:

En el ejemplo: K=(12*100)/(1.235,8)=0,971 (aproximado). Notar que los valores de la fila Indice Estacionalidad corresponde a la ponderación del Factor de Estacionalidad Promedio por el parámetro K.

Paso 4: Calcular la tendencia de la serie de tiempo ajustando los datos a una regresión lineal, donde la variable dependiente corresponde a la demanda (Y) y la variable independiente a los períodos (X).

Para este propósito se puede aplicar el procedimiento de forma muy sencilla en Excel a través de las siguientes alternativas:

1. Hacer un Gráfico de Línea con los valores de la demanda real como se muestra en la imagen a continuación:

Luego sobre el gráfico de línea con el mouse o teclado seleccionar con el botón derecho la opción «Agregar línea de tendencia». Por defecto se ofrece la alternativa de tendencia lineal (no modificar) y debemos seleccionar las siguientes opciones:

Una vez realizado lo anterior obtendremos el gráfico que muestra el ajuste de la regresión y su ecuación. En nuestro ejemplo la regresión es: Y=98,038*X+15.157.

2. En la pestaña de «Datos» de Excel en la esquina superior derecha observaremos la opción «Análisis de datos» la cual debemos seleccionar, ingresando en el «Rango Y de entrada» los valores en la columna de la demanda real y en «Rango X de entrada» los valores de los períodos.

Luego presionar «Aceptar«, luego de lo cual se generará una nueva hoja en la planilla de cálculo con los resultados de la Regresión Lineal: (hemos marcado con color amarillo los resultados más relevantes en la aplicación del método de descomposición que son por supuesto coherentes con los que se obtienen al desarrollar el procedimiento del gráfico de línea).

Paso 5: Se calcula el factor cíclico de la serie histórica a partir de la siguiente expresión:

Por ejemplo para Enero de 2010 (dato 13) el Factor Cíclico es 0,973 (se obtiene dividiendo 15.994,4 en 98,038*13+15.157). En la imagen a continuación se muestra la fórmula en Excel que hemos utilizado considerando una aproximación de los resultados a 3 decimales.

Paso 6: Determinar el factor cíclico promedio para cada período. En este paso al igual que en el Paso 2 una Tabla Dinámica resulta de bastante ayuda:

Una vez completado el Paso 6 estamos en condiciones de realizar un pronóstico de demanda utilizando la fórmula presentada al inicio del artículo. Por ejemplo si queremos pronosticar la demanda de Enero de 2013 (período 49) el resultado sería el siguiente:

T(49) = 98,038*49+15157 = 19.960,862
C(Ene) = 0,966
Y(Ene) = 90,8/100
S(49) = 19.960,862 * (90,8/100) * 0,966 = 17.508,231

¿Te pareció interesante este artículo? ¿Desearías tener la planilla de cálculo Excel con los resultados y detalle de los procedimientos?

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Modelo de Transporte con Transbordo resuelto con Solver de Excel

Una de las aplicaciones clásicas de la Investigación de Operaciones y en particular de la Programación Lineal es proponer alternativas óptimas para el proceso logístico o transporte de insumos o productos desde un conjunto de oferentes hasta un conjunto de destinatarios o demandantes.

Cuando consideramos que en este proceso de transporte pueden participar intermediarios estamos frente a una extensión del modelo básico de transporte el cual es comúnmente conocido como Modelo de Transporte con Transbordo. A continuación presentaremos un caso aplicado de dicho modelo.

Ejemplo Problema de Transporte con Transbordo

Se deben transportar 20 millones de barriles de petróleo desde Dhahran en Arabia Saudita a las ciudades de Rotterdam, Marsella y Nápoles en Europa. Las demandas de estas tres ciudades son 4, 12 y 4 millones de barriles, respectivamente. A continuación se presenta un diagrama con las posibles rutas:

Observe que para cada ciudad existe la posibilidad directa de envío, es decir, que los barriles sean transportados directamente desde Dhahran. Sin embargo, la ruta que une Dhahran y Marsella no puede transportar más de 3 millones de barriles debido a ciertos acuerdos comerciales.

Por otro lado, existe la posibilidad que se realice una detención, ya sea en el puerto de Alejandría o Suez, donde la capacidad de almacenamiento es de 8 y 10 millones respectivamente.

Por último, observe que es posible enviar barriles de petróleo desde Marsella a Nápoles. Sin embargo, le está prohibido a Nápoles recibir más petróleo de Marsella que directamente de Dhahran. Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal que permita hallar la política óptima de transporte para cumplir con los requerimientos de demanda de los puertos.

Variables de Decisión:

X1: Barriles transportados desde Dhahran a Rotterdam
X2: Barriles transportados desde Dhahran a Marsella
X3: Barriles transportados desde Dhahran a Nápoles
X4: Barriles transportados desde Dhahran a Alejandría
X5: Barriles transportados desde Dhahran a Suez
X6: Barriles transportados desde Alejandría a Rotterdam
X7: Barriles transportados desde Alejandría a Marsella
X8: Barriles transportados desde Suez a Marsella
X9: Barriles transportados desde Suez a Nápoles
X10: Barriles transportados desde Marsella a Nápoles

Función Objetivo:

Minimizar los costos totales de transportes dados por la siguiente expresión: 7X1 + 8X2 + 15X3 + 6X4 + 5X5 + 8X6 + 7X7 + 2X8 + 6X9 + 1X10

Restricciones:

Satisfacer la Demanda en los Puertos:

X1 + X6 = 4.000.000 (Rotterdam)
X2 + X7 + X8 – X10 = 12.000.000 (Marsella)
X3 + X9 + X10 = 4.000.000 (Nápoles)

Notar que Marsella eventualmente podría recibir más de 12 millones de barriles de petróleo (su demanda) debido a que este Puerto tiene la posibilidad de abastecer a Nápoles.

Balance en el Transbordo:

X4 = X6 + X7 (Alejandría)
X5 = X8 + X9 (Suez)

La cantidad de barriles que recibe Alejandría y Suez debe ser igual a lo que cada uno de ellos despacha a los Puertos, es decir, los intermediarios no acumulan inventario al final del periodo de planificación. En este punto es importante destacar que si se considera un modelo extendido donde se busca satisfacer los requerimientos de demanda de varios periodos podría ser admisible almacenar inventario en Alejandría y Suez, cambiando en este caso la forma del modelo de optimización.

Capacidad de Procesamiento en el Transbordo:

X4 <= 8.000.000 (Alejandría)
X5 <= 10.000.000 (Suez)

Tanto Alejandría como Suez no pueden recibir una cantidad de barriles mayor a la que pueden procesar.

Capacidad Ruta entre Dhahran y Marsella:

X2 <= 3.000.000

La ruta que une Dhahran y Marsella no puede transportar más de 3 millones de barriles por acuerdos comerciales.

Cantidad Recibida por Nápoles:

X3 >= X10

Está prohibido a Nápoles recibir más petróleo de Marsella que directamente de Dhahran.

No Negatividad:

Xi >= 0 Para todo i

Al implementar el modelo anterior con Solver de Excel se obtienen los siguientes resultados:

Donde la solución alcanzada tiene la siguiente estructura (sobre los arcos se detalla el valor de la solución óptima):

Cómo lograr un buen desempeño en un curso de Investigación de Operaciones

¿Cómo lograr un buen desempeño en un curso de Investigación de Operaciones?. Esta es una pregunta que usualmente recibimos de nuestros usuarios y probablemente te represente. En el Equipo de Gestión de Operaciones estamos convencidos que esto depende de varios factores y en este artículo te compartiremos nuestra visión al respecto.

1. Participa activamente en la sala de clases: Te recomendamos ser un ente activo del proceso de enseñanza. Si tienes dudas de las materias que el docente este explicando no dejes de preguntar. De seguro tu profesor no tendrá problemas en explicar nuevamente algo que no haya quedado suficientemente claro.

2. Apoya tus estudios con un libro guía: Disponer de un texto guía es una gran ayuda cuando se requiere profundizar en un aspecto teórico de las materias y adicionalmente para revisar casos y ejercicios resueltos. Si cursas un curso introductorio de Investigación de Operaciones te recomendamos conseguir un libro que cubra las principales temáticas del área como la Programación Lineal, Programación Entera, Programación No Lineal y Cadenas de Markov. En nuestra experiencia docente te recomendamos los siguientes textos que los puedes adquirir a precios económicos: Investigacion de Operaciones – Hillier y Lieberman y Investigación de Operaciones, Taha 7° Edición.

3. Explota el potencial de Excel: El tamaño (cantidad de variables de decisión y restricciones) de los modelos de optimización que te sean asignados en clases son generalmente para un fin académico y por tanto no deberías tener inconvenientes en poder implementarlo en Solver o What’sBest!. En nuestro Blog podrás encontrar una serie de artículos que hemos dedicado a estas poderosas herramientas de resolución.

4. Descarga el Libro de Apuntes de Programación Lineal: Nuestro objetivo es ser un apoyo para tus estudios formales de Gestión e Investigación de Operaciones y en este contexto hemos desarrollado un libro de apuntes de programación lineal el cual podrás descargar de forma gratuita si nos recomiendas en las redes sociales.

5. Accede a Recursos Gratuitos para la Investigación de Operaciones: Te recomendamos leer nuestro artículo 7 Recursos Gratuitos para el estudiante de Investigación de Operaciones donde podrás encontrar datos útiles para tus estudios.

Esperamos que estos consejos te ayuden a lograr el objetivo de aprender y en consecuencia aprobar las materias de Investigación de Operaciones.