Los modelos de Programación Lineal han sido motivo de amplio estudio en nuestro Blog y en esta oportunidad queremos presentar a nuestros usuarios una herramienta computacional sencilla e intuitiva llamada IORTutorial (Interactive Operations Research Tutorial) la cual nos permite resolver gráficamente modelos de Programación Lineal con 2 variables de decisión, además de proporcionar informes de sensibilidad para complementar la interpretación de los resultados alcanzados.
Para ello consideremos el ejemplo descrito en el artículo Cálculo del Intervalo de Variación del Lado Derecho que conserva la Base Óptima que permitirá al lector contrastar los resultados alcanzados en dicho ejemplo con el procedimiento alternativo que presentamos a continuación a través del uso de IORTutorial. El ejemplo en cuestión que considera 2 variables de decisión y 5 restricciones (considerando las 2 de no negatividad) es el siguiente:
La implementación computacional se muestra en el siguiente tutorial disponible en nuestro canal de Youtubeque detalla Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial:
Cabe destacar que los resultados que se observan en el Informe de Sensibilidad (o Análisis de Sensibilidad) son equivalentes a los obtenidos en la resolución con Solver de Excel como se muestra en la imagen a continuación:
Los métodos de pronósticos de relaciones causales establecen que el comportamiento o variación de una variable de interés se puede explicar a través de una o más variables que se presume tienen un efecto significativo sobre ella. Tal sería el caso de si por ejemplo se intenta explicar las ventas de casas en un país a través de variables como la tasa de interés promedio para créditos hipotecarios, PIB per cápita, subsidios del estado para adquisición de nuevas viviendas, crecimiento demográfico, entre otras.
Ejemplo de una Regresión Lineal Múltiple
En el siguiente artículo desarrollaremos un pronóstico a través de una regresión lineal múltiple que en términos generales se puede representar por donde es la variable dependiente, las variables independientes y los coeficientes de la regresión. En particular consideraremos en el siguiente ejemplo una variable dependiente (Ganancias en Millones de $) y 2 variables explicativas o independientes (Número de Vendedores y Precio del Producto $), es decir, , donde es el N° de Vendedores y el Precio del Producto ($). La información se resume en la tabla a continuación:
En el artículo Cómo utilizar una Regresión Lineal para realizar un Pronóstico de Demanda se detalla el procedimiento para obtener una regresión lineal simple con una variable explicativa, lo cual se favorece con la utilización de las herramientas que provee Excel como se muestra en los siguientes gráficos:
¿Qué sucede si ahora buscamos explicar las Ganancias en Millones de $ a través del Número de Vendedores y Precio del Producto $? (ambas variables independientes o explicativas en forma simultanea). Existen varias alternativas para lograr lo anterior. Un procedimiento sencillo es utilizar la herramienta de Análisis de Datos de Excel cuya implementación se muestra a continuación:
Otra alternativa es hacer uso del software estadístico Minitab 17. El siguiente tutorial muestra la implementación computacional:
La diferencia en los coeficientes de la regresión de ambos procedimientos obedece sólo a aspectos de visualización de los resultados. Luego, la interpretación es la siguiente: las variables independientes Número de Vendedores y Precio del Producto $ explican el 97,23% de la variación de las Ganancias en Millones de $. Notar que al considerar 2 variables independientes el coeficiente de determinación r cuadrado aumenta en comparación a las alternativas que consideran sólo una variable independiente o explicativa.
¿Quieres tener el archivo Excel con la Regresión Lineal Múltiple desarrollada en este ejemplo?
En el siguiente tutorial mostraremos cómo hacer un gráfico de promedios y un gráfico de rangos en el contexto del Control Estadístico de Procesos (CEP) utilizando el software estadístico Minitab 17. Para tal propósito utilizaremos los mismos datos del Ejemplo de Gráfica de Promedios y Gráfica de Rangos en el Control Estadístico de Procesos que desarrollamos en un artículo previo. Cabe destacar que cualquier diferencia entre el artículo de referencia y los resultados que se observan en el vídeo a continuación obedecen sólo a criterios de aproximación de decimales.
Minitab 17 genera las gráficas de control de forma automática, las cuales podemos comparar con las que se pueden obtener haciendo uso de Excel.
El proceso del ejemplo se encuentra bajo control estadístico. Notar que los resultados de cada muestra tanto del gráfico de promedio como rangos se encuentran dentro de los límites de control. No obstante llama la atención el aumento de la variabilidad (rangos) de las últimas muestras lo que sugiere mantener un estrecho control sobre el proceso productivo para evitar que éste salga de los límites.
Es frecuente reconocer en los problemas de optimización que representan una estructura productiva, un componente de costo fijo asociado a la utilización de un recurso (dentro de un intervalo de producción relevante) y un costo variable que que asume proporcional al nivel de actividad que represente la unidad productiva (por ejemplo, lo que se refiere a costos de producción, costos de transporte en una red logística, entre otros). Por ejemplo, el Problema de Inclusión de Costos Fijos en Programación Entera representa una situación muy sencilla de lo anteriormente descrito.
En este contexto a continuación se presenta un problema de operación de minas de carbón que su simple utilización tiene asociado un costo fijo, además de incurrir en costos variables por concepto de producción y transporte a distintos puertos demandantes, que adicionalmente tienen requerimientos particulares sobre la calidad del producto recepcionado.
Problema de Explotación de Minas y Transporte
La compañía ABC puede explotar hasta tres minas de carbón y debe realizar envíos a tres puertos. El costo por tonelada de producción (en dólares), el costo fijo de operación en dólares (en caso de ser utilizada), los contenidos de una cierta clase de ceniza y de sulfuro por tonelada y las capacidades de producción (en toneladas de carbón) se resumen en la siguiente tabla:
Por su parte, las toneladas demandadas que deben ser enviadas a cada puerto, conjuntamente con los costos de transporte (en dólares por tonelada) se dan en la siguiente tabla:
Formule y resuelva un modelo de optimización que permita determinar la eventual operación de cada mina y sus niveles de producción, de modo de satisfacer los requerimientos de demanda y que las cantidades enviadas a cada puerto contenga a los más un 4,5% de ceniza y a lo más un 3% de sulfuro.
Variables de Decisión:
Parámetros:
Función Objetivo: Se desea minimizar los costos asociados a la explotación de las minas, el costo de producción del carbón y los costos de transporte del carbón enviado desde las minas a los puertos.
Restricciones:
Capacidad de Producción de las Minas: cada mina puede operar a su capacidad máxima de producción para abastecer los requerimientos de los distintos puertos en caso en que se decida realizar funciones de explotación en la misma.
Demanda de Carbón los Puertos: cada puerto debe recibir la cantidad de toneladas de carbón que demanda.
Máximo Porcentaje de Ceniza admitido por cada Puerto: cada puerto esta dispuesto a recibir como máximo un 4,5% de ceniza en los envíos de carbón que recibe desde las minas. En este caso se expresa dicha condición de forma general a través de parámetros.
Máximo Porcentaje de Sulfuro admitido por cada Puerto: similar al caso anterior pero estableciendo un límite máximo al porcentaje de sulfuro que admite cada puerto (en el ejemplo un 3%).
No Negatividad: las toneladas producidas en las minas y transportadas a los puertos naturalmente deben satisfacer las condiciones de no negatividad.
A continuación de presenta un extracto de la implementación computacional del modelo anterior haciendo uso de Solver de Excel junto a un tutorial de nuestro canal de Youtube con los detalles de la resolución:
Se puede observar que sólo se utilizan las minas 1 y 3. La mina 1 envía 35, 45 y 30 toneladas al Puerto 1, 2 y 3, respectivamente. En el caso de la mina 3, ésta envía 35, 35 y 30 toneladas a los Puertos 1, 2 y 3, respectivamente. La demanda en toneladas de carbón es satisfecha en los puertos y se respeta adicionalmente la capacidad máxima de producción de las minas. Adicionalmente se puede observar en color verde el porcentaje de ceniza o sulfuro (según sea el caso) que recibe cada puerto lo cual satisface las condiciones expuestas. Finalmente el valor óptimo, es decir, el costo mínimo asociado al plan de producción y transporte descrito es de 14.550 dólares.
¿Quieres tener el archivo Excel con la implementación computacional de este problema?
Elegir los invitados a una boda (matrimonio) no es asunto fácil. Se debe respetar un presupuesto, cumplir compromisos familiares, compatibilizar los invitados de las distintas familias, incluir amigos y compañeros de trabajo y evitar incompatibilidades entre los invitados. El siguiente problema corresponde a una aproximación simplificada a la situación anterior a través de un modelo de Programación Entera. Por cierto las condiciones a incorporar en un problema de esta naturaleza pueden considerar aspectos adicionales como los comentados anteriormente.
Asuma que usted trabaja en una consultora matrimonial y su tarea es seleccionar los invitados para una boda. Tanto la novia como el novio están muy complicados porque tienen amigos que no pueden estar juntos. Los novios han asignado a cada invitado un valor en unidades matrimoniales(u.m) según lo siguiente:
Existen ciertas incompatibilidades que se deben considerar en la planificación que usted como consultor propondrá:
Juan Pérez no asistirá al menos que Luis Toro asista.
Juan Pérez no asistirá si tanto Pedro Soto y María González asisten.
Pedro Soto no asistirá si Gloria Pérez asiste.
Pedro Soto sólo asistirá si María González y Luis Toro asisten.
Formule y resuelva un modelo de Programación Entera que permita determinar a qué personas invitar de modo de lograr la mayor puntuación en unidades matrimoniales.
Variables de Decisión:
Con i=1,2,3,4,5 que representan a Juan Pérez, Pedro Soto, María González, Luis Toro y Gloria Pérez, respectivamente.
Función Objetivo:
Se desea encontrar la selección de invitados a la boda que permita maximizar la puntuación en u.m.
Restricciones:
Juan Pérez no asistirá al menos que Luis Toro asista:
Juan Pérez no asistirá si tanto Pedro Soto y María González asisten:
Pedro Soto no asistirá si Gloria Pérez asiste:
Pedro Soto sólo asistirá si María González y Luis Toro asisten: y . En este conjunto de restricciones se entiende que si María González y Luis Toro asisten, Pedro Soto podría asistir. Si al menos uno de los 2 falta (María o Luis) entonces Pedro no asiste.
Al implementar el modelo anterior en Solver de Excel se alcanza un valor óptimo de 800 u.m el cual corresponde a invitar a Pedro Soto, María González y Luis Toro (solución óptima).
donde 
es la variable dependiente, 
las variables independientes y 
los coeficientes de la regresión. En particular consideraremos en el siguiente ejemplo una variable dependiente (Ganancias en Millones de $) y 2 variables explicativas o independientes (Número de Vendedores y Precio del Producto $), es decir, 
, donde 
es el N° de Vendedores y 
el Precio del Producto ($). La información se resume en la tabla a continuación:
y 
. En este conjunto de restricciones se entiende que si María González y Luis Toro asisten, Pedro Soto podría asistir. Si al menos uno de los 2 falta (María o Luis) entonces Pedro no asiste.