excel Archivos - Página 8 de 20 - Gestión de Operaciones

Informe de Confidencialidad de Celdas de Variables y Restricciones de Solver

El siguiente problema tiene por objetivo mostrar la interpretación del Informe de Confidencialidad (o Informe de Sensibilidad) de Solver de Excel en los distintos escenarios que de éste se pueden considerar. Una empresa fabrica 3 productos (A, B y C) y desea planificar la producción semanal de cada uno de estos productos. Para ello dispone de 200 horas semanales en el departamento de corte, 350 horas semanales en el departamento de ensamblaje y 250 horas semanales en el departamento de terminado. Cada producto utiliza una determinada cantidad de horas en estos departamentos según lo muestran los parámetros en el lado izquierdo de las respectivas restricciones. Adicionalmente la empresa ha adquirido contratos con clientes que compran el producto B y C para producir al menos 50 y 30 unidades semanales, respectivamente. Finalmente según el departamento de ventas se ha estimado que la demanda máxima semanal para los productos A, B y C son 60, 120 y 80 unidades respectivamente.

Un modelo de Programación Lineal para la situación anterior es:

Luego de implementar en Solver de Excel el modelo anterior se obtiene el siguiente Informe de Confidencialidad (Informe de Sensibilidad):

1. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar para cancelar el contrato que obliga a producir al menos 30 unidades de C?

El Precio Sombra de la restricción de contrato del producto C es de -2 y su disminución permisible es de 30 unidades. Por tanto podemos utilizar el precio sombra para predecir el cambio en el valor óptimo ante la eliminación de este contrato (que sería equivalente a reemplazar $C\geq 30$ por $C\geq 0$ ). El valor óptimo en consecuencia aumentaría en -2*(0-30)=$60 que determina la máxima disposición a pagar para eliminar este contrato.

2. Suponga que se elimina el contrato que obliga producir al menos 50 unidades de B. ¿Cuál es el impacto en el impacto en el valor óptimo?

El Precio Sombra de la restricción de contrato del producto B es de -19 y su disminución permisible es de 10 unidades. Esto determina que reemplazar $B\geq 50$ por $B\geq 0$ no llevaría la producción de B a cero sino que sólo disminuiría a 40 unidades. Por tanto al eliminar este contrato el valor óptimo aumentaría en -19*(40-50)=$190 que determina la máxima disposición a pagar para eliminar este contrato.

3. Suponga que la empresa tiene $100 para invertir en capacidad. El costo de una hora extra de capacidad en los departamentos de Corte, Ensamblaje y Terminación es de $7, $5, y $6 respectivamente. ¿Cómo invertiría los fondos?. Asuma que sólo puede invertir en una de las 3 alternativas.

No tiene sentido destinar fondos adicionales para contratar horas extraordinarias en los departamentos de ensamblaje y terminado dado que en la actual solución óptima éstas restricciones no se encuentran activas y por tanto existen horas ociosas en dichos departamentos (70 y 80 horas semanales, respectivamente).

Por el contrario el departamento de corte se encuentra operando a máxima capacidad y dispone de un precio sombra de $9 que es mayor al costo de la hora extra de $7, por lo tanto conviene comprar capacidad adicional.

Con un presupuesto de $100 se pueden adquirir 14,2857 horas adicionales en el departamento de corte ($100/7) lo cual está dentro del aumento permisible para el precio sombra (23,3 horas) por tanto se destina la totalidad del presupuesto para dicho propósito.

4. ¿Cuál es el rango de variación para el coeficiente asociado a la variable B en la función objetivo que conserva la actual solución óptima?

Notar que la solución óptima actual es A=20, B=50, C=30. Adicionalmente el valor actual del parámetro en la función objetivo que pondera la variable B es 8, con un aumento permisible de 19 y una reducción permisible de 1E+30 (infinito). Es decir, el intervalo de variación para el parámetro que conserva la solución óptima es ]-1E+30,27]. La cota inferior del intervalo anterior cobra sentido al considerar la restricción de Contrato de B, que, independiente del beneficio (o pérdida) que reporte dicho producto al plan de producción, se debe fabricar de todos modos.

Método del Costo Mínimo (Algoritmo de Transporte en Programación Lineal)

El Método del Costo Mínimo determina una mejor solución básica factible inicial que el Método de la Esquina Noroeste debido a que se concentra en las rutas menos costosas.

De esta forma el Método del Costo Mínimo se inicia asignando lo máximo posible a la celda que tenga el mínimo costo unitario (en caso de empates, éstos se rompen de forma arbitraria). A continuación, la fila o columna ya satisfechos de tacha, y las cantidades de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen de forma simultanea una fila y una columna, sólo se tacha uno de los dos (de forma idéntica que el Método de la Esquina Noroeste). Luego se busca la celda no tachada con el costo unitario mínimo y se repite el proceso hasta que queda sin tachar exactamente una fila o una columna.

Consideremos nuevamente el Problema de Transporte donde se desea satisfacer la demanda de 4 molinos a través de los envíos de 3 silos, donde los valores en la esquina superior derecha de cada cuadro $c_{ij}$ representan los costos unitarios de transporte desde el silo i al molino j.

Fe de Erratas: En la imagen dice Molino 1, 2, 3 y 5 (columnas). Debería decir: Molino 1, 2, 3 y 4.

La aplicación del Método de Costo Mínimo al problema de transporte anterior da origen a la siguiente solución factible de inicio:

Los pasos aplicados para llegar a dichos resultados se resumen a continuación:

La celda $x_{12}$ tiene el menor costo unitario, por tanto se asigna lo máximo posible (15 unidades correspondiente a la oferta del silo 1). Con $x_{12}=15$ se satisface tanto la demanda del molino 2 como la oferta del silo 1. Se tacha de forma arbitraria la columna 2.
Ahora la celda $x_{31}$ tiene el mínimo costo unitario sin tachar. Se asigna $x_{31}=5$ y se tacha la columna 1 porque quedó satisfecha (lo cual deja una capacidad remanente del silo 3 de 5 unidades).
Al continuar de este modo, se asignan en forma sucesiva 15 unidades a la celda $x_{23}$ , 0 unidades a la celda $x_{14}$ (la capacidad del silo 1 ya fue asignada), 5 unidades a la celda $x_{34}$ y 10 unidades a la celda $x_{24}$ .

La solución básica factible de inicio resultante con 6 variables básicas es: $x_{12}=15, x_{14}=0, x_{23}=15, x_{24}=10, x_{31}=5, x_{34}=5$ la cual reporta un valor en la función objetivo (costo) de Z=15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)=$475 que efectivamente es una mejor solución inicial que la obtenida por el Método de la Esquina Noroeste (que provee un valor de $520 al ser evaluado en la función objetivo) pero por cierto no es la solución óptima según se aprecia en la siguiente imagen que resume la implementación computacional del problema en Solver.

Conformación de Equipos de Trabajo a través de la Programación Entera

La Programación Entera provee una alternativa metodológica para enfrentar los Problemas de Asignación en donde una serie de recursos (mano de obra, horas máquinas, materia prima, etc) se deben asignar a uno o más fines (conformar equipos de trabajo, producción, etc). El siguiente artículo aborda el problema que enfrenta una consultora que debe formar 2 equipos de expertos del área de operaciones en base a 8 ingenieros industriales. Estos 2 equipos los puede escoger de entre 5 equipos de profesionales que trabajan en la consultora. Los datos del problema se muestran en la siguiente tabla:

Cada equipo tiene que estar compuesto por al menos 3 y a lo más 5 expertos. Si el profesional j es asignado al equipo i, la compañía le debe pagar una remuneración rij. Si en la tabla aparece un guion (—), significa que el experto no puede ser asignado a ese equipo: por ejemplo, el profesional 3 no puede pertenecer al equipo 2 ni al 4. Se espera que el equipo i genere un ingreso di.

Se requiere formular y resolver computacionalmente un modelo de optimización que permita determinar la conformación de los equipos, alcanzando la utilidad máxima y cumpliendo las condiciones anteriormente expuestas. Definir claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones.

Variables de Decisión:

Función Objetivo:

Restricciones:

Sólo 2 equipos se seleccionan:

Cada equipo está formado solamente por entre 3 y 5 expertos:

A continuación se presenta un extracto de la implementación computacional del problema de conformación de equipos de trabajo con Solver. Notar que aquellas combinaciones infactibles en términos de asignación de ingenieros a equipos ha sido marcado con color rojo y en particular se le ha asignado un costo significativamente mayor en comparación a aquellas asignaciones factibles. De esta forma se espera que estos casos no sean seleccionados (por cierto también se puede seleccionar paso a paso sólo las celdas factibles al momento de definir las variables de decisión en Solver, omitiendo las situaciones infactibles).

La solución óptima consiste en seleccionar el equipo 1 y 5. En la tercera tabla (filas 16 a 21) se muestra la asignación de ingenieros a dichos equipos (por supuesto aquellos equipos que no se conforman, es decir, equipos 2, 3 y 4 no tienen ingenieros asignados). El equipo 1 se compone de los ingenieros 1, 3 y 4; por otra parte el equipo 5 se compone de los ingenieros 1, 3 y 10. Notar que no existe incentivo económico a conformar equipos con un mayor número de integrantes. Finalmente el valor óptimo (utilidad máxima) es de $16.550.

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Método de la Esquina Noroeste (Algoritmo de Transporte en Programación Lineal)

El Método de la Esquina Noroeste (o esquina superior izquierda) es una heurística que se aplica a una estructura especial de problemas de Programación Lineal llamada Modelo de Transporte, la cual permite asegurar que exista una solución básica factible inicial (no artificial). Otros métodos para la obtención de una solución básica de inicio son el Método de Costo Mínimo y Método de Aproximación de Vogel. En general, el Método de Vogel produce la mejor solución básica de inicio y el de la Esquina Noroeste la peor, sin embargo, el Método de la Esquina Noroeste implica el mínimo de cálculos.

El Método de la Esquina Noroeste comienza en la celda (ruta) correspondiente a la esquina noroeste, o superior izquierda, de la tabla (variable $x_{11}$ ). A continuación una descripción de los pasos:

Paso 1: Asignar todo lo posible a la celda seleccionada y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda restando la cantidad asignada.

Paso 2: Salir de la fila o la columna cuando se alcance oferta o demanda cero, y tacharlo, para indicar que no se pueden hacer más asignaciones a esa fila o columna. Si una fila y una columna dan cero al mismo tiempo, tachar sólo uno (la fila o columna) y dejar una oferta (demanda) cero en la fila (columna) que no se tachó.

Paso 3: Si queda exactamente una fila o columna sin tachar, detenerse. En caso contrario, avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la de abajo si se tachó un reglón. Seguir con el Paso 1.

Método de la Esquina Noroeste

Para ilustrar la aplicación del Método de la Esquina Noroeste consideremos el siguiente problema balanceado de transporte que considera 3 silos productos (oferta) que satisfacen las necesidades de 4 molinos (demanda). El algoritmo de transporte se basa en la hipótesis que el modelo está balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total (si el modelo no está balanceado siempre se podrá aumentar con una fuente ficticia o un destino ficticio para restaurar el equilibrio o balance).

Los costos unitarios de transporte desde el silo i al molino j $c_{ij}$ se representan en la esquina superior derecha de cada cuadro. Por ejemplo el costo unitario de enviar una unidad de producto desde el silo 1 al molino 1 es de $10. Adicionalmente los silos 1, 2 y 3 tienen capacidad u oferta de 15, 25 y 10 unidades, respectivamente. Por otra parte los molinos 1, 2, 3 y 4 tienen requerimientos o demanda de 5, 15, 15 y 15 unidades, respectivamente. El modelo esta balanceado (suma oferta = suma demanda = 50 unidades).

Al aplicar el Método de la Esquina Noroeste al ejemplo anterior se obtienen los siguientes resultados. Las flechas indican el orden en el que se generan las cantidades asignadas:

La cantidad asignada a la celda $x_{11}$ son 5 unidades, dado que si bien el silo 1 tiene capacidad de 15 unidades, el molino 1 sólo necesita (demanda) 5 unidades (no se realizan más asignaciones a la columna 1 correspondiente al molino 1).
A continuación nos movemos a la derecha y asignamos lo máximo posible (10 unidades remanentes) a la celda $x_{12}$ (con lo cual se completa la capacidad del silo 1 y en consecuencia no es posible seguir realizando asignaciones en la fila 1).
Luego asignamos 5 unidades a la celda $x_{22}$ lo cual es por cierto menor que la capacidad del silo 2 pero lo suficiente para satisfacer los requerimientos del molino 2 (ahora no es posible generar asignaciones adicionales a la columna 2).
Nos movemos a la derecha y se asignan 15 unidades del silo 2 al molino 3 ( $x_{23}=15$ ) lo que cubre inmediatamente los requerimientos del molino 3 (no es necesario asignar más en la columna 3).
Nuevamente nos movemos a la derecha y asignamos lo máximo posible (5 unidades que es la capacidad remanente del silo 2, es decir, $x_{24}=5$ ) con lo cual el silo 2 opera a máxima capacidad (ahora ya no es posible nuevas asignaciones en la fila 2).
Finalmente se asignan 10 unidades del silo 3 al molino 4 ( $x_{34}=10$ ) cubriendo la demanda de dicho molino (y la capacidad del correspondiente silo).

En consecuencia la solución básica factible inicial es: $x_{11}=5, x_{12}=10, x_{22}=5, x_{23}=15, x_{24}=5, x_{34}=10$ que reporta un costo del programa (valor en la función objetivo) de: Z=5(10)+10(2)+5(7)+15*(9)+5(20)+10*(18)=$520. Notar que si se implementa computacionalmente el problema anterior haciendo uso de Solver de Excel y utilizando como motor de resolución Simplex_LP se alcanza la siguiente solución óptima (celdas amarillas) con costo mínimo (valor óptimo) de $435.

Efecto de cambios en el Número de Aceptación en la Curva Característica de Operación

En la construcción de una Curva Característica de Operación asociada a un plan de muestreo, resulta de interés sensibilizar los resultados frente a variaciones de los parámetros que determinan la probabilidad de aceptación del lote para distintos valores de calidad a la entrada. En este artículo abordaremos el caso donde se modifica el número de aceptación c el cual establece el límite máximo de unidades defectuosas que se esta dispuesto a aceptar en la inspección de un lote productivo.

Consideremos el ejemplo que representa un plan de muestreo simple que se aplica a un lote de N=1.200 unidades, sobre las cuales se toma una muestra aleatoria de n=100 unidades. Nos interesa evaluar el impacto en la probabilidad de aceptación del lote para distintos niveles de porcentajes de defectuosos a la entrada, asumiendo tres escenarios para los números de aceptación c: 4 (curva roja), 6 (curva azul) y 8 (curva verde) unidades.

Se observa que en la medida que aumenta el valor de c (número de aceptación) manteniendo el resto de los parámetros constantes, aumenta también la probabilidad de aceptación del lote. Esto se refleja en las Curvas Características Operativas en un desplazamiento hacia la derecha en relación a planes de muestreos con valores de c más pequeños (restrictivos). Dicho resultado queda de manifiesto en las siguientes tablas resumen generadas en Excel.

Por ejemplo si consideramos en cada uno de los 3 escenarios una porcentaje de unidades defectuosas a la entrada de un 2% entonces la probabilidad de aceptación del lote para valores de c igual a 4, 6 y 8 unidades será un 94,73%, 99,55% y 99,98%, respectivamente.