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Programación Lineal (Método Gráfico)

El Método Gráfico (resolución gráfica) constituye una excelente alternativa de representación y resolución de modelos de Programación Lineal que tienen 2 variables de decisión. Para estos efectos existen herramientas computacionales que facilitan la aplicación del método gráfico como los softwares TORA, IORTutorial y Geogebra, los cuales se pueden consultar en detalle en Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con TORA, Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial y Cómo Resolver Gráficamente un modelo de Programación Lineal con Geogebra, respectivamente. En este contexto a continuación presentamos un compendio de ejercicios de Programación Lineal resueltos a través del método gráfico.

Ejercicios Resueltos del Método Gráfico en Programación Lineal

Ejercicio N°1: Una empresa vitivinícola ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas. Debido a la calidad del sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blanc y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios netos y requerimientos de mano de obra según los datos que se muestran a continuación:

variedad-vinos-programacion

Suponga que se posee un presupuesto de US$10.000 y una disponibilidad de 1.200 días hombre durante el horizonte de planificación. Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal para este problema. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo.

Variables de Decisión:

  • X_{1} : Hectáreas destinadas al cultivo de de Sauvignon Blanc
  • X_{2} : Hectáreas destinadas al cultivo de Chardonay

Función Objetivo:

Maximizar 50X_{1}+120X_{2}

Restricciones:

  • X_{1}+X_{2}\leq 110
  • 100X_{1}+200X_{2}\leq 10.000
  • 10X_{1}+30X_{2}\leq 1.200
  • X_{1},X_{2}\geq 0

Donde las restricciones están asociadas a la disponibilidad máxima de hectáreas para la plantación, presupuesto disponible, horas hombre en el período de planificación y no negatividad, respectivamente.

El siguiente gráfico muestra la representación del problema de la empresa vitivinícola. El área achurada corresponde al dominio de soluciones factibles, donde la solución básica factible óptima se alcanza en el vértice C, donde se encuentran activas las restricciones de presupuestos y días hombre. De esta forma resolviendo dicho sistema de ecuaciones se encuentra la coordenada de la solución óptima donde X_{1}=60 y X_{2}=20 (hectáreas). El valor óptimo es V(P)=50(60)+120(20)=5.400 (dólares).

metodo-grafico-vitivinicola

Ejercicio N°2: Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La siguiente tabla muestra:

  • Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
  • Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
  • La ganancia por unidad vendida de cada producto

tabla-maquinas-y-requerimie

Formule y resuelva a través del método gráfico un modelo de Programación Lineal para la situación anterior que permite obtener la máxima ganancia para el taller.

Variables de Decisión:

  • X_{1} : Unidades a producir del Producto 1 semanalmente
  • X_{2} : Unidades a producir del Producto 2 semanalmente

Función Objetivo:

Maximizar X_{1}+1,5X_{2}

Restricciones:

  • 2X_{1}+2X_{2}\leq 16
  • X_{1}+2X_{2}\leq 12
  • 4X_{1}+2X_{2}\leq 28
  • X_{1},X_{2}\geq 0

Las restricciones representan la disponibilidad de horas semanales para las máquinas A, B y C, respectivamente, además de incorporar las condiciones de no negatividad.

Para la resolución gráfica de este modelo utilizaremos el software GLP cual abordamos en el artículo Problema de Planificación Forestal resuelto con Graphic Linear Optimizer (GLP). El área de color verde corresponde al conjunto de soluciones factibles y la curva de nivel de la función objetivo que pasa por el vértice óptimo se muestra con una línea punteada de color rojo.

glp-metodo-grafico

La solución óptima es X_{1}=4 y X_{2}=4 con valor óptimo V(P)=1(4)+1,5(4)=10 que representa la ganancia para el taller.

Ejercicio N°3: Una compañía elabora dos productos diferentes. Uno de ellos requiere por unidad 1/4 de hora en labores de armado, 1/8 de hora en labores de control de calidad y US$1,2 en materias primas. El otro producto requiere por unidad 1/3 de hora en labores de armado, 1/3 de hora en labores de control de calidad y US$0,9 en materias primas. Dada las actuales disponibilidades de personal en la compañía, existe a lo más un total de 90 horas para armado y 80 horas para control de calidad, cada día. El primer producto descrito tiene un valor de mercado (precio de venta) de US$9,0 por unidad y para el segundo este valor corresponde a US$8,0 por unidad. Adicionalmente se ha estimado que el límite máximo de ventas diarias para el primer producto descrito es de 200 unidades, no existiendo un límite máximo de ventas diarias para el segundo producto.

Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita maximizar las utilidades de la compañía.

Variables de Decisión:

  • X_{1} : Unidades a producir diariamente del Producto 1
  • X_{2} : Unidades a producir diariamente del Producto 2

Función Objetivo:

Maximizar (9-1,2)X_{1}+(8-0,9)X_{2}=7,8X_{1}+7,1X_{2}

Restricciones:

  • \frac{X_{1}}{4}+\frac{X_{2}}{3}\leq 90
  • \frac{X_{1}}{8}+\frac{X_{2}}{3}\leq 80
  • X_{1}\leq 200
  • X_{1},X_{2}\geq 0

La primera restricción representa las limitantes de horas de armado diariamente. La segunda restricción la disponibilidad de horas para labores de control de calidad (también diariamente). La tercera restricción establece una cota superior para la producción y ventas diarias del Producto 1. Adicionalmente se incluyen las condiciones de no negatividad para las variables de decisión.

El dominio de soluciones factibles tiene 5 vértices que corresponden a los candidatos a óptimos del problema. En particular el vértice óptimo es D de modo que la solución óptima es X_{1}=200 y X_{2}=120 con valor óptimo V(P)=7,8(200)+7,1(120)=2.412 que corresponde a la utilidad máxima para la empresa.

metodo-grafico-produccion

Importante: A la fecha de esta publicación disponemos de más de 70 artículos relativos a la Programación Lineal los cuales recomendamos revisar, donde se aborda la resolución gráfica de este tipo de modelos como también la resolución a través de algoritmos como el Método Simplex y la implementación computacional con herramientas como Solver, What’sBest! y OpenSolver, entre otras.

En el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube se explica un ejemplo adicional con todos los elementos del método gráfico en Programación Lineal:

Problema de Planificación Forestal resuelto con Graphic Linear Optimizer (GLP)

El software Graphic Linear Optimizer (GLP) es una excelente herramienta que permite resolver gráficamente modelos de Programación Lineal. GLP fue desarrollado bajo la supervisión del profesor Jeffrey Moore (Ph. D) perteneciente a la Universidad de Stanford en Estados Unidos. En el siguiente artículo se muestra la utilización de Graphic LP Optimizer o GLP versión 2.6 en la resolución de un modelo de Programación Lineal en 2 variables que aborda una problemática de planificación forestal.

Una compañía forestal tiene un predio de 100 hectáreas de bosques para explotar. Talar y dejar el suelo para uso agrícola tiene un costo inmediato de M$10 por hectárea y un retorno posterior de M$50 por hectárea. Una alternativa es talar y plantar pino que tiene un costo inmediato de M$50 por hectárea y un retorno posterior de M$120 por hectárea. De aquí que los beneficios netos de ambos planes sean de M$40 y M$70 por hectárea, respectivamente. Desafortunadamente, el segundo plan no puede ser aplicado a todo el terreno ya que sólo se dispone de recursos inmediatos por M$4000. Formule y resuelva gráficamente utilizando el software Graphic Linear Optimizer (GLP) un modelo de Programación Lineal que provea el plan más eficiente de explotación, indicando claramente la solución óptima y valor óptimo.

El modelo de Programación Lineal para la situación anterior es:

modelo-planificacion-forest

Donde x_{1} representa las hectáreas para talar y dejar para uso agrícola y x_{2} las hectáreas para talar y plantar pino. En la siguiente imagen se muestra un extracto de la interfaz del programa GLP donde al pie de la misma se observa la solución óptima del problema con x_{1}=25 y x_{2}=75. El valor óptimo es 6.250 el cual se encuentra en la fila con la etiqueta PAYOFF.

GLP

El software GLP permite ajustar tanto la escala del gráfico como un zoom personalizado en cualquiera de los ejes de coordenadas. No obstante recomendamos hacer uso de la funcionalidad Auto Zoom que ajusta automáticamente la representación gráfica a una escala adecuada en relación a la magnitud de los datos de origen.

autozoom-glp

A continuación dejamos a nuestros usuarios un enlace de descarga del software Graphic Linear Optimizer o GLP para que puedan probar sus distintas funcionalidades.

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