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Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ)

En el modelo de Tamaño Económico de Pedido o EOQ (de sus denominación del inglés Economic Order Quantity) y considerando sus supuestos simplificadores (entre otros demanda constante y conocida y tiempo de reposición o Lead Time constante y conocido) los costos significativos son los costos de mantener el inventario y los costos de hacer el pedido.

Sea D la demanda anual (o la demanda durante el horizonte de evaluación que corresponda), S el costo de emisión de pedidos que se asume que es fijo independiente del tamaño del pedido y H el costo unitario de almacenamiento (anual o según corresponda), la función de costos totales se expresa de la siguiente forma:

Se puede observar que desde el punto de vista de los costos de almacenamiento existe un incentivo a pedidos de menor tamaño para satisfacer la demanda. No obstante los costos de emisión de pedidos son crecientes cuando los pedidos son de menor tamaño dado que se requerirá de un mayor número de pedidos para satisfacer la demanda. Este efecto contrapuesto de los costos de almacenamiento y emisión de pedidos para distintos tamaños de pedido se observa en la siguiente gráfica:

En relación a lo anterior la solución del modelo EOQ busca encontrar el tamaño óptimo de pedido que permite minimizar la función de costos totales (que es la suma de los costos de almacenamiento y costos de emisión). Para encontrar dicho Q óptimo derivamos la función de costos totales en términos del tamaño de pedido e igualamos a cero, para luego encontrar la solución EOQ. A continuación la deducción de la fórmula del modelo EOQ:

Notar que el término C*D marcado con color rojo en la fórmula anterior representa el costo asociado a la compra de las unidades que permite satisfacer la demanda D. Si se asume que no hay descuentos por cantidad dicho costo de compra no discrimina entre distintas alternativas de tamaño de pedido. Por el contrario bajo el escenario de que existe descuentos por cantidad entonces el costo total de compra se verá afectado para distintos tramos de pedido que generan cambios en los precios unitarios. Recomendamos al lector revisar en este caso el modelo EOQ con Descuentos por Cantidad.

Ejemplo: LubeCar se especializa en cambios rápidos de aceite para motor de automóvil. La empresa compra aceite para motor a granel a un distribuidor a $2,5 por galón. En el servicio se atienden unos 150 autos diarios y cada cambio de aceite requiere de 1,25 galones. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0,02 por galón y por día. También, el costo de emitir un pedido de aceite a granel es de $20. Considere que el tiempo de entrega del distribuidor (tiempo de espera) es de 2 días. Asuma que un año típico tiene 250 días.

Determine la cantidad óptima de pedido utilizando EOQ:

D=1,25[galones/auto]*150[autos/día]*250[días/año]=46.875[galones/año]. Por tanto la cantidad óptima a pedir es:

Determine el costo total anual para LubeCar:

El lector podrá observar que el tamaño óptimo de pedido de $Q^{*}=612[galones/pedido]$ es el que minimiza el valor de la función de costos totales (se incluye el costo de la compra). Para corroborar el resultado anterior y con la ayuda de Excel se evalúan otras alternativas de pedido que otorgan costos anuales mayores que la cantidad económica de pedido.

Efecto de un Dato Atípico u Outlier en un Pronóstico de Demanda

Un dato atípico conocido comúnmente también como outlier es aquel cuyo valor es numéricamente distante del resto de los datos. Esta situación en particular se puede ver reflejada en una serie de tiempo cuando la variable en cuestión por alguna causa extraordinaria tiene un comportamiento que escapa a los parámetros de comportamiento usuales. Por ejemplo, tal podría ser el caso del shock de demanda por mascarillas luego de un brote de influenza, la demanda de agua en bidones luego de una emergencia provocada por causas naturales (terremoto, aluvión, etc), la demanda de pilas (baterías) y linternas luego de un terremoto, etc.

En el siguiente artículo presentamos una serie de tiempo que corresponde a la demanda de un producto determinado donde en el mes de Julio se observa una demanda que numéricamente escapa de forma significativa respecto al resto de los datos. Para dicha demanda real se ha aplicado el método de Suavizamiento Exponencial para distintos valores de alfa (0,1; 0,5 y 0,9) como también el método de Medias Móviles para 3 y 5 períodos (n=3 y n=5) obtenidos con la ayuda de Excel.

Para favorecer la interpretación de los resultados y por separado se muestra el ajuste de los métodos de pronóstico de demanda anteriormente identificados en las siguientes gráficas:

En el caso del método de Suavizamiento Exponencial se puede observar que mientras mayor sea el valor de alfa el pronóstico reacciona con mayor fuerza a la presencia del dato atípico u outlier. Adicionalmente y luego del efecto del outlier el pronóstico se ajusta nuevamente a valores cercanos a los que se observan en la serie de tiempo. Notar adicionalmente que en los casos de α=0,1 y α=0,5 los pronósticos superan la demanda real en el resto de los períodos, es decir, de Agosto a Diciembre.

Por otra parte y luego de pronosticar la demanda utilizando el método de Media Móvil Simple, se observa que a medida que mayor sea el valor de n los efectos del outlier tienden a perpetuarse en el tiempo. En contraste a lo anterior, al seleccionar n=3 el efecto del outlier se ve reflejado hasta la última oportunidad en que dicho dato real es considerado para efectos de pronósticos, es decir, en la proyección del mes de Octubre (que corresponde al promedio simple de la demanda real de Julio, Agosto y Septiembre).

¿Qué hacer con el outlier?. No es una pregunta con una respuesta sencilla. Una primera recomendación es buscar información complementaria que ayude a explicar las razones de este comportamiento de la demanda que escapa a lo usual. Efectivamente y según los ejemplos presentados anteriormente es difícil extrapolar a futuro un comportamiento que obedece sólo a una causa excepcional. Ahora bien, un dato atípico en casos puntuales puede suponer un cambio sustantivos en las preferencias de los clientes que eventualmente se podría sostener en el tiempo. En dicho caso omitir el dato atípico para efectos de proyección no sería recomendable.

Interpretación de la Señal de Rastreo de un Pronóstico de Demanda

La Señal de Rastreo (conocida también como Tracking Signal o TS) es una medida de desempeño que permite medir la desviación del pronóstico respecto a variaciones en la demanda. Análogamente se puede interpretar como el número de MAD (Desviación Media Absoluta o Mean Absolute Deviation) que el pronóstico está sobre o bajo la demanda real. La fórmula para calcular la Señal de Rastreo o Señal de Seguimiento corresponde a:

Los límites aceptables para la Señal de Rastreo dependen del tamaño de la demanda pronosticada (los artículos de volumen alto o ingreso alto se deben vigilar con frecuencia) y la cantidad de tiempo del personal disponible (los límites aceptables más estrechos hacen que mayor cantidad de pronósticos estén fuera de los límites y por lo tanto requieren de más tiempo para investigarlos). No obstante usualmente se considera como límites aceptables una Señal de Rastreo que varía en el rango de [-4,4] MAD.

La siguiente tabla mide el porcentaje del área de una distribución normal de media cero cubierta en el rango +- # de MADs.

Para una correcta interpretación de la Señal de Rastreo consideremos el siguiente ejemplo: La empresa de softwares Megasoft tiene disponibles los datos de demanda de notebooks de los últimos 2 años, divididos en 8 trimestres.

Utilizando una Regresión Lineal obtenga el pronóstico de demanda para los próximos 4 trimestres (en caso de obtener resultados fraccionarios redondee el pronóstico al entero más cercano).

Consideramos como variable dependiente la Demanda y como variable independiente el Trimestre. Adicionalmente sabemos que:

Luego estimamos el coeficiente de pendiente β1 y el coeficiente de intercepto β0. Notar que la cantidad de cifras significativas utilizadas para estimar los parámetros de la regresión ha sido arbitrario:

Una vez calculados los parámetros β0 y β1 estamos en condiciones de realizar los pronósticos para los próximos 4 trimestres (períodos 9, 10, 11 y 12).

Notar que al obtener los pronósticos de demanda utilizando exclusivamente la tendencia se omite las características estacionales del comportamiento de la demanda. Por ejemplo, se espera sobrestimar la demanda del trimestre 9 y subestimar la demanda del trimestre 11.

¿Cómo se comparta el método de pronóstico si lo ajustamos a los datos históricos?. Para ello será necesario realizar las proyecciones con la regresión lineal desde el trimestre 1 al trimestre 8. Por ejemplo, el pronóstico del trimestre 1 es F(1)=361+70,667(1)=432 (aproximado al entero más cercano). Los resultados completos se resumen en la tabla a continuación donde los valores en la columna celeste corresponden al MAD y los valores en la columna amarilla son la Señal de Rastreo.

A continuación graficamos el comportamiento de la Señal de Rastreo (TS):

La Señal de Rastreo se encuentra en el rango comúnmente aceptado y no se evidencia una tendencia en su comportamiento. No obstante el patrón que sigue (periodos bajo y sobre cero alternados) sugiere que utilizar la tendencia como único dispositivo de pronóstico no rescata de forma adecuada la variabilidad de los datos y la estacionalidad de los mismos. Lo anterior queda de manifiesto al comparar los datos reales versus los pronosticados:

Cuando TS es positivo la demanda real excede el pronóstico, por el contrario cuando TS es negativo la demanda real es menor que el pronóstico.

Como conclusión se propone utilizar un método que considere explícitamente la estacionalidad para realizar proyecciones como el Método de Pronóstico de Demanda utilizando Variación Estacional o el Método de Descomposición. No obstante en general se busca que la Señal de Rastreo varíe en el rango comúnmente aceptado de [-4,4] MAD y que su comportamiento no sugiera la presencia de error sistemático.

Ejemplo Pronóstico de Demanda con Media Móvil Ponderada

En el contexto de los métodos de series de tiempo aplicados para los Pronósticos de Demanda, el método de Media Móvil Ponderada es una variantes de la técnica de Media Móvil Simple donde existe la posibilidad de modificar las ponderaciones que tiene cada uno de los datos en el cálculo del promedio. Este método resulta ser útil cuando es válida la premisa de que el pasado más reciente tiene un mayor poder predictivo respecto al futuro (por lo cual se suele asociar una mayor ponderación en el cálculo del promedio), sin embargo, en caso de existir estacionalidad en el patrón histórico de la demanda puede ser necesario ponderar con mayor fuerza un dato más antiguo de la serie de tiempo.

La fórmula de cálculo para una Media Móvil Ponderada se presenta a continuación:

En la nomenclatura anterior Ft representa el pronóstico para el período t, At es la demanda real (observada) para el período t y Wt representa las ponderaciones seleccionadas para el promedio ponderado. Por supuesto la sumatoria de dichas ponderaciones debe ser igual a 1 (o un 100%).

Ejemplo Media Móvil Ponderada

Para ilustrar la aplicación del método utilizaremos la serie histórica que presentamos en el artículo sobre cómo utilizar una regresión lineal para realizar un pronóstico de demanda. En esta oportunidad aplicaremos el método de media móvil simple con n=3 (como medio de contraste) y una media móvil ponderada de 3 períodos igualmente pero con ponderaciones seleccionadas arbitrariamente de 60%, 30% y 10%, respectivamente.

En la columna «MP» se incluyen los resultados del promedio móvil ponderado redondeando los resultados al entero más cercano. Notar que para una mayor comodidad se pueden fijar las ponderaciones a celdas específicas, lo que facilita copiar la fórmula a los períodos siguientes. A continuación y para facilitar la interpretación de los resultados se presenta un gráfico que contrasta los datos de la serie histórica y los dos dispositivos de pronóstico utilizados.

Se puede apreciar que en la medida que las ponderaciones seleccionadas para cada período se aproximen a 1/3, el pronóstico obtenido a través de la media móvil ponderada se asemejará al comportamiento de los resultados del promedio móvil simple con n=3. En este contexto es importante destacar que no existe procedimiento exacto que permita seleccionar de forma inequívoca las ponderaciones Wt de un promedio móvil ponderado y en consecuencia la «prueba y error» suelen ser estrategias utilizadas para evaluar el ajuste del pronóstico a los datos reales.

Finalmente sí el objetivo es proponer alguno de los métodos de pronósticos utilizados en este artículo se recomienda complementar el análisis calculando el MAD y Señal de Rastreo (TS) en cada caso, de modo de disponer de mayores elementos de juicio antes de tomar una decisión.

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[sociallocker]Media Móvil Ponderada[/sociallocker]

Cómo utilizar una Regresión Lineal para realizar un Pronóstico de Demanda

El Método de Mínimos Cuadrados o Regresión Lineal se utiliza tanto para pronósticos de series de tiempo como para pronósticos de relaciones causales. En particular cuando la variable dependiente cambia como resultado del tiempo se trata de un análisis de serie temporal.

En el siguiente artículo desarrollaremos un Pronóstico de Demanda haciendo uso de la información histórica de venta de un producto determinado durante los últimos 12 trimestres (3 años) cuyos datos se observan en la siguiente tabla resumen:

La ecuación de mínimos cuadrados para la regresión lineal es la que se muestra a continuación donde β0 y β1 son los parámetros de intercepto y pendiente, respectivamente:

Estimar los valores de dichos parámetros es sencillo haciendo uso de una planilla Excel tal como muestra la tabla a continuación:

Luego evaluamos en las ecuaciones presentadas anteriormente para obtener los valores de β0 y β1:

Una vez obtenido los parámetros de la regresión lineal se puede desarrollar un pronóstico de demanda (columna color naranja) evaluando en la ecuación de la regresión para los distintos valores de la variable independiente (x).

Por ejemplo, para el primer trimestre el pronóstico es: Y(1)=441,71+359,61*1=801,3.

Observación: los valores de los pronósticos han sido redondeados arbitrariamente a un decimal para mayor comodidad.

Notar que con la información que hemos obtenido podemos calcular el MAD y la Señal de Rastreo y utilizar estos indicadores para validar la conveniencia de utilizar este procedimiento como dispositivo de pronóstico.

Adicionalmente puede resultar de interés consultar el artículo Ejemplo de una Regresión Lineal Múltiple para un Pronóstico con Excel y Minitab que muestra cómo abordar el caso de realizar una regresión lineal con más de una variable independiente (explicativa).

Siguiendo con nuestro análisis a continuación podemos desarrollar un pronóstico de demanda para los próximos 4 trimestres (un año) que corresponden a los trimestres 13, 14, 15 y 16:

Y(13)=441,71+359,61*13=5.116,64
Y(14)=441,71+359,61*14=5.476,25
Y(15)=441,71+359,61*15=5.835,86
Y(16)=441,71+359,61*16=6.195,47

Si bien el procedimiento anterior es válido puede ser resumido haciendo uso de las herramientas de análisis de datos de Excel o simplemente realizando un ajuste de una regresión lineal en un gráfico de dispersión de la misma forma que abordamos en el articulo sobre el Método de Descomposición. Para ello luego de realizar el gráfico nos posicionamos en una de las observaciones y luego botón derecho del mouse para seleccionar «Agregar línea de tendencia…».

Luego en la interfaz de Excel activamos las opciones «Presentar ecuación en el gráfico» y «Presentar el valor R cuadrado en el gráfico» (este último indicador según se aborda en los cursos de estadística consiste en una medida de la bondad de ajuste de la regresión).

Notar que los valores obtenidos para los parámetros de la regresión son similares salvo menores diferencias por efecto de aproximación.

Otra opción disponible para ajustar una Regresión Lineal haciendo uso de Excel es a través del Complemento llamado Herramientas para análisis.

Su activación es simple: en el menú Archivo (esquina superior izquierda en Excel) ir a Opciones, luego Complementos, a continuación a la derecha de donde dice Complementos de Excel presionar Ir… y luego activar la Herramientas para análisis.

Una vez activada las Herramientas para análisis, se puede encontrar ésta abajo del complemento Solver en el menú de Datos.

Luego de las opciones disponibles que nos ofrece este complemento seleccionamos Regresión.

A continuación seleccionamos el Rango Y de entrada las celdas correspondientes a la variable dependiente (Ventas) y en Rango X de entrada las celdas correspondientes a la variable independiente (Trimestre).

Debemos activar adicionalmente la casilla Residuos si deseamos obtener un pronóstico para las ventas del Trimestre 1 al Trimestre 12 (junto al cálculo del error o residuo de la estimación).

Finalmente presionamos Aceptar lo que generará una nueva hoja en nuestra planilla de cálculo.

Un extracto de los resultados es el que se presenta a continuación, donde en color celeste se destaca los coeficientes asociados a los parámetros de la regresión lineal β0 y β1, respectivamente, y en color naranjo el pronóstico obtenido para cada uno de los doce trimestres al utilizar la ecuación de la regresión.

Por ejemplo: Y(1)=441,67+359,61*1=801,28. El residuo o error correspondiente para dicho período (Trimestre 1) es: $e_{1}=A_{t}-F_{t}=600-801,28=-201,28$ .

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