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Casos Especiales en la Programación Lineal detectados con el Método Simplex

En la resolución de un modelo de Programación Lineal se pueden enfrentar ciertos casos especiales que merecen particular atención. Estos casos (infinitas soluciones óptimas, problema no acotado sin solución óptima, problema infactible, solución óptima degenerada) se pueden detectar a través de la aplicación del Método Simplex según hemos tratado previamente en el Blog. A continuación un resumen de dichos escenarios:

Infinitas Soluciones Óptimas: Se detecta cuando luego de alcanzar una solución básica factible óptima, al menos una variable no básica tiene costo reducido igual a cero. La siguiente imagen representa esta situación donde la solución óptima (infinitas) se alcanza en el tramo entre los vértices B y C. En efecto se puede representar de forma general las soluciones óptimas como: $(x,y)=\lambda (0,3)+(1-\lambda )(2,2)$ con $0\leq \lambda\leq 1$ .

Problema No Acotado: En las iteraciones del Método Simplex un problema no acotado se detecta cuando al calcular el criterio de factibilidad o mínimo cuociente que determina la variable que deja la base, todas las entradas en la columna de la variable no básica entrante son negativas o cero, por tanto no existe denominador válido (mayor a cero) que permita determinar el pivote. En la siguiente representación gráfica se puede apreciar que las curvas de nivel de la función objetivo crecen en la dirección del vector gradiente, donde en particular el dominio de soluciones factibles es no acotado para los valores que puede adoptar la variable $x_{2}$ .

Es importante destacar que el hecho que un dominio de soluciones factibles sea no acotado no implica necesariamente que el problema de Programación Lineal no tiene solución.

Problema Infactible: Si al finalizar la Fase I del Método Simplex de 2 Fases el valor de la función objetivo es distinto a cero, entonces el problema lineal es infactible, es decir, el dominio de soluciones factibles es vacío al existir restricciones incompatibles (por ejemplo en el gráfico a continuación el área azul no se intersecta con el área color rojo).

Solución Óptima Degenerada: Cuando se presenta un empate el el cálculo de la condición de factibilidad del Método Simplex, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, caso en el cual se dice que la nueva solución es degenerada. Esto implica que el modelo tiene al menos una restricción redundante.

Qué significa un Precio Sombra igual a Cero en Programación Lineal

Según hemos abordado en artículos anteriores el Precio Sombra de una restricción representa la tasa de cambio del valor óptimo ante una modificación marginal del lado derecho de una restricción. Se entiende por «marginal» aquella modificación que no cambia la geometría del problema, es decir, que la nueva solución óptima se puede encontrar a través de la resolución del sistema de ecuaciones al que da origen las restricciones activas originales (previa actualización del parámetro que estamos modificando). En este contexto el precio sombra puede ser un valor positivo, negativo o cero y en particular nos referiremos a este último caso en este artículo.

Consideremos el siguiente modelo de Programación Lineal en 2 variables:

El problema anterior lo podemos resolver gráficamente utilizando Geogebra, que da origen a un problema con infinitas soluciones óptimas en el tramo de recta que une los vértices B y C y que se puede denotar de forma general por: (X,Y)=λ(0,60)+(1-λ)(10,45) con λ en el intervalo entre [0,1]. El valor óptimo en consecuencia es V(P)=1.200.

¿Cuáles son las restricciones activas en el óptimo?. Por ejemplo si consideramos el vértice B (solución óptima) las restricciones activas son 3X+2Y<=120 y X>=0, sin embargo si seleccionamos el vértice C (también solución óptima) las restricciones activas son 5X+2Y<=140 y 3X+2Y<=120. Dado lo anterior ¿aumentará el valor óptimo si se dispone de unidades adicionales del recurso que representa el lado derecho de la restricción 5X+2Y<=140?.

Para ello buscaremos mantener activas las restricciones del vértice C identificando la máxima variación (aumentando el valor del lado derecho) que conserve las restricciones activas originales (esto genera un desplazamiento paralelo de la restricciones que hemos representado con la línea color punteada color rojo) lo cual se alcanza en la coordenada (X,Y)=(40,0). De forma análoga para determinar la mínima variación para el lado derecho desplazamos en un sentido de decrecimiento la restricción buscando conservar las restricciones activas originales hasta la coordenada (X,Y)=(0,60) (línea punteada color naranjo).

Evaluamos en la fórmula para el cálculo del precio sombra obteniendo lo siguiente:

Por tanto el precio sombra de la restricción 1 (5X+2Y<=140) es cero lo cual indica que si aumenta o disminuye el valor del parámetro que representa su lado derecho (actualmente b1=140) en el intervalo entre [120,200] no se verá afectado el valor óptimo del problema. Lo anterior es consistente con lo obtenido a través del informe de confidencialidad de restricciones de Solver de Excel:

En general un precio sombra igual a cero significa que la modificación del parámetro que representa el lado derecho de la respectiva restricción (en un intervalo que conserva la geometría del problema) no tiene un impacto en el valor óptimo del problema. Sin embargo, existen casos especiales como los problemas de Programación Lineal que admiten infinitas soluciones (como el descrito en este artículo) donde una restricción con precio sombra igual a cero puede ser activa en uno de los vértices óptimo (el caso más usual es que una restricción con precio sombra igual a cero no sea activa en el óptimo).

Cómo detectar Infinitas Soluciones con el Método Simplex

Una de las posibilidades a las que nos podemos enfrentar cuando resolvemos un modelo de Programación Lineal a través del Método Simplex es el caso de múltiples o infinitas soluciones óptimas.

Esto significa que existe un tramo de soluciones factibles que reportan idéntico valor para la función objetivo y que no es posible mejorar.

En este contexto si luego de aplicar las iteraciones que resulten necesarias por el Método Simplex a un modelo de Programación Lineal (tabla óptima o tableau óptimo) se verifica que una variable no básica óptima tiene costo reducido igual a cero, esto permitirá afirmar que estamos ante el caso de infinitas soluciones.

Ejemplo Infinitas Soluciones Óptimas Método Simplex

Consideremos el siguiente modelo de Programación Lineal:

Llevamos el modelo a su forma estándar para proceder con la aplicación del Método Simplex, con S1 y S2 como variables de holgura de la restricción 1 y 2, respectivamente.

La tabla inicial con S1 y S2 como variables básicas iniciales es:

Y entra a la base. Luego para determinar la variable que deja la base utilizamos el criterio del mínimo cuociente: Min {12/4 ; 16/3} = 3 ==> S1 deja la base. Con esta información actualizamos la tabla realizando operaciones fila:

Luego de una iteración encontramos la solución óptima, donde Y y S2 son variables básicas. La solución básica factible óptima es X=0 Y=3 S1=0 S2=7. El valor óptimo es V(P)=6.

Notar que X (variable no básica) tiene costo reducido igual a cero lo que determina la existencia de múltiples o infinitas soluciones óptimas, de modo que la solución actual es uno de los vértices óptimos.

El siguiente diagrama muestra la Resolución Gráfica del problema con el software Geogebra donde la solución óptima que hemos encontrado en la aplicación del Método Simplex corresponde al vértice B.

Notar que la línea punteada de color azul corresponde a una curva de nivel de la función objetivo que tiene la misma pendiente que la restricción 1 (pendiente -1/2).

¿Cómo podemos obtener el vértice C que es solución óptima a través del Método Simplex? Una alternativa sería forzando la entrada a la base de la variable X en la tabla óptima. Luego calculamos cuál de las actuales variables básicas deja la base según el criterio del mínimo cuociente: Min {3/1/2 ; 7/5/2} = 14/5 ==> S2 deja la base. Actualizando la tabla obtenemos:

La nueva solución óptima (con idéntico valor óptimo) es X=14/5 Y=8/5 S1=0 S2=0, que corresponde al vértice C en el gráfico anterior. Ahora la variable no básica S2 tiene costo reducido igual a cero en la tabla óptima que señala el caso de múltiples soluciones óptimas (en este ejemplo el tramo BC).