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Formulación de un Problema de Programación de Explotación Forestal resuelto con Solver de Excel

En el artículo Problema de Planificación Forestal resuelto con Graphic Linear Optimizer (GLP) describimos un problema de explotación forestal reducido en términos de la complejidad de un caso de esta naturaleza (de modo de representarlo gráficamente), el cual a continuación extenderemos a través de la incorporación de una serie de decisiones en el tiempo respecto a la actividad de producción, planificación de personal, gestión de inventarios, compra, entre otros. En este contexto considere el caso de una compañía forestal que cosecha (tala) árboles los primeros meses del año. La compañía tiene una serie de pedidos que debe satisfacer cada mes. Estos datos se resumen a continuación:

Al 1 de Enero hay un total de 40 trabajadores y no hay árboles en inventario. La jornada laboral es de 40 horas semanales y 4 semanas laborales al mes. Para cosechar un árbol se requiere 4 horas hombre. Independiente de lo anterior la forestal tiene una capacidad de cosecha de 3.000 árboles mensuales lo cual está dado por la maquinaria disponible.

El sueldo mensual de cada trabajador es de M$400 (el sueldo se paga de forma íntegra ante todo evento, es decir, trabajando la totalidad de horas al mes o menos). La política de la gerencia es no utilizar horas extraordinarias pero si podría comprar árboles a otra forestal cercana a un costo unitario de M$18. Adicionalmente se ha convenido no contratar trabajadores por una fracción de una jornada de trabajo normal (160[horas/mes]). Esto implica que si se contrata un trabajador debe ser por 160[horas/mes] a un costo de M$400 pero no es válido, por ejemplo, contratar un trabajador por 80[horas/mes] a un costo de M$200. El costo de contratar un trabajador es de M$200 y el costo de despedir un trabajador se estima en M$600.

Almacenar un árbol en bodega tiene un costo de M$10 de un mes a otro. Sin embargo, en la bodega no hay espacio para almacenar más de 500 árboles.

Formule y resuelva un modelo de Programación Entera para este problema que permita hallar una política óptima de explotación para la forestal. Indique claramente las variables de decisión del modelo y detalle explícitamente la función objetivo y cada una de las restricciones del modelo.

Variables de Decisión:

Donde t=1,…,6 con t=1 Enero y t=6 Junio.

Función Objetivo: Minimizar los costos durante el período de planificación asociado a las remuneraciones, contratación, despido, compra y mantenimiento de inventario (respectivamente).

Restricciones:

Balance de Trabajadores: Por ejemplo la cantidad de trabajadores disponibles al final del mes de Marzo para labores de cosecha son aquellos que terminaron trabajando al final del mes de Febrero, más los contratados en el mes de Marzo y menos los despedidos en Marzo.

Satisfacer Demanda de Árboles: Donde $D_{t}$ representa la demanda (parámetros) de árboles para el mes t.

Capacidad Tala (Mano de Obra): Talar cada árbol requiere 4 horas hombre y un trabajador aporte 160 horas hombre en un mes. Luego, cada trabajador puede talar como máximo 40 árboles mensuales.

Capacidad Tala (Máquinas): Se puede talar como máximo 3.000 árboles mensuales dada la capacidad de las máquinas.

Capacidad Bodega: La bodega tiene una capacidad máxima de almacenamiento de 500 árboles.

No Negatividad y Enteros: Se deben satisfacer las condiciones de enteros para las variables de decisión no negativas.

Al implementar en Solver de Excel el modelo anterior se alcanza la solución óptima (celdas en color amarillo) con un valor óptimo de M$152.360.

Se recomienda al lector verificar que la solución alcanzada satisface las restricciones anteriormente expuestas. Notar adicionalmente que el plan óptimo actual no despide trabajadores durante la planificación y contrata trabajadores en Febrero y Abril (11 y 19, respectivamente), los mismos meses donde adicionalmente compra árboles (10 y 110) a la forestal cercana. Naturalmente al final de la planificación no existen incentivos para mantener árboles en bodega.

¿Quieres tener el archivo Excel con la implementación computacional de este ejemplo?

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Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte Multiperíodo

Una empresa multinacional de productos de consumo masivo que opera a nivel nacional tiene 2 plantas de producción donde fabrican un solo producto para transportar a 2 locales con capacidad máxima de producción de 1.000 y 1.500 unidades mensuales, respectivamente. Uno de los locales está en el norte y otro en el sur de Chile. Para llegar a estos locales se tiene un centro de distribución que sólo abastece el norte y otro que sólo abastece el sur. Además de esto se tiene un centro de distribución en la ciudad capital (Santiago) que se abastece de los otros 2 centros de distribución y que despacha tanto al norte como al sur. Una red logística que representa el Problema de Transporte con Transbordo anterior se presenta a continuación:

La demanda de los locales para los próximos 2 meses es:

Adicionalmente sólo los centros de distribución norte y sur tienen capacidad para almacenar unidades de inventario de modo de satisfacer una demanda futura. El costo unitario mensual de almacenar inventario es de $1,5 y $0,8, para el centro de distribución norte y sur, respectivamente.

Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal que permita determinar el plan de distribución óptimo para el problema de transbordo que representa la Gestión de una Cadena de Suministro. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones.

Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: se busca minimizar durante el período de planificación los costos de la logística de transporte desde las plantas a los centros de distribución, desde los centros de distribución a los locales, desde los centros de distribución a Santiago y desde Santiago a los locales, en conjunto con los costos de inventario en los centros de distribución.

Restricciones:

Capacidad de Producción de las Plantas: lo que envía mensualmente cada planta a cada uno de los centros de distribución (norte y sur) no puede superar la capacidad máxima de producción de la respectiva planta.

Balance en los Centros de Distribución: la cantidad de productos que recibe un centro de distribución desde las plantas en un mes, considerando adicionalmente el inventario inicial y lo que se desee dejar en inventario al final del mes respectivo, deberá ser igual a lo que dicho centro de distribución envíe en aquel mes a los locales y al centro de distribución en Santiago.

Demanda de los Locales: los productos que demande mensualmente cada local (1 o 2) deberá ser satisfecho desde los centros de distribución, incluyendo lo que eventualmente se envíe desde Santiago.

Balance en Santiago: los productos que recibe mensualmente Santiago desde los centros de distribución norte y sur deberá ser igual a lo que este centro de distribución envíe a los 2 locales que abastece (Santiago a diferencia de los centros de distribución norte y sur no almacena inventario).

Rutas Infactibles: no es posible enviar productos de forma directa (en cualquiera de los meses) desde el centro de distribución norte al local 2 y desde el centro de distribución sur al local 1.

No Negatividad: naturalmente las variables de decisión definidas inicialmente deberán adoptar valores mayores o iguales a cero.

A continuación se muestra un extracto de la implementación computacional del problema de transbordo haciendo uso de Solver de Excel. El valor óptimo es de $24.370.

Por otra parte las celdas en color amarillo corresponden a las variables de decisión (con color naranjo se identifican los parámetros), donde destaca que no se utiliza el centro de distribución sur. En cuanto al centro de distribución norte, éste se abastece de 1.620 unidades durante el mes de Julio (1.000 de la Planta 1 y 620 de la Planta 2), de los cuales envía 1.500 unidades a Santiago y las restantes 120 las almacena en inventario. De las 1.500 que dispone Santiago en el mes de Julio, envía 900 al Local 1 (Norte) y 600 al Local 2 (Sur) satisfaciendo la demanda. En cuanto al mes de Agosto, el centro de distribución norte recibe en total 2.500 unidades las cuales suma a las 120 en inventario que quedaron a fines de Julio, enviando todas ellas a Santiago. Luego de las 2.620 disponibles en Santiago en el mes de Agosto, envía 1.750 al Local 1 y 870 al Local 2, satisfaciendo la demanda de dichos destinos y minimizando el costo total de la logística de transporte.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver del Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte Multiperíodo presentado en este ejemplo?

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Evaluación de Proveedores y Determinación del Tamaño Óptimo de Pedido utilizando EOQ con Descuentos

El siguiente artículo representa la evaluación de 2 proveedores que ofrecen un esquema de descuentos por cantidad por las unidades vendidas, asumiendo que se satisfacen los supuestos simplificadores del modelo de Cantidad Económica de Pedido o EOQ. En particular consideraremos que la demanda del producto es constante y conocida y adicionalmente que el costo unitario de compra dependerá del tamaño del pedido (en este sentido utilizaremos el modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con Descuentos por Cantidad).

Ejemplo EOQ con Descuentos

Una compañía necesita comprar controles remotos y tiene una demanda semestral de 4.800 unidades. Los controles pueden ser comprados o del proveedor A o del B. Los precios por cantidad de cada proveedor están en la tabla abajo:

El costo por pedido es de $30 para cualquiera de los proveedores y el costo anual de inventario es 25% del costo unitario. Adicionalmente la compañía incurre en un costo fijo por emitir un pedido de $10 por concepto de gastos administrativos. ¿De cuál proveedor la compañía debe comprar y cuál es el tamaño del pedido si el objetivo es minimizar costos totales anuales?.

En primer lugar determinamos el tamaño de pedido para cada uno de los tramos de descuentos por cantidad que aplican al Proveedor A. Notar que se considera una demanda anual de 9.600 controles remotos (un año tiene 2 semestres). Para el tramo 1 el pedido se aproxima a la cota superior de dicho intervalo; para el tramo 2 se mantiene el lote obtenido dado que pertenece al intervalo de [200,499] y en el tramo 3 se aproxima el tamaño de pedido a la cota inferior del intervalo (500 unidades) lo cual permite acceder a un precio unitario de $13,60.

En consecuencia los candidatos a óptimo son pedidos de 199, 472 y 500 unidades para el Proveedor A. Para ver cuál de ellos reporta el menor costo total anual se evalúa en la función de costos totales:

El tamaño óptimo de pedido en caso de seleccionar el Proveedor A es de 500 unidades por pedido.

En el caso del Proveedor B el procedimiento es similar al descrito para el Proveedor A. En este caso los candidatos a óptimo son pedidos de 149, 349 y 474 unidades.

Al evaluar en la función de costos totales (anual) se observa que el tamaño de lote que minimiza los costos para el Proveedor B son 474 controles por pedido.

Finalmente se procede a comparar los costos mínimos para cada proveedor con lo cual se concluye que se debe comprar al Proveedor A y hacer pedidos de 500 controles, alcanzando un costo total anual de $132.178 (que incluye los costos que se incurren anualmente por concepto de compra, emisión de pedidos y almacenamiento).

Cómo Construir el Gráfico de Costos Totales del Modelo EOQ con Excel

En el artículo Deducción de la Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ) discutimos los fundamentos que permiten obtener la solución de dicho modelo, en particular aquel tamaño de pedido que permite minimizar la función de costos totales. Siguiendo dicho desarrollo conceptual, a continuación presentaremos un ejemplo tipo del modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) donde con el apoyo de una planilla Excel construiremos la función de costos totales, mediante la evaluación del costo total para distintos tamaños de pedido.

La Joyería Caminante es representante exclusivo de los relojes Ballon Bleu, de la prestigiosa Maison Cartier™, elaborados con oro gris y cubiertos con alrededor de 500 diamantes. Se sabe que:

Caminante le paga a Maison Cartier 40.000€ por cada reloj que importa al país.
Los costos de transporte e internación ascienden a 4.000€ por orden, independiente del número de relojes transportados.
Una vez en el país, los relojes representan un costo de almacenamiento anual del 20% de su precio, debido a los elevados seguros involucrados.
El mercado de compradores para este artículo de lujo es obviamente limitado en el país, pero en los últimos años las ventas de este producto se han estabilizado en la cantidad de 3 relojes mensuales.

Determine el número de relojes que Caminante debe pedir cada vez que pone una orden con Maison Cartier™, de modo de minimizar sus costos totales. ¿Cual es el costo total anual que enfrenta Caminante sin incluir el costo de comprar los productos?.

El tamaño óptimo de pedido que permite minimizar el valor de la función de costos totales es:

Donde el costo total (mínimo) asociado a dicho tamaño de pedido es:

Notar que se han omitido los costos de compra los cuales en este ejemplo al no existir descuentos por cantidad es el mismo independiente del tamaño del pedido.

Con la ayuda de una planilla Excel se puede evaluar cuál es el costo total anual para distintos tamaños de pedido. En particular resulta de interés evaluar el valor que alcanza la función de costos totales para tamaños de pedido entre 1 y 36 relojes (la siguiente tabla muestra un extracto de dicho procedimiento).

La información completa se puede graficar lo que permite apreciar la convexidad de la función de costos totales. Se ha incluido una línea punteada de color rojo que intercepta el eje vertical (costo total anual) para un valor de 48.000€ el cual se alcanza para un tamaño de pedido de 6 relojes.

Cálculo del Nivel de Servicio Instock utilizando una Demanda con Distribución Exponencial

Ejemplo Cálculo del Nivel de Servicio Instock: Un vendedor de flores tiene que decidir todas las noches cuántas flores va a llevar de su plantación a su local comercial para vender al día siguiente. La demanda por flores es estocástica y por experiencia estima que sigue una distribución exponencial con parámetro λ=0,015. El costo por flor para el vendedor es de $6 y las flores no vendidas son consignadas a $2 a un vendedor de flores secas (esto último se considera un valor de rescate o salvage value). Además se estima que el costo por cliente perdido es de $11.

En base a los antecedentes anteriores la cantidad óptima de pedido que sugiere el Modelo Newsvendor está dada por:

El nivel de servicio Instock asociado a un pedido de 54 unidades es:

Que como se aprecia corresponde a la integral definida entre 0 y 54 unidades de la función de densidad de probabilidad exponencial con parámetro λ=0,015. El resultado anterior se puede corroborar haciendo uso del software Geogebra:

De forma análoga, simplemente basta evaluar el tamaño del pedido de 54 unidades en la función de distribución exponencial para evitar el cálculo de la integral definida presentada anteriormente. En efecto:

El siguiente diagrama obtenido con el complemento StatAssist (parte de Easyfit) da cuenta de lo anterior, donde se modela una distribución exponencial (acumulada o F) con parámetro λ=0,015 y donde para un valor de x de 54 unidades F(x) es aproximadamente un 55,51%. (se puede corroborar con la fórmula de Excel =ExpCdf(54;0,015)).