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Ejemplo Lote Económico con Producción y Consumo Simultaneo (POQ)

El modelo de Lote Económico con Producción y Consumo Simultaneo (POQ) considera supuestos similares al Modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ), sin embargo, asume que el reabastecimiento y consumo se realiza de forma simultanea durante un período de tiempo determinado luego del cual sólo se consume (demanda) a una tasa fija. Dicha característica del modelo de lote económico con producción y consumo simultaneo determina que su rango de aplicabilidad esta principalmente asociado a sistemas con autoabastecimiento, es decir, donde una parte del sistema productivo abastece en sus requerimientos a otra.

Los principales supuestos del modelo son:

La recepción del inventario es constante durante un periodo de tiempo.
La producción y demanda es conocida y constante.
El tiempo de entrega (lead time) se conoce y es constante.
No existen descuentos por cantidad, sin embargo, dicha condición es factible de flexibilizar al igual que el Modelo de Cantidad Económica de Pedidos (EOQ) con descuentos por cantidad.
Los dos únicos costos relevantes son el costo de mantener el inventario y el costo de hacer un pedido.
La falta de existencias (escasez) se evita si la orden se coloca en el momento adecuado.

Una representación gráfica de la evolución del inventario en función del tiempo para este modelo se presenta a continuación:

Donde d: demanda diaria y f: producción diaria. Luego esta implícito que f>d. Adicionalmente si buscamos el mínimo de la función de costos totales en términos del tamaño del lote de producción se obtiene la siguiente solución para el modelo:

Ejemplo Lote Económico con Producción y Consumo Simultaneo (POQ)

Una empresa puede producir un artículo o comprarlo a un contratista. Si lo produce le costará $30 cada vez que prepare sus máquinas. La tasa de producción f es 150 unidades diarias. Si lo compra a un contratista le costará $20 emitir un pedido. El costo de mantener un artículo en existencia, sea producido o comprado, es de $0,02 por unidad y por día. El consumo estimado de ese artículo por la empresa es de 29.200 unidades anuales. Suponiendo que no se permiten unidades faltantes, ¿la empresa debe producir o debe comprar?. Asuma que un año tiene 365 días.

Al utilizar el modelo de Lote Económico con Producción y Consumo Simultaneo se obtiene que la política óptima es generar lotes de producción de 717 unidades cada vez que se requiera. Notar que la demanda diaria d corresponde a 80 unidades (29.200[u/año]/365[días/año]).

El costo total anual asociado a este plan es de $2.443 (POQ). Si utilizamos EOQ el tamaño óptimo de pedido es:

Obteniéndose en este caso un Costo Total Anual (EOQ) de $2.920 por lo cual se recomienda en este caso el autoabastecimiento y por tanto la utilización de los resultados del modelo de lote económico con producción y consumo simultaneo.

Actualización: Con el objeto de detallar el cálculo de los costos totales para el ejemplo anterior, a continuación se presenta el detalle del procedimiento que corrobora los resultados anteriormente expuestos.

El Costo Total Anual para el caso del modelo POQ se obtiene de:

Para el caso del modelo de Cantidad Económica de Pedido o EOQ, el Costo Total Anual se obtiene de:

Problema de Producción e Inventario resuelto con Solver de Excel

La Programación Lineal nos permite abordar distintos problemas de naturaleza real algunos de los cuales ya hemos tratado en artículos anteriores como el Problema de Transporte, el Problema de Mezcla de Productos y el Problema de la Dieta.

En el siguiente artículo analizaremos otra aplicación clásica conocida como el Problema de Producción e Inventario cuyas extensiones y variantes se pueden consultar adicionalmente en la categoría del Plan Maestro de la Producción.

El Problema de Producción e Inventario consiste básicamente en determinar una política de producción en el tiempo que permita satisfacer ciertos requerimientos de demanda, respetando las limitantes de producción y a un costo mínimo.

Este tipo de modelos se puede extender para varios productos, sin embargo, en esta oportunidad consideraremos un solo producto para su ilustración.

En este contexto, consideremos los siguientes antecedentes de producción que se presentan a continuación:

Luego, definimos el siguiente modelo de optimización lineal:

Supuesto: se dispone de un inventario inicial de 50 unidades, es decir, I0=50.

1. Variables de Decisión:

Xt: Unidades a producir en el mes t (t=1,..,6 con t=1 => Enero; t=6 => Junio)
It: Unidades a almacenar en inventario al final del mes t (t=1,..,6 con t=1 => Enero; t=6 => Junio)

2. Función Objetivo: Minimizar los costos de producción (destacados con color azul) y costos de inventario (destacados con color rojo) durante el período de planificación definido por:

60X1 + 60X2 + 55X3 + 55X4 + 50X5 + 50X6 + 15I1 + 15I2 + 20I3 + 20I4 + 20I5 + 20I6

De forma compacta (parametrica) se puede representar la función objetivo como:

$Minimizar\sum_{t=1}^{6}[C_{t}\cdot X_{t}+H_{t}\cdot I_{t}]$

Donde $C_{t}$ es el costo unitario de producción en el mes t (por ejemplo $C_{1}=60$ ) y $H_{t}$ es el costo unitario de almacenar unidades en inventario durante el mes t (por ejemplo $H_{1}=15$ )

3. Restricciones:

a) Satisfacer los requerimientos de demanda (conocida como restricción de Balance de Inventario).

Por ejemplo, el inventario disponible al final del mes de Enero será el resultado de la producción del mismo mes, más el inventario inicial (que se asume un dato, en este caso 50 unidades) menos la demanda satisfecha durante el mes de Enero.

X1 + 50 – I1 = 100 (Enero)
X2 + I1 – I2 = 130 (Febrero)
X3 + I2 – I3 = 160 (Marzo)
X4 + I3 – I4 = 160 (Abril)
X5 + I4 – I5 = 140 (Mayo)
X6 + I5 – I6 = 140 (Junio)

Notar que la restricción se Balance de Inventario impuesta para un producto se puede generalizar como: $X_{t}+I_{t-1}-I_{t}=d_{t}$ , donde $d_{t}$ representa la demanda estimada (parámetro) para el mes t.

b) Respetar la capacidad máxima de producción mensual (oferta).

Se establece que la oferta o producción máxima mensual no puede superar la capacidad de producción.

X1<=120 X2<=120 X3<=150 X4<=150 X5<=150 X6<=150

O simplemente $X_{t}\leq O_{t}$ donde $O_{t}$ es la capacidad de producción máxima del mes t (parámetro).

c) Condiciones de no negatividad.

De forma natural y dada nuestra definición cada variable de decisión debe ser no negativa.

Xt >= 0 It >= 0 Para todo t

El siguiente tutorial muestra cómo implementar este Modelo de Producción e Inventario correspondiente a la Programación Lineal en Solver de Excel:

La solución óptima se muestra a continuación con un valor óptimo de $43.450. Se puede apreciar que se producen en total 780 unidades entre Enero y Junio las cuales junto al inventario inicial de 50 unidades permiten satisfacer los requerimientos de demanda mensualmente.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

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Cantidad Económica de Pedido (EOQ) aplicada al MRP

En la aplicación del Plan de Requerimientos de Materiales (MRP) es necesario determinar una política de lotificación que establezca cuánto y cuándo pedir las partes y piezas necesarias para poder cumplir con una meta de producción del producto final o categoría superior. El objetivo es cumplir con dichos requerimientos y a la vez procurar los menores costos asociados a la gestión del inventario.

Una de las políticas de lotificación es la de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) utilizada en la Gestión de Inventarios, que busca minimizar los Costos Totales del Inventario. Para ello se deben verificar los supuestos de este modelo, principalmente que la demanda (en nuestro caso necesidades netas) sea constante. No obstante, como es difícil encontrar una situación práctica donde los requerimientos sean fijos durante el tiempo, se flexibiliza este supuesto y se usa un promedio para poder estimar el valor de la demanda anual.

Ejemplo Lotificación EOQ en el Plan de Requerimientos de Materiales

Consideremos las necesidades netas para el Producto X en un período de 10 semanas. Adicionalmente asumiremos que el Costo de Emisión (S), es decir, el costo asociado a realizar cada pedido (independiente de su tamaño) es de $50 y que el Costo de Almacenar una unidad del Producto X en inventario durante un año es igual a $4 (H).

Un primer paso para aplicar la política de lotificación de la Cantidad Económica de Pedido (EOQ) es estimar un valor de la demanda anual para el producto. En este sentido la suma de las necesidades netas para las 10 semanas es igual a 500 unidades, lo que otorga un promedio de 50 unidades por semana. Si consideramos que un año tiene 52 semanas, entonces la demanda promedio anual es de 2.600 unidades.

Con esta información el tamaño de pedido que minimiza los costos de la gestión del inventario del Producto X es:

Luego desarrollamos la planificación de los pedidos en el tiempo para el período de 10 semanas, asumiendo que el tiempo de espera (lead time) es cero, es decir, tan pronto se emite un pedido se asume que este se recibe.

El primer pedido se realiza en la semana 1 por 255 unidades. Como la necesidad neta es de 40 unidades, nos quedan 215 unidades en inventario. El costo emisión es de $50 para la semana 1 (se realizó un pedido) y el costo de almacenamiento es de $16,54 (costo de almacenamiento semanal: $4/52*215 unidades).

Se puede observar que el inventario disponible luego del primer pedido es suficiente para satisfacer en forma íntegra la demanda hasta la semana 5.

En la semana 6 realizamos un segundo pedido por 255 unidades. Notar que en la semana 10 queda un inventario de 10 unidades a diferencia de lo que sucedería si aplicamos la política Lote a Lote.

Para acceder a un ejercicio detallado del Plan de Requerimientos de Materiales (MRP) donde se utiliza la política de lotificación Lote a Lote se recomienda revisar el artículo Ejemplo del Plan de Requerimientos de Materiales (MRP).

Es importante destacar que al utilizar la política de lotificación de la Cantidad Económica de Pedido (EOQ) no se garantiza necesariamente los menores costos de la gestión del inventario. En nuestro ejemplo el costo total es de $190,68 (si utilizáramos Lote a Lote el costo sería $500).

Cómo calcular la Probabilidad de Instock asociado al Inventario

Una supuesto frecuente de los modelos de Gestión de Inventarios sencillos es considerar que la demanda a la cual una empresa se enfrenta es conocida, es decir, no existe incertidumbre. Este supuesto da origen a Modelos Deterministas de inventarios como el de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con o sin Descuentos por Cantidad, Producción y Consumo Simultaneo (POQ), entre otros.

Si bien los Modelos Deterministas para la Gestión de Inventarios resultan ser útiles, en la mayor parte de las aplicaciones prácticas, es muy difícil mantener como razonable y representativo el supuesto de una demanda constante y conocida.

Para enfrentar esta situación se proponen Modelos Estocásticos, es decir, donde la demanda presenta un comportamiento aleatorio el cual puede o no ser estimado por una distribución de probabilidad conocida o en su defecto por una distribución empírica.

En este contexto de demanda aleatoria no se puede asegurar a ciencia cierta si una determinada cantidad de unidades en inventario serán suficientes para satisfacer los requerimientos de demanda de un producto. Sin embargo, si se logra perfilar el comportamiento de la demanda (aleatoria) se estará en condiciones de poder estimar que tan probable es satisfacer la demanda dada una cierto tamaño del inventario.

Uno de los indicadores de gestión que se utiliza frecuentemente es el Instock, el cual bajo un escenario de demanda con incertidumbre indica la probabilidad de satisfacer en forma íntegra la demanda (es decir, evitar quiebres de stock) para un determinado nivel de inventario.

Ejemplo del Cálculo del Instock

Para graficar este concepto consideremos que una empresa tiene 900 unidades de un producto en inventario y enfrenta una demanda por el mismo que se puede representar por una Distribución Normal con media 800 unidades ( $\mu=800$ ) y Desviación Estándar de 100 unidades ( $\sigma=100$ ). Nos interesa calcular la Probabilidad de Instock, es decir, la probabilidad que la demanda sea menor o igual a 1.000 unidades:

La Probabilidad de Instock por tanto es de un 84,13%. Para obtener la probabilidad asociada a un determinado valor de Z utilizando la Distribución Normal Estándar podemos utilizar una tabla de probabilidad que frecuentemente se incluyen como anexos en los libros de probabilidad básica o en su defecto podemos utilizar la fórmula de Excel =DISTR.NORM.ESTAND(Z). (En nuestro caso Z=1 destacado con color rojo en la tabla a continuación).

De este modo, la probabilidad de incurrir en un quiebre de stock dado un inventario de Q=900 unidades es de un 15,87% que se representa como el área achurada a la derecha de las 900 unidades.

Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con Descuentos por Cantidad

Uno de los supuestos del modelo de Cantidad Económica de Pedido (o EOQ según sus siglas en inglés) es que el costo de adquisición unitario es independiente del tamaño del pedido, sin embargo, este supuesto es factible de flexibilizar debido a que en muchos casos es razonable asumir que se puede acceder a un determinado descuento por unidad en la medida de pedidos de tamaño mayor.

Para determinados productos, los proveedores suelen ofrecer una escala de descuentos dependiendo del tamaño del pedido. Este tipo de estrategia de venta es frecuentemente utilizado por mayoristas y distribuidores que buscan con esto tener una mayor Rotación de Inventario y en consecuencia disminuir los Días de Inventario (con la correspondiente disminución de los costos de almacenamiento del inventario). Adicionalmente, la escala de descuentos suele estar previamente tabulada y accesible para el comprador.

Ejemplo EOQ con Descuentos por Cantidad

A continuación tomaremos nuevamente los datos del ejemplo de EOQ analizados en el tutorial del Cálculo de la Cantidad Económica de Pedido con WINQSB, sin embargo, en esta oportunidad consideraremos que el costo de almacenamiento anual se puede representar como un porcentaje del costo de adquisición.

D: Demanda Anual = 6.000 unidades
S: Costo de Emisión = $750
H: Costo de Almacenamiento Anual (unitario) = 10% del costo de adquisición (i)

El precio unitario a pagar dependerá del tamaño del pedido según muestra la siguiente tabla:

Para poder determinar el tamaño de pedido que minimiza los costos totales se debe evaluar cada uno de los tramos de precios.

Notar que H=i*C, es decir, se considera que el costo de almacenar un producto se puede representar como un porcentaje de su costo de adquisición (compra). De esta forma, al aumentar los descuentos (y en consecuencia disminuir el precio de compra) el costo unitario de almacenamiento representado por H=i*C disminuirá y generará un incentivo a pedidos de mayor tamaño (dado que el denominador de la formula a continuación disminuye en magnitud).

En el primer tramo (sin descuento) el tamaño de pedido recomendado es de 150 unidades.

En el segundo tramo el tamaño de pedido óptimo según EOQ es de 160,3 unidades, sin embargo, dicho pedido es insuficiente para acceder al precio descontado de $3.500 por tanto para el tramo 2 el pedido óptimo se aproxima a 200 unidades.

Finalmente para el tercer tramo el tamaño del pedido es también insuficiente para acceder al precio unitario de $3.200 por tanto se aproxima a 300 unidades.

En resumen, para el tramo 1 ==> Q=150[u/ped]; tramo 2 ==> Q=200[u/ped]; tramo 3 ==> Q=300[u/ped].

Los fórmula de Costos Totales del Modelo EOQ es: CT=C*D+(D/Q)*S+(Q/2)*H

Tramo 1: CT=$4.000*6.000+(6.000/150)*$750+(150/2)*10%*$4.000=$24.060.000
Tramo 2: CT=$3.500*6.000+(6.000/200)*$750+(200/2)*10%*$3.500=$21.057.500
Tramo 3: CT=$3.200*6000+(6.000/300)*$750+(300/2)*10%*$3.200=$19.263.000

El menor costo se alcanza en el tramo 3 y la cantidad de pedido que minimiza los costos totales será de 300 unidades. Es importante destacar que no necesariamente el tramo con el menor precio unitario será el que tenga el menor costo asociado y por tanto el resultado obtenido en este ejemplo no se puede extrapolar para cualquier caso.