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Cómo determinar la Duración Óptima de un Proyecto a través del Análisis de Crashing

La Programación Lineal como hemos analizado anteriormente provee una forma eficiente para enfrentar el problema de cómo reducir la duración de un proyecto de la forma más económica posible (Análisis de Crashing) en el contexto de la aplicación del Método de Ruta Crítica (CPM) para la gestión de proyectos. Adicionalmente en algunas situaciones se suele enfrentar costos de penalización en la medida que el proyecto se entregue más tarde de lo comprometido o estimado, como también incentivos por entregas anticipadas que no vayan en desmedro de la calidad del proyecto.

Consideremos el siguiente ejemplo para el cálculo de la Duración Óptima de un Proyecto (el tiempo está medido en días y el costo en dólares):

Por ejemplo la Actividad F tiene una duración normal de 4 días a un costo de 600 dólares y se puede comenzar una vez terminadas las Actividades B y E (predecesores). Si se desea apurar (hacer “crash”) en la Actividad F, el menor tiempo que se puede adoptar es de 2 días (es decir, la reducción máxima es 2 días), donde por cada día que se reduce la duración de dicha actividad se incurre en un costo adicional de 175 dólares. De esta forma, por ejemplo, si se quisiera reducir la duración de la Actividad F de 4 a 3 días, el costo sería de 775 dólares (600+175).

Asuma que la fecha de entrega del proyecto es el día 10. La compañía debe pagar 170 dólares por cada día de atraso. Encuentre el número óptimo de días que debe durar el proyecto a través del análisis de crashing y el costo total del proyecto (incluyendo posibles multas por atraso).

Indique claramente las actividades donde realice crashing. Dibuje el diagrama del proyecto de la alternativa que se propone (el proyecto con el costo más bajo), representando el nombre de cada actividad al interior de los respectivos nodos. Para cada actividad calcule los siguientes indicadores: IC, TC, IL, TL. Luego obtenga explícitamente la holgura de cada actividad y la(s) ruta(s) crítica(s) del proyecto.

A continuación se define un modelo de optimización lineal propuesto para abordar el problema:

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Consiste en minimizar el costo de terminar el proyecto en K días, donde 3.175 corresponde al costo en dólares de desarrollar el proyecto con las actividades en tiempo normal y la expresión en la sumatoria es el costo incremental de disminuir la duración del proyecto.

Restricciones:

Cada actividad se puede reducir (de ser posible) dentro del límite máximo de reducción permisible:

Relaciones de predecesores entre las actividades y el tiempo de inicio y reducción:

Definición del tiempo objetivo para el proyecto:

No negatividad de las variables de decisión:

Una vez definido el modelo de Programación Lineal se implementa computacionalmente haciendo uso de Solver de Excel. Para ello será necesario sensibilizar los resultados del modelo para valores del parámetro K en el intervalo de [10,15] días (el lector puede corroborar que la duración del proyecto si cada actividad mantiene su duración normal es de 15 días). La solución óptima se resume a continuación:

El tiempo óptimo para completar el proyecto corresponde a 12 días, con un costo total (incurriendo multas por atraso) de 3.890 dólares. El gráfico a continuación muestra el valor de la función objetivo (costo total) para distintos valores de duración del proyecto.

A continuación desarrollamos el diagrama del proyecto donde se observa que existen 2 rutas críticas: A-B-F y A-C-E-F, con una duración de 12 días. Notar que la única actividad que no es crítica con holgura positiva (de 1 día) es la Actividad D.

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[sociallocker]Crashing Óptimo[/sociallocker]

Problema de Selección de Cartera de Proyectos a través de la Programación Entera

La Programación Entera provee una forma eficiente de enfrentar los problemas de selección de proyectos a ejecutar dentro de una cartera de potenciales proyectos a realizar, donde cada uno de éstos tiene asociado un tiempo de ejecución, requerimientos de fondos de inversión y necesidades adicionales. El siguiente artículo aborda la formulación de un modelo de optimización de Programación Entera que permita seleccionar los proyectos a realizar que maximice el Valor Presente Neto (VPN) del conjunto, respetando restricciones presupuestarias, políticas de inversión y de disponibilidad de personal.

Problema de Selección de Cartera de Proyectos

Consideremos una empresa que tiene en carpeta 8 proyectos, cada uno de los cuales con una estimación del VPN, la necesidad de financiamiento (en dólares) y los requerimientos de personal. La información se resume en la siguiente tabla:

Por ejemplo, el Proyecto 1 requiere de 120 profesionales para ser realizado, con una inversión inicial de 15 millones de dólares y representa un Valor Presente Neto (VPN) de 8 millones de dólares. Asumiremos que la empresa dispone de 155 profesionales, un presupuesto para inversión de 40 millones de dólares. Adicionalmente para efectos de minimizar el riesgo la empresa debe ejecutar al menos 4 proyectos. Los proyectos 3 y 6 son excluyentes, es decir, sólo uno de los 2 puede ejecutarse.

Variables de Decisión:

Probablemente el lector se pregunte si es equivalente definir Xi: dólares a invertir en el Proyecto i. El problema subyacente a dicha formulación es asumir que si, por ejemplo, se invierte 7,5 millones de dólares en el Proyecto 1 se obtiene un VPN de 4 millones de dólares, es decir, que el VPN es proporcional al dinero invertido. Recordar que la proporcionalidad es un supuesto básico de la Programación Lineal donde claramente no provee una forma realista de representación en este caso, donde la naturaleza de la decisión es realizar o no un proyecto, sin dejar espacio para decisiones “intermedias”.

Función Objetivo:

Consiste en maximizar la sumatoria del Valor Presente Neto de los proyectos (en millones de dólares). En este contexto el valor óptimo corresponderá a la suma del VPN de aquellos proyectos que finalmente se llevaran a cabo.

Restricciones:

Se debe respetar la disponibilidad de trabajadores:

La inversión total no puede superar el presupuesto disponible:

Al menos se deben realizar 4 proyectos para efectos de diversificación del riesgo:

Los proyectos 3 y 6 son excluyentes:

Luego de implementar computacionalmente el problema anterior con Solver se alcanza los siguientes resultados:

La solución óptima consiste en desarrollar los proyectos 2, 4, 5, 6 y 7 lo que reporta un VPN de 10,7 millones de dólares (valor óptimo).

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Método del Centroide aplicado a un Problema de Localización de Instalaciones

El Método del Centroide es una técnica para ubicar instalaciones que considera las instalaciones existentes, las distancias entre ellas y la cantidad de productos a transportar entre las mismas. Se suele suponer que los costos de envío o transporte de entrada y salida son iguales y no incluye costos de envío especiales.

La aplicación del Método del Centroide requiere ubicar las instalaciones existentes en un sistema de coordenadas. La elección de dicho sistema de coordenadas es completamente arbitraria, no obstante, actualmente son populares las medidas de longitud y latitud debido a la rápida adopción de los sistemas GPS. Sin perjuicio de lo anterior y con el objetivo de representar ejemplos sencillos se pueden utilizar coordinadas arbitrarias (X,Y).

El Centroide se encuentra calculando las coordenadas X e Y que dan como resultado el costo de transporte mínimo. Para ello se utilizan las fórmulas:

Donde:

Ejemplo Método del Centroide

Se desea determinar la ubicación óptima de una planta productiva (en adelante Planta E) mediante el Método del Centroide con respecto a otras 3 plantas demandantes a las cuales abastece de un cierto producto, que en lo sucesivo denotaremos por A, B y C y cuyas coordenadas (X,Y) son (150,75), (100,300) y (275,380), respectivamente. En este contexto, las plantas A, B y C requieren 6.000, 8.200 y 7.000 unidades anuales, respectivamente, las cuales serán transportadas desde la Planta E. Se supone una relación lineal entre los volúmenes enviados y los costos de envío (sin cargos adicionales).

Dada la información anterior calculamos las coordenadas en X e Y de la Planta E.

¿Minimizará la localización propuesta para la Planta E por el Método del Centroide la sumatoria de la distancia euclidiana respecto a las plantas demandantes A, B y C?. Para responder esta pregunta formulamos el siguiente modelo de Programación No Lineal no restringida:

Luego de implementar el problema anterior en Solver de Excel obtenemos la coordenada (X,Y)=(175,00, 251,67) que determina una sumatoria de distancias totales de 66.266,67[u] que es levemente inferior a la obtenida a través del Método del Centroide donde la sumatoria de las distancias alcanza las 66.662,80[u].

Esta diferencia menor se explica por la relativa similitud de los resultados obtenidos a través de los 2 métodos según se aprecia en la siguiente representación gráfica:

Teorema Fundamental de la Programación Lineal

En el siguiente artículo abordaremos a través de una discusión conceptual y ejemplos prácticos y sencillos las propiedades que establece el Teorema Fundamental de la Programación Lineal. Estas propiedades son indispensables tener en consideración al momento de la resolución algorítmica de este tipo de modelos de optimización matemática, destacando entre ellos el Método Simplex como así también la resolución de modelos lineales a través del Método Gráfico.

Teorema Fundamental de la Programación Lineal

Cada problema de Programación Lineal en su forma estándar cumple con las siguientes tres propiedades:

Propiedad 1: “Si el problema no tiene solución óptima entonces es no-acotado o infactible”

Notar que un problema lineal con dominio de soluciones factible no acotado puede (o no) admitir solución óptima, es decir, el hecho de enfrentar un modelo de estas características no determina a priori la presencia (o ausencia) de solución óptima.

En la aplicación del Método Simplex se detecta un problema no acotado sin solución óptima cuando al realizar el cálculo de la variable que deja la base, todos los elementos y_kj de la columna j en la tabla, son negativos para j el índice de una variable no básica con costo reducido negativo. Por ejemplo consideremos el siguiente problema de Programación Lineal:

Luego de llevar a la forma estándar el modelo anterior, agregando X3 y X4 como variables de holgura para la restricción 1 y 2, respectivamente, se obtiene la siguiente tabla inicial.

X2 es una variable no básica con costo reducido negativo y en consecuencia la incorporamos a la base. Sin embargo no es factible calcular el criterio de factibilidad o mínimo cuociente debido a que las entradas en la columna de X2 son negativas o cero. Lo anterior deja en evidencia que el problema es no acotado sin solución óptima.

Por otra parte un modelo lineal es infactible (dominio de soluciones factibles vacío y por tanto no admite solución) si el valor de la función objetivo al finalizar la Fase I del Método Simplex de 2 Fases es distinto a cero.

Propiedad 2: “Si tiene una solución factible, tiene una solución básica factible”

Una propiedad básica de los modelos de Programación Lineal es que en caso de admitir solución óptima, ésta se encontrará necesariamente en un vértice o tramo en la frontera del dominio de soluciones factibles.

En este contexto en la aplicación del Método Simplex como estrategia algorítmica de resolución, se busca proveer soluciones que cumplan con Ax=b (restricciones de la forma estándar) y x≥0, definiendo una solución básica factible (no necesariamente óptima).

Por ejemplo en el siguiente gráfico que representa un modelo lineal en 2 variables se puede apreciar que los vértices A, B, C, D y E son soluciones básicas factibles.

Propiedad 3: “Si el problema tiene solución óptima, tiene una solución básica factible óptima”

Siguiendo con el ejemplo anterior el vértice C no sólo es una solución básica factible sino también una solución básica factible óptima. Si todos los costos reducidos (de las variables no básicas: S1 y S3) son mayores o iguales que cero y estamos en presencia de una solución básica factible (X=100, S2=400, Y=350 todas ≥0), se cumple con el criterio de parada del Método Simplex y en consecuencia la actual solución básica factible es óptima.

Como resolver un modelo de Programación Lineal con LINGO 14.0

LINGO es un popular software de optimización matemática para uso tanto académico como empresarial desarrollado por LINDO Systems Inc (quienes desarrollaron What’sBest!) que provee una alternativa para enfrentar el problema de modelamiento matemático e implementación computacional en una plataforma distinta a Excel (en contraste a los complementos que han tenido un lugar preferente en nuestro sitio como Solver, Premium Solver Pro, What’sBest! y OpenSolver).

En el siguiente artículo detallaremos cómo descargar e instalar el programa LINGO para luego utilizar éste en la resolución de un modelo de Programación Lineal con 2 variables de decisión. Dado lo anterior consideremos el siguiente problema:

Paso 1: Descarga e instalar la última versión disponible de LINGO desde la sección de descargas del sitio web de LINDO Systems. Se debe tener especial atención en seleccionar de forma correcta la versión compatible con nuestro sistema operativo (Windows o Linux) y la cantidad de bits asociado a dicho sistema. Para verificar este último aspecto te recomendamos leer el artículo “Cómo descargar e instalar la versión de Prueba de What’sBest! 11.1 en Excel 2010”. En dicho artículo se detalla adicionalmente el procedimiento de registro y activación de la licencia.

Paso 2: Una vez instalado LINGO en nuestro computador ejecutamos el programa y luego implementamos el modelo de optimización. El software es compatible con distintos tipos de sintaxis las cuales iremos abordando en próximos artículos en el Blog). Por el momento a continuación detallamos una notación intuitiva que nos permite representar nuestro ejemplo:

Una vez incorporado definido el problema ejecutamos el botón “Solve”:

Paso 3: Se obtienen los resultados para el modelo. La ventana “Lingo 14.0 Solver Status” detalla las características del problema: LP (Programación Lineal) con Valor Óptimo de 2.025.

El detalle de los resultados se aprecia en el informe de respuestas que genera el programa de forma automática. La salida computacional se muestra a continuación:

La Solución Óptima es A=60 y C=27,5 con Valor Óptimo V(P)=2.025. Notar adicionalmente que los resultados son consistentes con los que obtendríamos de utilizar Solver para este ejemplo y haciendo uso del Informe de Confidencialidad (Sensibilidad).

Con color verde destacamos el precio sombra de cada una de las restricciones del problema. Estos valores se identifican en la columna etiquetada “Dual Price” en el informe de resultados de LINGO en las Filas (Row) 2, 3 y 4, respectivamente.

Una representación gráfica del problema anterior con Geogebra nos permite corroborar los resultados anteriores de forma intuitiva, por ejemplo la restricción C<=50 no está activa, en consecuencia su precio sombra es igual a cero.