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Modelo de Localización y Transporte con Preferencias

Los modelos de optimización que integran decisiones de localización y transporte han sido materia de análisis detallado en nuestro sitio como se aborda en los artículos Optimización de una Red Logística de Transporte y Localización de Centros de Distribución y el Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte Multiperíodo, entre otros. En esta ocasión incorporaremos un concepto adicional a la problemática anterior a través de la incorporación de las preferencias de los clientes por ser abastecidos por determinados centros de oferta. A este problema lo llamaremos Modelo de Localización y Transporte con Preferencias de Clientes y a continuación describiremos un caso particular que permita visualizar una alternativa de formulación sencilla con su correspondiente implementación computacional.

Asumamos que cada cliente (demandante) ha manifestado su preferencia por ser abastecido por determinados oferentes (potenciales). En este contexto cada cliente elegirá siempre su mejor (menor) prioridad de las alternativas ofertas disponibles, es decir, de aquellas que se decidan instalar (localizar).

Consideremos los siguientes parámetros para el modelo:

Sea $C_{ij}$ el costo de abastecer al cliente j (para el total de su demanda) desde el centro de oferta i. Como se puede apreciar asumiremos que cada cliente debe ser abastecido por solo un oferente. Adicionalmente y para efectos de ilustración consideraremos 4 oferentes (potenciales) y 6 clientes.

Sea $K_{i}$ el costo de instalar el centro de oferta i. Por ejemplo, habilitar (localizar) el oferente 1 tiene un costo fijo de 3.500 unidades monetarias.

Sea $p_{ij}$ la preferencia que manifiesta el cliente j por ser abastecido por el oferente i. Asumiremos que un menor valor representa una mayor preferencia. Por ejemplo, el cliente 1 prefiere ser abastecido por los oferentes 4,1,3,2, respectivamente. En este sentido si se llegará, por ejemplo, solo a instalar el oferente 1 y 3, el cliente 1 debe ser abastecido del oferente 1 dado que de las 2 alternativas este oferente representa una mayor preferencia.

Dada las definiciones anteriores, el Modelo de Localización y Transporte con Preferencias de Clientes es el siguiente:

Donde $x_{i}$ es una variable binaria que adopta un valor 1 si se instala el centro (oferente) i (cero en caso contrario. Por otra parte $y_{ij}$ es una variable binaria que indica si el cliente j se abastece (exclusivamente) desde el oferente i (cero en caso contrario). Luego, la función objetivo representa la minimización de los costos de instalación de los oferentes y el transporte que se origina entre éstos y los clientes.

En cuanto a las restricciones tenemos:

(1) Determina que cada cliente sea abastecido desde un único centro de oferta.
(2) Los clientes pueden optar a ser abastecidos desde aquellos oferentes que hayan sido seleccionados.
(3) La preferencia de cada cliente corresponderá al promedio ponderado de columna correspondiente en la matriz de preferencias (asociada a dicho cliente) por la decisión de abastecimiento desde un oferente dado.
(4) Se impone a través de la preferencia calculada en (3) que cada cliente sea atendido por aquel oferente que le reporta la mayor satisfacción (menor puntuación en el ejemplo según lo descrito previamente).
(5) Las variables de decisión son binarias.

Luego de implementar en Solver el modelo de Programación Entera anterior se alcanzan los siguientes resultados:

Se observa que se instalan los centros de oferta 1, 2 y 4, que representa un costo de localización (total) de $9.000. En cuanto a las decisiones de distribución, el oferente 1 abastece al cliente 4; el oferente 2 abastece a los clientes 2 y 5 y finalmente el oferente 4 abastece a los clientes 1, 3 y 6. El costo total de transporte es de $12.062, de modo que el costo total es $21.062 (valor óptimo). Notar que cada cliente recibe los pedidos de su mejor alternativa posible (marcado con color verde). A continuación se encuentra disponible el archivo Excel con la implementación computacional del Modelo de Localización y Transporte con Preferencias para ser descargado.

[sociallocker]Localización y Transporte con Preferencias[/sociallocker]

Optimización de una Red Logística de Transporte y Localización de Centros de Distribución

Los problemas de optimización que modelan el desempeño de una red logística o cadena de suministro admiten distintas extensiones que permiten representar la particularidad de distintos escenarios. Es así como en el Blog hemos abordado anteriormente el Problema de Transporte que simplemente aborda el transporte de productos desde oferentes a demandantes al mínimo costo y una extensión al mismo como el Problema de Transporte con Transbordo que incorpora intermediarios en dicho proceso con un objetivo similar. En el siguiente artículo se propone un problema de transporte con transbordo que incorpora adicionalmente la decisión de utilizar centros de distribución que operan como intermediarios entre los oferentes (plantas) y los demandantes (mercados).

Una compañía tiene una red logística que consta de dos plantas y dos centros de distribución (CD). Una de las plantas tiene una capacidad de producción de 150.000 unidades semanales y la otra de sólo 95.000 unidades semanales. Por otra parte la capacidad de despacho en cada ruta es de 65.000 unidades semanales (por ejemplo de la primera planta al segundo CD no se pueden enviar más de 65.000 unidades, lo mismo ocurre desde cualquier CD a cualquier mercado).

La compañía debe entregar sus productos semanalmente en tres mercados diferentes con demandas de 50.000, 80.000 y 45.000, respectivamente (no considerar el valor de demanda de 35.000 para el Mercado 2 que se observa en la imagen a continuación). El siguiente diagrama muestra los costos unitarios de transporte entre las distintas ubicaciones (por ejemplo el costo de transportar una unidad de la planta 1 al centro de distribución 2 cuesta $5).

Existe un costo fijo semanal por concepto de arriendo asociado a utilizar un centro de distribución correspondiente a $2.000 y $3.000, para el centro de distribución 1 y 2, respectivamente. El pago de dicho costo fijo habilita al centro de distribución para recibir productos de las plantas y despachar productos a los mercados (en caso de no asumir el costo fijo de un centro de distribución, éste no se podrá utilizar).

Formule y resuelva un modelo de optimización que permita escoger la política de producción y transporte de los productos, además del arriendo de centros de distribución que minimice los costos totales.

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Se desea minimizar los costos totales asociados a la logística de transporte desde las plantas a los centros de distribución, como de éstos hacia los mercados. Adicionalmente los costos de arriendo de los centros de distribución que se decidan utilizar.

Restricciones:

Capacidad de Producción de las Plantas (Semanal): la cantidad de unidades que puede enviar cada planta a los distintos centros de distribución no puede superar la capacidad de producción de la respectiva planta.

Disponibilidad de los Centros de Distribución: un centro de distribución puede recibir unidades desde las plantas en la medida que se decida su utilización (arriendo). En dicho caso se podrá recibir como máximo 130.000 unidades (2*M), en caso contrario no recibe nada.

Demanda de los Mercados: cada mercado debe recibir las unidades que demanda semanalmente desde los centros de distribución.

Máximo a Despachar en cada Ruta: en cada ruta (combinación de transporte de una planta a un centro de distribución o de un centro de distribución a un mercado) no se podrá enviar más de 65.000 unidades (representado por el parámetro M).

Balance en los Centros de Distribución: la cantidad de unidades que recibe un centro de distribución desde las plantas debe ser igual a las unidades que éste envíe a los mercados.

No Negatividad: se debe respetar las no negatividad para las variables de decisión continuas que representan la logística de transporte (eventualmente se podría exigir adicionalmente que adopten valores enteros)

La implementación del problema anterior haciendo uso de OpenSolver, permite alcanzar los resultados que se observan a continuación:

En la solución óptima de este problema de red logística de transporte y localización de centros de distribución se deben arrendar los 2 centros de distribución. La planta 1 produce 110.000 unidades semanales de las cuales envía 65.000 al centro de distribución 1 y 45.000 unidades al centro de distribución 2. Por otra parte la planta 2 produce sólo 65.000 unidades las cuales envía en su totalidad al centro de distribución 2. El centro de distribución 1 envía 50.000 unidades al mercado 1 y 15.000 unidades al mercado 2 (en el caso del centro de distribución 2, éste envía 65.000 y 45.000 unidades al mercado 2 y 3, respectivamente). Se puede apreciar que se satisfacen las condiciones anteriormente expuestas y se minimiza el costo total semanal que corresponde a $790.000 (valor óptimo).

¿Quieres tener el archivo Excel con la implementación computacional en Solver de este ejemplo?

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MUCHAS GRACIAS!. DESCARGA AQUÍ EL ARCHIVO

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Método del Centroide aplicado a un Problema de Localización de Instalaciones

El Método del Centroide es una técnica para ubicar instalaciones que considera las instalaciones existentes, las distancias entre ellas y la cantidad de productos a transportar entre las mismas. Se suele suponer que los costos de envío o transporte de entrada y salida son iguales y no incluye costos de envío especiales.

La aplicación del Método del Centroide requiere ubicar las instalaciones existentes en un sistema de coordenadas. La elección de dicho sistema de coordenadas es completamente arbitraria, no obstante, actualmente son populares las medidas de longitud y latitud debido a la rápida adopción de los sistemas GPS. Sin perjuicio de lo anterior y con el objetivo de representar ejemplos sencillos se pueden utilizar coordinadas arbitrarias (X,Y).

El Centroide se encuentra calculando las coordenadas X e Y que dan como resultado el costo de transporte mínimo. Para ello se utilizan las fórmulas:

Donde:

Ejemplo Método del Centroide

Se desea determinar la ubicación óptima de una planta productiva (en adelante Planta E) mediante el Método del Centroide con respecto a otras 3 plantas demandantes a las cuales abastece de un cierto producto, que en lo sucesivo denotaremos por A, B y C y cuyas coordenadas (X,Y) son (150,75), (100,300) y (275,380), respectivamente. En este contexto, las plantas A, B y C requieren 6.000, 8.200 y 7.000 unidades anuales, respectivamente, las cuales serán transportadas desde la Planta E. Se supone una relación lineal entre los volúmenes enviados y los costos de envío (sin cargos adicionales).

Dada la información anterior calculamos las coordenadas en X e Y de la Planta E.

¿Minimizará la localización propuesta para la Planta E por el Método del Centroide la sumatoria de la distancia euclidiana respecto a las plantas demandantes A, B y C?. Para responder esta pregunta formulamos el siguiente modelo de Programación No Lineal no restringida:

Luego de implementar el problema anterior en Solver de Excel obtenemos la coordenada (X,Y)=(175,00, 251,67) que determina una sumatoria de distancias totales de 66.266,67[u] que es levemente inferior a la obtenida a través del Método del Centroide donde la sumatoria de las distancias alcanza las 66.662,80[u].

Esta diferencia menor se explica por la relativa similitud de los resultados obtenidos a través de los 2 métodos según se aprecia en la siguiente representación gráfica:

Solver, Premium Solver Pro y What’sBest! en la resolución del Problema de Localización y Transporte

¿Qué complemento de Excel es mejor para resolver un modelo de optimización: Solver, Premium Solver Pro o What’sBest!?. Esta consulta fue enviada por uno de nuestros seguidores de México y en este artículo trataremos de presentar algunos argumentos que permitan al lector formar una opinión al respecto. Para ello utilizaremos como caso aplicado la resolución del Problema de Localización y Transporte (Programación Entera Mixta). A continuación te presentamos los resultados que alcanzamos con Solver, Premium Solver Pro y What’sBest!.

Resolución con Solver: Se alcanza una solución factible con un costo total asociado de US$12.617.919.

Resolución con Premium Solver Pro: Se alcanza una solución factible con un costo total de US$12.414.340.

Resolución con What’sBest!: Se alcanza una solución factible con un costo total de US$12.414.340. Notar sin embargo que la solución óptima difiere de la alcanzada al implementar el modelo con Premium Solver Pro aun cuando tiene asociado idéntico valor de la función objetivo.

Comentarios: Se puede apreciar que la versión básica de Solver genera una solución factible con un costo mayor a la obtenida tanto con Premium Solver Pro y What’sBest!. Lo anterior sugiere la conveniencia de implementar este tipo de problemas con una herramienta de resolución mejorada. Adicionalmente, en la medida que un modelo de optimización crece en tamaño y complejidad es recomendable poder contrastar los resultados obtenidos con distintas herramientas de resolución de modo de tener una mayor claridad si las soluciones obtenidas son sólo factibles o eventualmente óptimas. A continuación encontrarás un tutorial que hemos subido a Youtube con la resolución del problema de localización y transporte.

Formulación de un Problema de Localización y Transporte (Programación Entera Mixta)

Un modelo de Programación Entera Mixta (PEM) es un híbrido entre la Programación Lineal (PL) y la Programación Entera (PE), es decir, corresponde a una categoría particular de modelamiento matemático con características similares a la Programación Lineal pero donde un subconjunto de las variables de decisión deben adoptar valores enteros o binarios. Este característica de la Programación Entera Mixta permite representar situaciones de naturaleza real como los problemas que consideran la inclusión de costos fijos. En este contexto el siguiente artículo aborda la formulación de un Problema de Localización y Transporte el cual se describe a continuación.

Una ciudad tiene 10 zonas o áreas urbanas cada una de los cuales genera una determinada cantidad de basura (en toneladas) durante el periodo de planificación según se describe a continuación:

La basura generada debe ser transportada a centros de depósitos o vertederos entre un total de 5 candidatos posibles, cada uno de los cuales tiene un costo fijo de construcción en dólares.

Adicionalmente se ha estimado el costo de transportar una tonelada de basura desde una zona a cada uno de los potenciales centros de depósito, el cual depende básicamente de la distancia a recorrer y el tipo de transporte seleccionado.

Formule un modelo de Programación Entera Mixta que permita seleccionar los centros de depósito a construir y la política de transporte de basura que minimiza los costos totales.

1. Variables de Decisión: Sea i=1,…,10 las Zonas y j=1,…,5 los Depósitos:

2. Función Objetivo: Con el propósito de trabajar con una notación compacta podemos definir el siguiente conjunto de parámetros para el modelo de optimización:

Tij: Costo de transportar una tonelada de basura desde la Zona i al Depósito j
Fj: Costo fijo de construcción del Depósito j

La función objetivo en consecuencia se puede representar a través de la siguiente expresión:

3. Restricciones:

Se debe despachar (transportar) la totalidad de la basura que genera cada Zona (definimos para ello el parámetro Ai como la cantidad de basura en toneladas que genera la Zona i).

Se debe respetar la capacidad de almacenamiento de basura para cada Depósito, utilizándolo sólo en caso que se decida su construcción. Para ello definimos el parámetro Cj como la capacidad de almacenamiento de basura en toneladas del Depósito j. Lo anteriormente expuesto explica la ponderación de la capacidad por la variable binaria para cada j.

Finalmente establecemos condiciones de no negatividad para Xij>=0 Para todo i,j y Yj{0,1} para todo j.

¿Quieres saber cuál es la solución de este problema?. Te recomendamos leer el siguiente artículo: Solver, Premium Solver Pro y What’sBest! en la resolución del Problema de Localización y Transporte.