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Cómo enfrentar una Solución Infactible obtenida con el Método Húngaro

En algunos casos los ceros que se producen en los Pasos 1 y 2 del Método Húngaro no producen una solución factible en forma directa, es decir, la asignación alcanzada es infactible. En este caso se necesitan más pasos para alcanzar la asignación óptima (factible). Para ilustrar esta situación consideremos el siguiente ejemplo que consiste en la asignación a costo mínimo de 4 ingenieros a 4 tareas, donde cada ingeniero debe desempeñar exactamente una tarea:

ingenieros-y-tareas

Al aplicar los Pasos 1 y 2 del Método Húngaro se obtiene la siguiente matriz reducida:

ejemplo-metodo-hungaro

Notar que los elementos cero (marcados con color azul) no permiten asignar una tarea por ingeniero. Por ejemplo, si se asigna el ingeniero 1 a la tarea 1, se eliminará la columna 1, y el ingeniero 3 no tendrá elemento cero en las tres columnas restantes. Para solucionar este obstáculo se agrega el siguiente paso al procedimiento:

Paso 2a: Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los elementos cero) con los Pasos 1 y 2.

  • Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubran todos los elementos cero.

  • Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos líneas.

  • Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos cero que resulten, repetir el Paso 2a. En caso contrario, seguir en el Paso 3 para determinar la asignación óptima.

Al aplicar el Paso 2a a la matriz reducida presentada anteriormente, se obtienen las celdas color amarillo según se aprecia a continuación:

paso-2a-metodo-hungaro

La celda de valor mínimo sin fondo amarillo es igual a $1 (destacada con color rojo). Este elemento se resta de todas las celdas sin fondo amarillo y se suma a a las celdas de las intersecciones (destacadas con color azul).

resultado-metodo-hungaro

La solución óptima (por cierto factible) se ha marcado con fondo azul: el ingeniero 1 realiza la tarea 1, el ingeniero 2 la tarea 3, el ingeniero 3 la tarea 2 y el ingeniero 4 la tarea 4 . El costo total (valor óptimo) de esta asignación es $1+$10+$5+$5=$21.

El Método Húngaro como Algoritmo de Solución del Modelo de Asignación

Un caso típico de un modelo de asignación es aquel que considera la asignación de trabajadores de distintos niveles de capacitación a puestos de trabajo. Naturalmente un puesto que coincide con los conocimientos de un trabajador cuesta menos que uno en el que el trabajador no es tan hábil. El objetivo del modelo es determinar la asignación de costo mínimo de trabajadores a puestos.

Consideremos un problema con n trabajadores que deben ser asignados a n puestos de trabajo. Sea x_{ij} el costo de asignar al trabajador i al puesto j. Asumamos adicionalmente que cada trabajador debe realizar exactamente un trabajo. Notar que no existe pérdida de generalidad en asumir que la cantidad de trabajadores es igual a la cantidad de puestos, porque siempre se pueden agregar trabajadores o puestos ficticios para obtener esa condición.

El Método Húngaro consta de los siguientes pasos:

Paso 1: En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada fila y restarlo de todos los elementos de la fila.

Paso 2: En la matriz que resulte del Paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.

Paso 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el Paso 2.

A continuación presentaremos un ejemplo que muestra la aplicación del Método Húngaro que nos permite decidir la asignación de trabajadores a puestos de trabajo.

Ejemplo Método Húngaro

Un equipo de 3 ingenieros debe ser asignado para la realización de 3 tareas, donde cada ingeniero debe hacer una tarea. Se requiere encontrar la asignación de costo mínimo para lo cual se dispone de los costos asociados a que el ingeniero i realice la tarea j. Por ejemplo, c_{11}=15 representa el costo correspondiente a que el ingeniero 1 asuma la tarea 1.

tabla-ingenieros-y-tareas

Aplicar el Método Húngaro para encontrar una asignación óptima de los ingenieros a las tareas.

El Paso 1 del Método Húngaro requiere identificar el valor mínimo de cada fila. En el caso de la fila 1 dicho valor es $9 siendo el costo de que el ingeniero realice la tarea 3. En particular si se dispone de un problema de mayor tamaño, hacer uso de Excel facilita los cálculos tal como se muestra en la siguiente imagen:

minimo-fila-hungaro

A continuación se resta el mínimo de cada fila a cada uno de los valores de la fila respectiva, para obtener la matriz reducida:

matriz-reducida-metodo-hung

La aplicación del Paso 2 produce los mínimos de cada columna según se observa en la tabla anterior. Al restar esos valores de las columnas respectivas se obtiene la siguiente matriz reducida:

solucion-metodo-hungaro

Las celdas con valor cero y color azul son la solución óptima. En consecuencia el ingeniero 1 realiza la tarea 2, el ingeniero 2 asuma la tarea 1 y el ingeniero 3 la tarea 3. Cada ingeniero realiza exactamente una tarea y el costo total de dicha asignación (valor óptimo) es de $9+$10+$8=$27. Los pasos presentados del Método Húngaro para el ejemplo anterior funcionaron bien debido a que los elementos cero de la matriz anterior permite una asignación factible de ingenieros a tareas (en el sentido que las tareas se asignan de forma única a los ingenieros). No siempre esto es posible lograr una solución factible en la aplicación caso en el cual se requiere pasos adicionales para la aplicación del método.