mezcla de productos Archivos - Gestión de Operaciones

Optimización de la Mezcla de Combustibles en una Refinería

El siguiente problema representa la optimización de la mezcla de combustibles en una refinería con el propósito de maximizar los beneficios asociados a su explotación. En este contexto este caso constituye una variante o extensión del Ejemplo de un Problema de Mezcla de Productos en Programación Lineal y otros conceptualmente similares como el Problema de Producción de Mezcla de Café, entre otros. A continuación los antecedentes de nuestro caso de estudio:

Problema de Mezcla de Combustibles

Una refinería compra 4 tipos de gasolinas no refinadas con las cuales puede fabricar hasta 3 tipos de combustibles para venta al público. La información se resume en la siguiente tabla:

Por ejemplo, la Gasolina No Refinada Tipo 1 tiene 68 Octanos y se dispone de un máximo de 4.000 barriles diarios, donde cada uno de estos barriles se compra a 23 Euros. Así mismo, por ejemplo, el Combustible 1 requiere un mínimo de 95 Octanos y su precio de venta es de 45 Euros el barril. Para el Combustible 1 en particular se establece un máximo de producción de 10.000 barriles diarios.

La refinería puede vender adicionalmente la gasolina no refinada a un precio de 39 Euros el barril si ésta tiene un octanaje mayor o igual a 90 Octanos. Alternativamente el precio de venta se reduce a 37 Euros el barril si el octanaje es inferior a 90 Octanos.

Formule un modelo matemático de Programación Lineal para ayudar a la refinería a maximizar sus ganancias diarias.

Variables de Decisión: Cada tipo de gasolina sin refinar tiene 4 usos posibles: ser vendida directamente o ser utilizada como insumo para producir Combustible tipo 1, 2 y 3.

Función Objetivo: Se desea maximizar la ganancia asociada al proceso de mezcla y venta de combustibles. Con verde se destaca los ingresos asociados a la venta de los 3 tipos de combustibles, con celeste los ingresos que provienen de la venta de gasolinas sin refinar y con color amarillo se descuentan los costos asociados a la compra de las gasolinas sin refinar.

Restricciones:

Disponibilidad de barriles diarios: Cada gasolina no refinada tiene 4 usos posibles: venta directa o como mezcla para elaborar combustible 1, 2 o 3. En cualquier caso su uso no podrá superar el máximo de barriles disponibles.

Octanaje mínimo: El octanaje de la mezcla de cada uno de los 3 combustibles (obtenido como un promedio ponderado de los octanajes de las respectivas gasolinas) debe al menos igualar el requerimiento mínimo establecido en este aspecto.

Límites de venta: No se puede vender más de 10.000 barriles diarios de Combustible 1 y adicionalmente no se puede vender menos de 15.000 barriles diarios de Combustible 3.

No negatividad: Las variables de decisión deben adoptar valores no negativos.

Obtenga la solución óptima y valor óptimo para el modelo utilizando Solver de Excel. Comente brevemente las características de la solución obtenida.

La solución óptima se observa en las celdas con color amarillo de la imagen anterior. Notar que no se produce Combustible tipo 2 y que el Combustible 3 se produce a máxima capacidad. La utilidad o valor óptimo es de 285.509,26 euros.

Analice las siguientes variantes del problema, explicando los resultados:

Aumento de la disponibilidad de la Gasolina No Refinada Tipo 4 a 5.000 barriles por día.

En este caso el valor óptimo aumenta en 10.629,63 euros en relación al valor óptimo original. El Precio Sombra de la restricción de disponibilidad de barriles diarios para la gasolina 4 (disponible en el archivo para descarga al final de este artículo) es de aproximadamente 15,185 con un aumento permisible para el lado derecho de 3.662,5 barriles (diarios). Luego un incremento en la disponibilidad de gasolina 4 en 700 barriles diarios genera una utilidad adicional del 700*15,185=10.629,5 (la diferencia con los 10.629,63 euros es sólo por efecto de la aproximación de decimales).

Aumento de los costos de las gasolinas con un octanaje menor a 90 en un 10%.

En este caso no se observa un cambio en la solución óptima en comparación al escenario inicial, no obstante las utilidades se ven reducidas dado el aumento en el costo de las gasolinas 1 y 2 (aquellas que tienen un octanaje inferior a 90 puntos).

Aumento de la demanda del Combustible 3 en 2.000 barriles diarios.

Este caso representa una merma en cuanto a las utilidades al ser más restrictivo que el problema original. Notar que ahora no se asignan gasolinas para venta directa y que también disminuye la cantidad de barriles diarios a fabricar del Combustible 1, llegado a 3.450.

¿Quieres tener la resolución en Solver de Excel de este modelo de optimización?

[sociallocker]Problema Refinación de Combustibles[/sociallocker]

Problema de Producción y Mezcla de Café en Programación Lineal

Como hemos abordado anteriormente en el Blog, los modelos de Programación Lineal constituyen una alternativa metodológica para enfrentar Problemas de Mezcla de Productos. En este contexto a continuación presentamos la formulación de un modelo de optimización lineal junto a su implementación computacional haciendo uso de Solver de Excel el cual fue enviado por uno de nuestros usuarios de Costa Rica.

Problema de Producción y Mezcla

Una firma de café produce dos tipos de mezclas: suave y suavísimo. En la planta se cuenta con:

Por ejemplo, el costo por libra del café colombiano es $52, el cual contiene 2,5% de cafeína y se dispone de 20.000 libras para la producción de mezclas. Adicionalmente los productos que se comercializan en el mercado son:

Es decir, la mezcla suave se vende a $72 la libra, con una demanda de 35.000 libras y puede contener como máximo un 2,2% de cafeína.

Variables de Decisión:

Donde i=1,2,3 representa los países de origen Colombia, Brasil y México, respectivamente y j=1,2 la mezcla Suave y Suavísimo, respectivamente.

Función Objetivo:

Se busca maximizar la ganancia (diferencia entre los ingresos menos los costos) asociada al plan de producción y venta de las mezclas de café. Con color amarillo se destaca los ingresos por venta correspondientes a las variedades Suave y Suavísimo y en color verde los costos asociados a la utilización de libras de café colombiano, brasileño y mexicano.

Restricciones:

Disponibilidad de Café: para cada país de origen la cantidad de libras utilizadas para el proceso de mezcla no debe superar la disponibilidad.

Demanda de Mezclas: se debe satisfacer la demanda de cada mezcla de café a través de la asignación de las variedades provenientes de los 3 países de origen.

Porcentaje Máximo de Cafeína: cada mezcla no debe superar un porcentaje máximo de cafeína admitido.

No Negatividad: naturalmente las variables de decisión deben satisfacer las condiciones de no negatividad y se permiten valores fraccionarios: $X_{ij}\geqslant 0$ .

Al implementar el modelo de Programación Lineal anterior haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo:

La ganancia total (valor óptimo) es de $1.385.000, la cual se obtiene al asignar 20.000 libras de café Colombiano para la producción de la variedad Suave, 25.000 libras de café Brasileño para la producción de la mezcla Suavísimo y 15.000 libras de café Mexicano para la producción de la variedad Suave (solución óptima).

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

[sociallocker]

MUCHAS GRACIAS!. DESCARGA AQUÍ EL ARCHIVO

[/sociallocker]

Problema de Explotación de Minas y Transporte de Carbón a Puertos

Es frecuente reconocer en los problemas de optimización que representan una estructura productiva, un componente de costo fijo asociado a la utilización de un recurso (dentro de un intervalo de producción relevante) y un costo variable que que asume proporcional al nivel de actividad que represente la unidad productiva (por ejemplo, lo que se refiere a costos de producción, costos de transporte en una red logística, entre otros). Por ejemplo, el Problema de Inclusión de Costos Fijos en Programación Entera representa una situación muy sencilla de lo anteriormente descrito.

En este contexto a continuación se presenta un problema de operación de minas de carbón que su simple utilización tiene asociado un costo fijo, además de incurrir en costos variables por concepto de producción y transporte a distintos puertos demandantes, que adicionalmente tienen requerimientos particulares sobre la calidad del producto recepcionado.

Problema de Explotación de Minas y Transporte

La compañía ABC puede explotar hasta tres minas de carbón y debe realizar envíos a tres puertos. El costo por tonelada de producción (en dólares), el costo fijo de operación en dólares (en caso de ser utilizada), los contenidos de una cierta clase de ceniza y de sulfuro por tonelada y las capacidades de producción (en toneladas de carbón) se resumen en la siguiente tabla:

Por su parte, las toneladas demandadas que deben ser enviadas a cada puerto, conjuntamente con los costos de transporte (en dólares por tonelada) se dan en la siguiente tabla:

Formule y resuelva un modelo de optimización que permita determinar la eventual operación de cada mina y sus niveles de producción, de modo de satisfacer los requerimientos de demanda y que las cantidades enviadas a cada puerto contenga a los más un 4,5% de ceniza y a lo más un 3% de sulfuro.

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Se desea minimizar los costos asociados a la explotación de las minas, el costo de producción del carbón y los costos de transporte del carbón enviado desde las minas a los puertos.

Restricciones:

Capacidad de Producción de las Minas: cada mina puede operar a su capacidad máxima de producción para abastecer los requerimientos de los distintos puertos en caso en que se decida realizar funciones de explotación en la misma.

Demanda de Carbón los Puertos: cada puerto debe recibir la cantidad de toneladas de carbón que demanda.

Máximo Porcentaje de Ceniza admitido por cada Puerto: cada puerto esta dispuesto a recibir como máximo un 4,5% de ceniza en los envíos de carbón que recibe desde las minas. En este caso se expresa dicha condición de forma general a través de parámetros.

Máximo Porcentaje de Sulfuro admitido por cada Puerto: similar al caso anterior pero estableciendo un límite máximo al porcentaje de sulfuro que admite cada puerto (en el ejemplo un 3%).

No Negatividad: las toneladas producidas en las minas y transportadas a los puertos naturalmente deben satisfacer las condiciones de no negatividad.

A continuación de presenta un extracto de la implementación computacional del modelo anterior haciendo uso de Solver de Excel junto a un tutorial de nuestro canal de Youtube con los detalles de la resolución:

Se puede observar que sólo se utilizan las minas 1 y 3. La mina 1 envía 35, 45 y 30 toneladas al Puerto 1, 2 y 3, respectivamente. En el caso de la mina 3, ésta envía 35, 35 y 30 toneladas a los Puertos 1, 2 y 3, respectivamente. La demanda en toneladas de carbón es satisfecha en los puertos y se respeta adicionalmente la capacidad máxima de producción de las minas. Adicionalmente se puede observar en color verde el porcentaje de ceniza o sulfuro (según sea el caso) que recibe cada puerto lo cual satisface las condiciones expuestas. Finalmente el valor óptimo, es decir, el costo mínimo asociado al plan de producción y transporte descrito es de 14.550 dólares.

¿Quieres tener el archivo Excel con la implementación computacional de este problema?

[sociallocker]

MUCHAS GRACIAS!. DESCARGA AQUÍ EL ARCHIVO

[/sociallocker]

Formulación de un Problema de Aleaciones de Metales resuelto con Solver de Excel

Los modelos de Programación Lineal constituyen una excelente herramienta para representar Problemas de Mezcla de Productos en los cuales se asume que la calidad de la mezcla final en términos de los atributos propios de sus componentes, será proporcional a la participación de los insumos. En este contexto, el siguiente problema representa la situación de una empresa metalúrgica que debe determinar la combinación óptima de distintas aleaciones de metales que le permita configurar una nueva aleación a un costo mínimo. Por cierto se asume que el supuesto básico de la Programación Lineal asociado a la proporcionalidad es admisible.

Problema de Aleaciones de Metales

Una empresa metalúrgica desea fabricar 100 kilos de una nueva aleación que contenga no más de un 45% de Cobre, no menos de un 30% de Acero y un 20% de Estaño a partir de cuatro aleaciones que tienen las siguientes propiedades:

Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal que permita determinar el porcentaje de cada una de las aleaciones debe contener la nueva aleación, de forma que resulte a un mínimo costo.

Variables de Decisión: Se propone definir la cantidad de kilogramos que representará cada una de las 4 aleaciones originales en la nueva aleación. Análogamente se puede definir como variables de decisión el porcentaje que representa cada aleación (original) respecto a la nueva aleación.

Función Objetivo: Se desea minimizar el costo asociado a la utilización de las distintas utilizaciones.

Restricciones: El valor que adopten las variables de decisión previamente definidas deben satisfacer las condiciones que establecen las siguientes restricciones.

Kilogramos a Producir de la Nueva Aleación: Se deben producir 100 kilogramos de la nueva aleación.

Máximo Porcentaje de Cobre: La nueva aleación debe contener como máximo un 45% de cobre.

Mínimo Porcentaje de Acero: La nueva aleación debe contenemos como mínimo un 30% de acero.

Porcentaje de Estaño: La nueva aleación debe tener exactamente un 20% de estaño.

No Negatividad: Naturalmente las variables de decisión deben adoptar valores mayores o iguales a cero.

A continuación se muestra un extracto de los resultados computacionales luego de hacer uso de Solver de Excel.

La solución óptima consiste en $X_{1}=25, X_{2}=0, X_{3}=25, X_{4}=50$ , con valor óptimo $V(P)=1.375.000$ . Dicha solución representa 100 kilogramos de la nueva aleación (que en efecto corresponde a la sumatoria de la cantidad de kilos que representa cada variable) donde la nueva aleación tiene un 45% de cobre, un 35% de acero y un 20% de estaño.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver del Problema de Aleaciones de Metales presentado en este artículo?

[sociallocker]

MUCHAS GRACIAS!. DESCARGA AQUÍ EL ARCHIVO

[/sociallocker]

Ejemplo de un Problema de Mezcla de Productos en Programación Lineal

Una de las aplicaciones clásicas de los modelos de Programación Lineal son los problemas de mezcla de productos. Si la calidad de un producto que se procesa mediante la mezcla de determinados insumos se puede aproximar de forma razonable a través de una proporción, entonces un modelo de optimización lineal puede resultar de utilidad. El ejemplo a continuación muestra dicha situación para el caso de una refinería:

Problema de Mezcla de Productos en Programación Lineal

Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, las cuales vende a los distribuidores en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan a partir del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene la empresa (es decir mediante mezcla), las que deben cumplir las especificaciones que se presentan en la siguiente tabla:

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita maximizar el ingreso semanal de la refinería, satisfaciendo los requerimientos previamente detallados.

Variables de Decisión:

Xnr: Barriles de petróleo nacional utilizados en la producción de gasolina regular
Xne: Barriles de petróleo nacional utilizados en la producción de gasolina extra
Xir: Barriles de petróleo importado utilizados en la producción de gasolina regular
Xie: Barriles de petróleo importado utilizados en la producción de gasolina extra

Función Objetivo: Se busca maximizar los ingresos semanales que percibe la refinería en la producción de gasolina regular y extra.

Max 12*(Xnr + Xir) + 14*(Xne + Xie)

Restricciones:

Presión de Vapor: El promedio ponderado de la presión de vapor de los distintos tipos de petróleos que participan de la mezcla no debe superar las 23 unidades (para cada tipo de gasolina).

(25Xnr + 15Xir ) / (Xnr + Xir) <= 23
(25Xne + 15Xie ) / (Xne + Xie) <= 23

Octanaje Mínimo: El promedio ponderado del octanaje de los distintos tipos de petróleos que participan de la mezcla debe ser al menos 88 y 93 unidades para la gasolina regular y extra, respectivamente.

(87Xnr + 98Xir ) / (Xnr + Xir) >= 88
(87Xne + 98Xie ) / (Xne + Xie) >= 93

Demanda Mínima y Máxima: Para cada gasolina se debe producir semanalmente una cantidad de barriles entre el mínimo y el máximo permitido.

50.000 <= Xnr + Xir <= 100.000
5.000 <= Xne + Xie <= 20.000

Inventario: Para la producción de gasolina regular y extra se debe respetar la disponibilidad de barriles de petróleo nacional e importado.

Xnr + Xne <= 40.000
Xir + Xie <= 60.000

No Negatividad: Las variables de decisión naturalmente deben adoptar valores mayores o iguales a cero.

Xnr, Xne, Xir, Xie >= 0

Al implementar el modelo de optimización anterior en Solver se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo:

Se deben destinar 30.909,09 barriles de petróleo nacional para la producción de gasolina regular, 9.090,91 barriles de petróleo nacional para la producción de gasolina extra, 49.090,91 barriles de petróleo importado para la producción de gasolina regular y 10.909,09 barriles de petróleo importado para la producción de gasolina extra. La política de producción anterior permite generar un ingreso semanal de US$1.240.000.

Una recomendación en la carga computacional es rescribir las restricciones que incluyan proporciones de forma equivalente, de modo de evitar divisiones entre celdas cambiantes (variables de decisión) y adicionalmente denominadores que adopten inicialmente un valor igual a cero. Por ejemplo la restricción: (25Xnr + 15Xir ) / (Xnr + Xir) <= 23 se puede representar de forma análoga de la siguiente forma: (25Xnr + 15Xir ) -23 (Xnr + Xir) <= 0. De esta forma se puede corrobar, por ejemplo, que en la solución óptima la presión de vapor que alcanza la producción de barriles de gasolina regular es de: (25*30.909,09 + 15*49.090,91 ) / (30.909,09 + 49.090,91)=18,8636 (aprox) que es menor o igual al límite de 23 unidades.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

[sociallocker]Problema Mezcla de Productos[/sociallocker]