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Cálculo de la Probabilidad de Aceptación de Lotes Productivos en la Evaluación de Proveedores

Los criterios para la evaluación de proveedores son múltiples y en particular los procedimientos que se utilizan para discriminar si un lote productivo se acepta o rechaza son críticos para garantizar la calidad de los insumos sobre los cuales se desarrollará un proceso productivo. En el siguiente artículo se presenta un ejemplo que consiste en la comparación de 2 proveedores en términos de la probabilidad de aceptación de lotes para distintos planes de muestreo, en conjunto con una estimación de la calidad promedio a la salida AOQ (Average Outgoing Quality) luego de la rectificación de las unidades no conformantes en cada caso.

Cálculo de la Probabilidad de Aceptación de Lotes Productivos

Usted está considerando la evaluación de 2 proveedores que le ofrecen uno de los principales insumos para su proceso productivo. El proveedor A, entrega lotes de 2.000 unidades, con un número promedio histórico de defectuosos por lote de 50 unidades. El proveedor B, entrega lotes de 4.000 unidades, teniendo un número histórico de defectuosos de 120 unidades por lote.

Al primer proveedor se le aplica un plan de muestreo simple de n=30 y c=2, es decir, se toma una muestra aleatoria de 30 unidades y se decide aceptar el lote si el número de unidades defectuosas detectadas es menor o igual a 2.

Al segundo proveedor se le aplica un plan de muestreo según norma MIL-STD-105, nivel riguroso y con una calidad media aceptable, AQL de 1%.

Se sabe que el costo de inspección es de $100 por unidad, independiente del proveedor que se tenga, mientras que el costo por artículo fallado que pasa la inspección es de $1.500, el cual está compuesto principalmente por garantías efectivas, las cuales no implican la reposición del producto sino su reparación.

Determine la probabilidad de aceptación del lote para ambos planes de muestreo, dados los tamaños de muestra elegidos, además de establecer las diferencias generadas en términos de calidad promedio de salida del lote.

En relación a la información anterior se tiene que para el Proveedor A el porcentaje promedio de defectuosos según el registro histórico es p=50/2.000=2,5% y para el Proveedor B es p=120/4.000=3,0%.

Para determinar la probabilidad de aceptación de un lote proveniente del Proveedor A utilizamos la Distribución de Poisson dado que se cumplen los requisitos para su aplicación, a saber: n>15 ; p<10% ; N>10*n. Luego podemos hacer uso de Excel para obtener la probabilidad de aceptación del lote dada por la fórmula =POISSON(2;0,75;VERDADERO), donde c=2 corresponde al número de aceptación y 0,75 a n*p (30*0,025).

En el caso del Proveedor B se utiliza Military Standard 105D (conocido también por MIL-STD-105) donde el plan de muestreo esta dado por:

Notar que se considera nivel riguroso, con un tamaño de lote en el intervalo entre [3.201,10.000] unidades y AQL de 1%. El código asociado a este plan de muestreo es M que determina un tamaño de muestral de 315 unidades y un número de aceptación c=7. Esto se puede corroborar con algunas herramientas online para el cálculo del tamaño del lote utilizando la norma MIL-STD-105 como se observa a continuación:

En resumen la probabilidad de aceptación para ambos proveedores es:

Además:

Ambos valores calculados como Pa*p en vista de que N>>n. Por lo tanto, la inspección realizada al Proveedor B tendrá una mejor calidad promedio a la salida luego de la rectificación. Lo anterior se debe principalmente a la baja probabilidad de aceptación de estos lotes debido a un muestreo más riguroso, lo cual aumenta la calidad de los lotes efectivamente recibidos.

Efecto de cambios en el Número de Aceptación en la Curva Característica de Operación

En la construcción de una Curva Característica de Operación asociada a un plan de muestreo, resulta de interés sensibilizar los resultados frente a variaciones de los parámetros que determinan la probabilidad de aceptación del lote para distintos valores de calidad a la entrada. En este artículo abordaremos el caso donde se modifica el número de aceptación c el cual establece el límite máximo de unidades defectuosas que se esta dispuesto a aceptar en la inspección de un lote productivo.

Consideremos el ejemplo que representa un plan de muestreo simple que se aplica a un lote de N=1.200 unidades, sobre las cuales se toma una muestra aleatoria de n=100 unidades. Nos interesa evaluar el impacto en la probabilidad de aceptación del lote para distintos niveles de porcentajes de defectuosos a la entrada, asumiendo tres escenarios para los números de aceptación c: 4 (curva roja), 6 (curva azul) y 8 (curva verde) unidades.

Se observa que en la medida que aumenta el valor de c (número de aceptación) manteniendo el resto de los parámetros constantes, aumenta también la probabilidad de aceptación del lote. Esto se refleja en las Curvas Características Operativas en un desplazamiento hacia la derecha en relación a planes de muestreos con valores de c más pequeños (restrictivos). Dicho resultado queda de manifiesto en las siguientes tablas resumen generadas en Excel.

Por ejemplo si consideramos en cada uno de los 3 escenarios una porcentaje de unidades defectuosas a la entrada de un 2% entonces la probabilidad de aceptación del lote para valores de c igual a 4, 6 y 8 unidades será un 94,73%, 99,55% y 99,98%, respectivamente.

Cómo construir una Curva Característica de Operación (CO) con Excel

La Curva Característica de Operación (o Curva Característica Operativa) consiste en una representación gráfica que muestra para un plan de muestreo específico (n,c) la probabilidad de aceptación del lote, para varios valores de calidad del lote a la entrada p (% de unidades defectuosas). Una Curva Característica de Operación tendrá entre sus puntos uno definido por el NCA y 1-α y otro punto definido por PTDL y β.

Para determinar la probabilidad de aceptación de un lote, se pueden utilizar las distribuciones Binomial o Poisson. Cuando el tamaño de la muestra es al menos 15 unidades (n>15), el tamaño del lote es al menos 10 veces el tamaño de la muestra (N>10*n) y el porcentaje de unidades defectuosas históricamente es menor a un 10% (p<10%), es preferible la Distribución de Poisson debido a la facilidad de los cálculos.

Consideremos el siguiente ejemplo: Un fabricante de pistones para motocicletas comenzará a vender diariamente 1.200 unidades para un nuevo cliente. Este último determina condiciones contractuales para la inspección del lote diario, especificando que tomará muestras de 100 unidades (n=100) y que sólo aceptará los pedidos con 4 o menos defectos (c=4). El fabricante menciona en el contrato, que históricamente ha obtenido un porcentaje defectivo del 2% (p=2%). Determinar la probabilidad de aceptación del lote por parte del cliente.

Para determinar la probabilidad de aceptación del lote podemos utilizar la siguiente fórmula haciendo uso de una planilla de cálculo Excel: =POISSON(4;100*2%;VERDADERO). En consecuencia la probabilidad de aceptación del lote por parte del cliente es de un 94,73% (aproximado).

Una alternativa a Excel para estos efectos es hacer uso de la herramienta de cálculo de probabilidades del software Geogebra donde se debe ingresar los parámetros de la distribución µ (equivalente a n*p=100*2%=2) y el valor correspondiente al número de aceptación c (en la imagen c=4).

De esta forma se puede extender el procedimiento calculando la probabilidad de aceptación del lote Pa para distintos valores de calidades a la entrada p. Un extracto de ello se presenta en la siguiente tabla:

A continuación se construye un gráfico con la Curva Característica de Operación. Se ha destacado con una etiqueta color amarillo el dato que hemos calculado previamente.

En un próximo artículo discutiremos el impacto que tiene en el plan de muestreo y en particular en la Curva Característica de Operación un cambio en el tamaño de la muestra o un cambio en el número de aceptación.

Cómo determinar el Tamaño de la Muestra y el Número de Aceptación en un Muestro de Aceptación

Un muestreo de aceptación simple esta definido por el número de unidades en la muestra n y el número de aceptación c. El tamaño de la muestra n puede variar entre una unidad hasta incluso todos los artículos del lote (que en general se representa por N). En tanto el número de aceptación c determina el número máximo de artículos defectuosos que se pueden encontrar en una muestra antes de rechazar el lote.

En este contexto determinar los valores de n y c es un asunto crítico en todo muestreo de aceptación. Dichos valores se obtienen mediante la interacción de 4 factores, a saber: NCA (Nivel de Calidad Aceptable o AQL: Acceptable Quality Level), α, PTDL (Porcentaje de Tolerancia de Defectos en el Lote o LTPD: Lot Tolerance Percent Defective) y β.

Por una parte al fabricante le interesa que el plan de muestreo tenga una probabilidad baja de rechazar lotes buenos. En tanto el objetivo del consumidor es asegurarse que el plan de muestreo tenga una probabilidad baja de aceptar lotes malos. Se considera que los lotes son de alta calidad si contienen no más de un nivel específico de unidades defectuosas (NCA). Por el contrario un lote es de baja calidad si el porcentaje de defectos es mayor que una cantidad específica (PTDL).

La probabilidad asociada con el rechazo de un lote de alta calidad o α se conoce como riesgo del productor. Análogamente la probabilidad relacionada con la aceptación de un lote de baja calidad o β es el riesgo del consumidor.

Consideremos la siguiente adaptación de un ejemplo extraído del Libro Administracion De Operaciones de Chase, Jacobs y Aquilano (Duodécima Edición).

Una empresa fabrica scaners de radar que se utilizan para detectar trampas de velocidad. Las tarjetas de circuito impreso de los scaners se comprar a un distribuidor externo. El distribuidor produce las tarjetas con un NCA de un 2% y está dispuesto a correr un riesgo de un 5% (α) de que se rechacen lotes con este nivel o menor número de defectos. La empresa considera inaceptables los lotes con 8% o más defectos (PTDL) y quiere asegurarse de que aceptará esos lotes de baja calidad no más del 10% de las veces (β). Se acaba de entregar un lote grande. ¿Qué valores de n y c se deben seleccionar para determinar la calidad de este lote?.

Los parámetros del problema son NCA=2%, α=5%, PTDL=8% y β=10%. A continuación para determinar n y c consideramos un extracto de una tabla de un plan de muestreo para α=5% y β=10%.

En primer lugar se divide PTDL/NCA=8%/2%=4. A continuación en la columna 2 de la tabla anterior se busca la razón que se mayor o igual al cuociente 4. Este valor es 4,057 que está asociado a c=4. Finalmente encontrar el valor en la columna 3 que está en la misma fila que c=4 y luego dividir es cantidad entre NCA para obtener n (1,970/2%=98,5). En consecuencia el plan de muestre apropiado es (n,c)=(99,4).

Para determinar la eficiencia del plan de muestreo al discriminar entre lotes buenos y malos para valores intermedios se propone construir una Curva Característica de Operación (CO). Estas curvas son únicas para cada combinación de n y c e ilustran la probabilidad de aceptar lotes con diversos porcentajes de defectos.

Por ejemplo si el porcentaje de defectos es de un 2% (NCA) la probabilidad de aceptación es de un 95%, por tanto existe un α=5% (1-0,95) de rechazar un lote de alta calidad (riesgo del productor). En tanto para un porcentaje de defectos de un 8% (PTDL) existe una probabilidad de un 10% de aceptar un lote de baja calidad (riesgo del consumidor).