El siguiente problema fue enviado por uno de nuestros usuarios de la ciudad de Valparaíso, Chile:
En un evento atlético de gimnasia las competencias comprenden cuatro disciplinas: salto, barras asimétricas, viga de equilibrio y manos libres. Cada equipo debe presentar 5 deportistas por disciplina. Un deportista puede participar como especialista en una o dos disciplinas o bien como un all-rounder que participa en las cuatro disciplinas. Al menos 3 de los miembros del equipo deben ser all-rounder. Un deportista es evaluado en una escala de 1 a 10. De acuerdo a las estadísticas del equipo de gimnasia de la universidad, se tienen las siguientes calificaciones para cada uno de los 6 miembros del equipo actual:
Formule y resuelva un modelo de Programación Entera que permita seleccionar a los 5 deportistas que presentará la universidad en cada disciplina del evento.
A continuación detallamos la formulación de este problema de Programación Entera:
1. Variables de Decisión:
Con i=1,…,6 (deportistas) y j=1,….,4 (deportes)
2. Función Objetivo: Maximizar el puntaje a obtener por los deportistas
Donde Pij representa el puntaje que tiene el deportista i en la disciplina j. Estos valores son parámetros del modelo y son los que se resumen en la tabla del enunciado. Por ejemplo: P13=9.
3. Restricciones:
Si un deportista es all-rounder se debe asignar a todas las disciplinas:
Deben haber al menos 3 deportistas all-rounder:
Se requiere de exactamente 5 deportistas por disciplina:
Límite de disciplinas por deportistas según su categoría:
En Internet existen recursos gratuitos valiosos para los estudiantes de los cursos de Investigación de Operaciones (conocido también como Investigación Operativa) que son de gran ayuda para complementar los conceptos tratados en el aula y la bibliografía. En el siguiente artículo ponemos en disposición de nuestros lectores algunos recursos que recomendamos:
1. Solver: Es sin duda la principal herramienta para resolver modelos de optimización de tamaño reducido utilizado por los alumnos de cursos de ingeniería. Este complemento de Excel se puede descargar desde el sitio web de Frontline en su versión comercial (Premium Solver Pro) para implementar modelos de mayor tamaño.
2. What’sBest!: Es la alternativa a Solver dado que funciona integrada en una planilla de cálculo (Excel). La interfaz es intuitiva y seguramente quién domine Solver no demorará mucho en aprender los elementos básicos de este programa. What’sBest! ha sido desarrollado por la empresa de software Lindo.
3. AMPL: Es un lenguaje de programación matemática que permite abordar la formulación y resolución de modelos de optimización de programación lineal, programación entera y programación no lineal (entre otros). Esta plataforma es popular para modelos de mayor complejidad que requieren para su resolución de algoritmos especializados.
4. GAMS: Es una herramienta de formulación matemática alternativa a AMPL que permite formular y resolver modelos de optimización de complejidad mayor.
5. NEOS Solvers: Es un portal que consolida una gran variedad de solvers (algoritmos) que permiten resolver distintas categorías de modelos de optimización formulados en un lenguaje matemático determinado (como AMPL y GAMS). El procedimiento es el siguiente: se selecciona un solver que permita resolver nuestro modelo (depende del lenguaje de programación matemática y el tipo de modelo), se sube el archivo del modelos (y/o datos) y se obtienen los resultados online.
6. Geogebra: Es un excelente programa que nos ayuda a graficar distintas formas geométricas y en particular resolver gráficamente modelos de optimización lineales o no lineales. Este programa se puede descargar gratuitamente e instalar en nuestro computador o alternativamente utilizar su aplicación web directamente sin necesidad de descargar el programa.
7. Método Simplex (ProgramacionLineal.net): Es una herramienta que permite resolver modelos de programación lineal a través del método simplex, mostrando paso a paso las respectivas iteraciones, solución óptima y valor óptimo.
8. Linear Programming: Versión en inglés de los principales artículos de este Blog que trata sobre la Investigación de Operaciones y en particular de la Programación Lineal, con recursos educativos y ejercicios resueltos.
El método de Branch and Bound (o Ramificación y Acotamiento) es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de Programación Entera. Su operatoria consiste en linealizar el modelo de Programación Entera, es decir, resolver éste como si fuese un modelo de Programación Lineal y luego generar cotas en caso que al menos una variable de decisión (entera) adopte un valor fraccionario.
El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que favorecen la obtención de valores enteros para las variables de decisión. En este contexto resolver el modelo lineal asociado a un modelo de Programación Entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del modelo entero.
Ejemplo Branch & Bound (Ramificación y Acotamiento)
Consideremos el siguiente modelo de Programación Entera el cual resolveremos con el algoritmo de Branch and Bound:
El paso inicial consiste en resolver este problema como si fuese un modelo de Programación Lineal (relajación continua). Si la solución de dicho problema llegara a respetar las condiciones de integralidad para las variables de decisión, ésta ya sería la solución óptima del problema entero.
Si bien este procedimiento se puede extender a problemas de mayor dimensión, utilizamos un modelo en 2 variables para poder representar los pasos del algoritmo gráficamente. El gráfico a continuación muestra dicha resolución:
La solución óptima del problema lineal asociado (que llamaremos P0) es X1=2,8 y X2=1,6 con valor óptimo V(P0)=20,8. Claramente esta solución no cumple las condiciones de integralidad para las variables de decisión por tanto es necesario generar cotas o restricciones adicionales de modo de poder obtener soluciones enteras. Para ello debemos seleccionar una de las 2 variables de decisión con valores fraccionarios para poder generar cotas. En estricto rigor es indistinto cuál de ellas seleccionemos debido a que el método nos debe llevar a conclusiones similares (aun cuando la cantidad de pasos requeridos o rapidez de convergencia cambie).
En nuestro ejemplo generaremos cotas adicionales para la variable X1 aproximando su valor actual al entero inferior más cercano (P1) y entero superior más cercano (P2).
La resolución gráfica del problema 1 (P1) nos da como solución óptima X1=2 y X2=2 que es una solución entera. El valor óptimo del problema 1 es V(P1)=20. Notar que V(P1)<V(P0) lo cual es natural dado que el dominio de soluciones factibles del P1 es menor (subconjunto) al dominio de soluciones factibles de P0.
Análogamente la resolución gráfica (Método Gráfico) del problema 2 (P2) determina que X1=3 y X2=4/3 con V(P2)=20 según se observa a continuación:
Luego no sería del todo necesario seguir desarrollando el algoritmo dado que si generamos cotas para la variable X2 del P2 en ningún caso podríamos obtener una solución entera con valor óptimo superior a 20 (valor que reporta en la función objetivo la actual solución entera de P1) y por tanto podríamos concluir que X1=2 y X2=2es la solución óptima del problema entero. No obstante el siguiente diagrama muestra los pasos adicionales en caso que quisiera agregar cotas adicionales a partir del P2.
Un argumento similar al expuesto previamente en este caso explicaría la no necesidad de seguir ramificando el P21. Se propone al lector verificar que se obtiene la misma solución óptima si luego del P0 ramificamos a través de X2 agregando las restricciones X2<=1 y X2>=2.
En un artículo previo tratamos el Problema de la Dieta como una aplicación característica de la Programación Lineal discutido ampliamente en los Cursos de Investigación de Operaciones. El problema consiste básicamente en encontrar una combinación de alimentos óptima que permita satisfacer ciertos requerimientos nutricionales mínimos y adicionalmente tenga el menor costo asociado a la selección de los mismos.
Una vez obtenida la solución óptima y valor óptimo de dicho modelo nos podemos enfrentar al escenario donde todas o algunas de las variables de decisión adoptan valores fraccionarios. Si bien esta situación es aceptada en los modelos de Programación Lineal (en efecto constituye un supuesto básico de la Programación Lineal), puede resultar de interés simular una nueva solución donde las variables de decisión adopten valores enteros.
El siguiente tutorial muestra cómo incorporar las condiciones de integralidad al Problema de la Dieta, lo que da origen a un modelo de Programación Entera.
Se puede observar que hemos utilizado un formato similar al modelo de Programación Lineal, sin embargo, se incorpora la condición de integralidad para las variables de decisión como si fuese una restricción adicional. Adicionalmente en las Opciones de Solver debemos desactivar la selección de “Adoptar modelo lineal” debido a que ahora el modelo es de Programación Entera (esta indicación es válida para las versiones de Office 2007 y anteriores).
La tabla a continuación resume los resultados del Problema de la Dieta resuelto como un modelo de optimización lineal o entero:
Se puede observar que el valor óptimo del Problema Entero es superior al del Problema Lineal. Siendo éste un problema de minimización esta situación es natural dado que el dominio de soluciones factibles del problema entero está contenido en el dominio del problema lineal (es un subconjunto) y por tanto no podríamos encontrar nada mejor (más económico en este caso) que el valor óptimo del problema lineal.
Es importante destacar adicionalmente que para obtener la solución óptima de un problema entero NO es suficiente con aproximar los resultados fraccionarios del problema lineal asociado, por ejemplo, al entero superior o entero inferior más cercano. En consecuencia se requiere de algoritmos específicos para la resolución de modelos de Programación Entera, siendo el Algoritmo de Ramificación y Acotamiento (Branch & Bound) uno de los más populares.
Cuando necesitamos asignar recursos escasos a determinadas funciones y dichos recursos no son fraccionables, la utilización de modelos de Programación Entera resultan ser de utilidad para la toma de decisiones. En este contexto los problemas de asignación de personal a determinadas tareas es una aplicación típica de la Programación Entera que a continuación desarrollaremos a través de un ejemplo.
Problema de Asignación
Consideremos una empresa que dispone de 5 ingenieros que deben desarrollar 7 proyectos. La tabla a continuación resume el tiempo que demora cada ingeniero (en horas) en completar un determinado proyecto. El problema consiste en determinar una asignación óptima que permita realizar cada uno de los proyectos con la limitante que por motivos estratégicos cada ingeniero debe desarrollar al menos un proyecto y en ningún caso hacer más de 2 proyectos. Por supuesto se busca que el tiempo requerido para realizar los 7 proyectos sea el menor posible.
Una alternativa sería buscar intuitivamente una asignación que cumpla con los requisitos de la empresa y tenga un bajo tiempo asociado. Sin embargo, este tipo de estrategias de resolución queda claramente acotada a problemas de tamaño menor y ni siquiera en ese tipo de situaciones nos asegura la mejor solución posible. Por ello definiremos el siguiente modelo de optimización de Programación Entera:
1. Variables de Decisión: Utilizamos las siguientes variables de decisión binarias
2. Función Objetivo: Minimizar el tiempo total requerido para completar los proyectos
Donde Tij (parámetros) es el tiempo (en horas) requerido por el ingeniero i en realizar el proyecto j. Por ejemplo T(A,P5)=7.
3. Restricciones:
Cada proyecto debe ser realizado por un solo ingeniero:
Cada ingeniero debe ser al menos un proyecto y no puede hacer más de 2:
El siguiente tutorial muestra cómo resolver este problema de asignación con Solver de Excel:
Se puede observar que para efectos de Solver, las variables de decisión binarias se deben definir como una restricción adicional. También puede resultar que luego de resolver Solver no encuentre inmediatamente la mejor solución posible. Para enfrentar esta situación se puede “volver a resolver” sobre la solución que el programa nos haya proporcionado hasta el momento para verificar si se puede lograr algo mejor. Esta situación es la que sucedió en el tutorial y a continuación se muestra la solución óptima (final) encontrada por Solver.
En total se requieren 56 horas para realizar los 7 proyectos. El ingeniero A realiza el P7, el ingeniero B el P3 y P5, el ingeniero C el P6, el ingeniero D el P2 y P4 y el ingeniero E el P1. Notar que cada proyecto es realizado por un ingeniero y cada ingeniero al menos realiza un proyecto, pero no más de 2 proyectos.
