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Cómo detectar que un Problema de Programación Lineal es infactible con el Método Simplex de 2 Fases

Un problema infactible en Programación Lineal es una situación que se detecta cuando en la aplicación del Método Simplex de 2 Fases el valor óptimo del problema de la Fase 1 es distinto a cero (para continuar a la Fase 2 se requiere que el valor óptimo de la Fase 1 sea cero). Cabe recordar que un problema infactible es aquel cuyo dominio de soluciones factibles es vacío.

Consideremos el siguiente modelo de Programación Lineal en 2 variables que nos permitirá representar dicha situación:

Agregamos las siguientes variables al modelo para aplicar el Método Simplex de 2 Fases: $x_{3} (holgura), x_{4} (exceso), x_{5} (auxiliar)$ .

Definiendo el problema inicial de la Fase 1:

A continuación llevamos el costo reducido de la variable $x_{5}$ a cero, multiplicando por -1 la fila 2 y sumando ésta a la fila 3:

Para favorecer la rapidez de convergencia del método $x_{2}$ entra a la base. Luego calculamos el criterio del mínimo cuociente: $Min \begin{Bmatrix}{\frac{2}{1}, \frac{12}{4}}\end{Bmatrix}=2$ por tanto $x_{3}$ deja la base. Actualizamos la tabla:

Notar que todas las variables no básicas $x_{1}, x_{3}, x_{4}$ tienen costos reducidos mayores o iguales a cero. Adicionalmente las variables básicas $x_{2}, x_{5}$ cumplen con las condiciones de no negatividad. En consecuencia hemos finalizado la Fase 1 del Método Simplex de 2 Fases, sin embargo, el valor de la función objetivo es distinto de cero (en el ejemplo es -4) lo que determina que el problema es infactible.

La siguiente representación gráfica del problema anterior se puede realizar con Geogebra. El área achurada color rojo corresponde a la intersección de los conjuntos de factibilidad definido por la restricción 1 y las de no negatividad. Por otra parte el área achurada color azul es la intersección de los conjuntos de factibilidad definido por la restricción 2 y las de no negatividad. Luego resulta evidente que la intersección de dichos conjuntos (rojo y azul) es vacío, por tanto no existen valores que puedan adoptar las variables de decisión y satisfacer de forma simultanea todas las restricciones del problema.

Qué es una Solución Óptima Degenerada en Programación Lineal

En la aplicación del Método Simplex al hacer el cálculo del mínimo cuociente o condición de factibilidad, se puede romper un empate en la razón o cuociente mínimo en forma arbitraria. En este caso, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, afirmándose en este caso que la nueva solución es degenerada. La implicancia práctica de dicha condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante.

Solución Óptima Degenerada

Consideremos el siguiente modelo de Programación Lineal el cual resolveremos a través del Método Simplex y que de forma complementaria representaremos gráficamente con Geogebra:

Llevamos el problema anterior a su forma estándar de minimización, agregando $x_{3}$ y $x_{4}$ , como variables de holgura de las restricciones 1 y 2, respectivamente.

Que da origen a la siguiente tabla inicial del Método Simplex:

Para favorecer la rapidez de convergencia del algoritmo seleccionamos $x_{2}$ como la variable que ingresa a la base. A continuación calculamos el criterio de factibilidad (mínimo cuociente): $Min \begin{Bmatrix}{\frac{8}{4}, \frac{4}{2}}\end{Bmatrix}=2$ (al existir empate seleccionaremos arbitrariamente la variable $x_{3}$ como aquella que deja la base. Luego se actualiza la tabla:

Ahora $x_{1}$ ingresa a la base. El criterio de factibilidad determina que: $Min \begin{Bmatrix}{\frac{2}{1/4}, \frac{0}{1/2}}\end{Bmatrix}=0$ $x_{4}$ deja la base. Se realiza entonces una nueva iteración:

Se alcanza la solución óptima degenerada del problema lineal. Notar que $x_{1}=0, x_{2}=2, x_{3}=0, x_{4}=0, V(P)=18$ . Como éste es un problema bidimensional, la solución está sobredeterminada y una de las restricciones es redundante tal como se corrobora en la representación gráfica:

En la práctica conocer que algunos recursos (como los asociados a una restricción) son superfluos puede ser valioso durante la implementación de la solución. Desde el punto de vista teórico, la degeneración tiene dos implicaciones: se genera el fenómeno de ciclos o círculos (es posible que el Método Simplex repita una serie de iteraciones sin mejorar el valor de la función objetivo, tal como se observo en el ejemplo anterior e incluso eventualmente nunca terminar los cálculos); el segundo aspecto teórico surge al examinar las iteraciones 1 y 2. Las dos, aunque difieren en la clasificación de las variables básicas y no básicas, producen valores idénticos para todas las variables y el valor objetivo ( $x_{1}=0, x_{2}=2, x_{3}=0, x_{4}=0, V(P)=18$ ).

Problema de Planificación Financiera en Programación Lineal resuelto con Solver

El siguiente artículo trata de un problema de planificación financiera el cual se aborda a través de la Programación Lineal y se resuelve computacionalmente haciendo uso del complemento Solver de Excel. En este contexto se presenta un problema de inversión en distintos instrumentos financieros en los cuales se planifica invertir al inicio de cada uno de los próximos 10 años (horizonte de planificación), considerando los siguientes montos disponibles al comienzo de cada año (independiente de los retornos obtenidos producto de las mismas inversiones en años anteriores).

Los instrumentos disponibles son:

Depósito a plazo (anuales) con un retorno de 4,5% anual.
Bono a 6 años plazo con retorno de 4,9% anual.
Bono a 9 años plazo con retorno de 5,2% anual.

Se busca formular un modelo de optimización que posea los mayores retornos al término del décimo año (o inicio del año 11). Para ello se propone el siguiente problema de Programación Lineal:

Problema de Planificación Financiera

Variables de Decisión: Se establecen las posibilidades de inversión en los distintos instrumentos financieros. Notar que dado el período de maduración de los mismos se define la factibilidad de invertir en ellos en cada uno de los años. Por ejemplo, como el depósito anual tiene una maduración de un año se puede invertir en él en cada uno de los años del período de planificación. No así, por ejemplo, con el Bono a 9 años plazo el cual se puede invertir sólo al inicio del año 1 y 2.

Función Objetivo: Se desea maximizar el dinero obtenido al finalizar el período de planificación correspondiente al término del año 10 (o inicio del año 11).

Restricciones: Para cada año se limita las posibilidades de inversión según los instrumentos disponibles, el presupuesto del período y el retorno de los instrumentos que ya maduraron. Por ejemplo, en el año 1 se puede invertir en cada una de las 3 alternativas respetando el presupuesto de MM$20. En el año 2 nuevamente se puede invertir en las 3 alternativas y el presupuesto disponible corresponderá a los MM$20 de dicho período (según se detalla en la tabla al inicio) y eventualmente se podrá hacer uso del retorno de la inversión del depósito anual realizado en el año 1. Si, por ejemplo, se invierte los MM$20 en el depósito anual a inicio del año 1, entonces el presupuesto disponible para el año 2 será: 20+1,045(20)=MM$40,9.

A continuación se presenta un extracto de los resultados que provee la implementación computacional del modelo anterior haciendo uso de Solver. Las celdas color amarillo corresponde a la solución óptima, alcanzando un valor óptimo de MM$402,64.

Es interesante analizar la estructura de la solución óptima alcanzada. En el año 1 y 2 se invierte la totalidad del presupuesto en el Bono a 9 años plazo; en los años 3, 4 y 5 se invierte de forma exclusiva en los bonos a 6 años plazo; finalmente del año 5 al año 10 se invierte en el depósito anual.

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Ejemplo del Método de Frank Wolfe en Programación No Lineal

El método o algoritmo de Frank Wolfe fue propuesto en 1956 por Marguerite Frank y Philip Wolfe y se aplica a problemas de optimización matemática con una función objetivo no lineal convexa y cuyo dominio de soluciones factibles esta compuesto exclusivamente por restricciones lineales, es decir, es un conjunto convexo (en consecuencia el problema es convexo).

Consideremos el siguiente problema que asumiremos cumple con el formato anteriormente descrito:

Dada una aproximación $x^{k}$ a la solución óptima del problema, podemos resolver un problema más sencillo que aproxime al problema P), suponiendo $x^{k}$ factible.

O equivalentemente resolviendo el siguiente problema:

Que puede ser resuelto mediante el Método Simplex. Denotamos por $x_{PL}^{k}$ la solución óptima de $PL_{k}$ . El método contempla en seguida una minimización de un problema unidimensional que equivale a escoger un escalar $\alpha _{k}$ de modo que:

En seguida se define la siguiente aproximación al óptimo como:

Que equivale a definir $x^{k+1}$ como la solución óptima de f restringida al conjunto de puntos que determina al segmento que une $x^{k}$ con $x_{PL}^{k}$ .

Ejemplo: Aplicar el método de Frank Wolfe al siguiente problema no lineal restringido (convexo). Notar que la matriz hessiana o de segundas derivadas de la función objetivo es positiva definida.

Realizamos la primera iteración del método que da origen al siguiente problema de Programación Lineal:

La resolución es trivial y puede ser alcanzada de forma gráfica con Geogebra. La solución óptima es $x_{PL}^{0}=(0,3)$ según se aprecia a continuación:

Luego buscamos la solución para el problema unidimensional en términos del parámetro $\alpha$ :

Finalmente se obtiene $x^{1}=x^{0}+\frac{2}{3}(x_{PL}^{0}-x^{0})=(0,2)$ concluyendo una iteración del método de Frank Wolfe. Se propone al lector seguir las iteraciones a contar de este punto. Por ejemplo se puede verificar que $x_{PL}^{1}=(2,0)$ . (Hint: La solución óptima se alcanza en $(x_{1},x_{2})=(1,\frac{3}{2})$ .

Planificación del Arriendo de una Bodega a través de la Programación Lineal

Las bodegas enfrentan requerimientos variables de almacenamiento de un mes a otro. Esto se explica entre otros factores por la estacionalidad y variabilidad de la demanda, cambio en los niveles de producción, retraso en el despacho de los productos, políticas de la empresa, etc. En la actualidad es común que las empresas externalicen la totalidad o parte del servicio de almacenamiento (bodegas) de modo que se utilizan instalaciones de un tercero para guardar productos de inventario. Una decisión relevante en este contexto es determinar cuánto espacio arrendar y por cuánto tiempo, de modo de satisfacer las necesidades de almacenamiento a un costo mínimo.

El siguiente ejemplo toma en cuenta esta situación y propone una política óptima de arriendo de espacio en bodega para una empresa para los próximos 5 meses. Se conoce cuanto espacio necesita en cada uno los próximos meses. Dado que los requerimientos son muy diferentes, podría resultar económico arrendar sólo lo necesario en cada mes de acuerdo a los requerimientos dados. Sin embargo, el costo total para arrendar de una vez por varios periodos consecutivos es más económico que hacerlo mes a mes sobre el mismo lapso de periodos, por lo tanto puede considerarse la opción de ir cambiando en el tiempo la cantidad de superficie arrendada al menos una vez pero no todo los meses, agregando nuevos periodos de arriendo y/o dejando los que expiraron su periodo. Los requerimientos (en miles de m²) y el costo total de arrendar en cualquier mes por periodos de uno, dos, tres, cuatro o cinco meses consecutivos (en $ por m²), se resumen en la siguiente tabla:

Formule y resuelva con Solver un modelo de Programación Lineal que minimice el costo total de arriendo, de modo de satisfacer los requerimientos por espacio en los próximos 5 meses.

Variables de Decisión:

Función Objetivo: Minimizar los costos asociado al arriendo de la bodega durante el período de planificación de 5 meses.

Restricciones:

Por ejemplo los requerimientos de 30 mil m² del primer mes (restricción 1) se pueden satisfacer con arriendos que se gestionan en el mes 1 por una duración de 1, 2, 3, 4 o 5 meses. Análogamente las necesidades del mes 2 (20 mil m²) se pueden enfrentar con arriendos planificados anteriormente (mes 1) con una duración de 2, 3 o 4 meses (notar que no tiene sentido arrendar por 5 meses en el mes 2) como también con arriendos gestionados en dicho período por 1, 2, 3 o 4 meses (se propone al lector seguir dicho razonamiento de modo de corroborar que las restantes restricciones son correctas).

A continuación se muestra un extracto de la resolución computacional del problema anterior haciendo uso de Solver de Excel:

La solución óptima consiste en arrendar 30 m² en el mes 1 por un total de 5 meses, luego en el mes 3 se arriendan 10 m² adicionales por sólo un período, para finalmente en el mes 5 arrendar 20 m² por un mes. De esta forma se satisfacen los requerimientos de espacio en bodega para cada mes del horizonte de planificación a un costo mínimo de $76.500 (valor óptimo).

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