resolución gráfica Archivos - Gestión de Operaciones

Programación Lineal (Método Gráfico)

El Método Gráfico (resolución gráfica) constituye una excelente alternativa de representación y resolución de modelos de Programación Lineal que tienen 2 variables de decisión. Para estos efectos existen herramientas computacionales que facilitan la aplicación del método gráfico como los softwares TORA, IORTutorial y Geogebra, los cuales se pueden consultar en detalle en Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con TORA, Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial y Cómo Resolver Gráficamente un modelo de Programación Lineal con Geogebra, respectivamente. En este contexto a continuación presentamos un compendio de ejercicios de Programación Lineal resueltos a través del método gráfico.

Ejercicios Resueltos del Método Gráfico en Programación Lineal

Ejercicio N°1: Una empresa vitivinícola ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas. Debido a la calidad del sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blanc y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios netos y requerimientos de mano de obra según los datos que se muestran a continuación:

Suponga que se posee un presupuesto de US$10.000 y una disponibilidad de 1.200 días hombre durante el horizonte de planificación. Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal para este problema. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo.

Variables de Decisión:

$X_{1}$ : Hectáreas destinadas al cultivo de de Sauvignon Blanc
$X_{2}$ : Hectáreas destinadas al cultivo de Chardonay

Función Objetivo:

Maximizar $50X_{1}+120X_{2}$

Restricciones:

$X_{1}+X_{2}\leq 110$
$100X_{1}+200X_{2}\leq 10.000$
$10X_{1}+30X_{2}\leq 1.200$
$X_{1},X_{2}\geq 0$

Donde las restricciones están asociadas a la disponibilidad máxima de hectáreas para la plantación, presupuesto disponible, horas hombre en el período de planificación y no negatividad, respectivamente.

El siguiente gráfico muestra la representación del problema de la empresa vitivinícola. El área achurada corresponde al dominio de soluciones factibles, donde la solución básica factible óptima se alcanza en el vértice C, donde se encuentran activas las restricciones de presupuestos y días hombre. De esta forma resolviendo dicho sistema de ecuaciones se encuentra la coordenada de la solución óptima donde $X_{1}=60$ y $X_{2}=20$ (hectáreas). El valor óptimo es $V(P)=50(60)+120(20)=5.400$ (dólares).

Ejercicio N°2: Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La siguiente tabla muestra:

Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
La ganancia por unidad vendida de cada producto

Formule y resuelva a través del método gráfico un modelo de Programación Lineal para la situación anterior que permite obtener la máxima ganancia para el taller.

Variables de Decisión:

$X_{1}$ : Unidades a producir del Producto 1 semanalmente
$X_{2}$ : Unidades a producir del Producto 2 semanalmente

Función Objetivo:

Maximizar $X_{1}+1,5X_{2}$

Restricciones:

$2X_{1}+2X_{2}\leq 16$
$X_{1}+2X_{2}\leq 12$
$4X_{1}+2X_{2}\leq 28$
$X_{1},X_{2}\geq 0$

Las restricciones representan la disponibilidad de horas semanales para las máquinas A, B y C, respectivamente, además de incorporar las condiciones de no negatividad.

Para la resolución gráfica de este modelo utilizaremos el software GLP cual abordamos en el artículo Problema de Planificación Forestal resuelto con Graphic Linear Optimizer (GLP). El área de color verde corresponde al conjunto de soluciones factibles y la curva de nivel de la función objetivo que pasa por el vértice óptimo se muestra con una línea punteada de color rojo.

La solución óptima es $X_{1}=4$ y $X_{2}=4$ con valor óptimo $V(P)=1(4)+1,5(4)=10$ que representa la ganancia para el taller.

Ejercicio N°3: Una compañía elabora dos productos diferentes. Uno de ellos requiere por unidad 1/4 de hora en labores de armado, 1/8 de hora en labores de control de calidad y US$1,2 en materias primas. El otro producto requiere por unidad 1/3 de hora en labores de armado, 1/3 de hora en labores de control de calidad y US$0,9 en materias primas. Dada las actuales disponibilidades de personal en la compañía, existe a lo más un total de 90 horas para armado y 80 horas para control de calidad, cada día. El primer producto descrito tiene un valor de mercado (precio de venta) de US$9,0 por unidad y para el segundo este valor corresponde a US$8,0 por unidad. Adicionalmente se ha estimado que el límite máximo de ventas diarias para el primer producto descrito es de 200 unidades, no existiendo un límite máximo de ventas diarias para el segundo producto.

Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita maximizar las utilidades de la compañía.

Variables de Decisión:

$X_{1}$ : Unidades a producir diariamente del Producto 1
$X_{2}$ : Unidades a producir diariamente del Producto 2

Función Objetivo:

Maximizar $(9-1,2)X_{1}+(8-0,9)X_{2}=7,8X_{1}+7,1X_{2}$

Restricciones:

$\frac{X_{1}}{4}+\frac{X_{2}}{3}\leq 90$
$\frac{X_{1}}{8}+\frac{X_{2}}{3}\leq 80$
$X_{1}\leq 200$
$X_{1},X_{2}\geq 0$

La primera restricción representa las limitantes de horas de armado diariamente. La segunda restricción la disponibilidad de horas para labores de control de calidad (también diariamente). La tercera restricción establece una cota superior para la producción y ventas diarias del Producto 1. Adicionalmente se incluyen las condiciones de no negatividad para las variables de decisión.

El dominio de soluciones factibles tiene 5 vértices que corresponden a los candidatos a óptimos del problema. En particular el vértice óptimo es D de modo que la solución óptima es $X_{1}=200$ y $X_{2}=120$ con valor óptimo $V(P)=7,8(200)+7,1(120)=2.412$ que corresponde a la utilidad máxima para la empresa.

Importante: A la fecha de esta publicación disponemos de más de 70 artículos relativos a la Programación Lineal los cuales recomendamos revisar, donde se aborda la resolución gráfica de este tipo de modelos como también la resolución a través de algoritmos como el Método Simplex y la implementación computacional con herramientas como Solver, What’sBest! y OpenSolver, entre otras.

En el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube se explica un ejemplo adicional con todos los elementos del método gráfico en Programación Lineal:

GeoGebra Calculadora Gráfica para Android

En este oportunidad queremos compartir con nuestros usuarios una noticia reciente que de seguro será de interés para quienes en alguna oportunidad han utilizado la versión web o instalado en sus computadores el popular software Geogebra. El software Geogebra permite entre otras cosas hacer representaciones gráficas de funciones (lineales y no lineales), lo cual hemos abordado ampliamente en la resolución de modelos de Programación Lineal mediante el Método Gráfico, construir Histogramas para análisis estadístico, realizar pruebas de hipótesis, entre otros análisis.

En este contexto hemos recibido un correo de notificación de parte del Equipo de GeoGebra informando que se encuentra disponible para su descarga gratuita GeoGebra Calculadora Gráfica el cual es compatible con smatphones y tablets con sistema operativo Android y que prontamente estará disponible para los usuarios de iPhone.

El programa se puede descargar desde Google Play en https://play.google.com/store/apps/details?id=org.geogebra.android tal como se muestra a continuación:

A la fecha de este artículo GeoGebra Calculadora Gráfica cuenta con el orden de 10.000 descargas y una valoración (puntuación) de 4,8. Adicionalmente no requiere mayores privilegios para su instalación. Todo esto sin duda constituye un excelente respaldo respecto a la calidad de este programa el cual hemos tenido el privilegio de utilizar durante varios años con excelentes resultados.

Una de las ventajas de la versión para Android de GeoGebra es la posibilidad de exportar los archivos a Dropbox, OneDrive, Google Drive, enviar por correo electrónico, entre otros. Esto permite respaldar fácilmente los archivos que utilicemos en nuestro smartphone o tablet para ser utilizado posteriormente (la siguiente imagen muestra la utilización del programa para la representación gráfica de un modelo de Programación Lineal).

Te recomendamos decididamente descargar GeoGebra Calculadora Gráfica y desde ya te agradecemos compartir tu experiencia en su utilización, dejándonos un comentario al final de este artículo.

Análisis de Sensibilidad (Método Gráfico)

El Análisis de Sensibilidad en Programación Lineal permite analizar el impacto en los resultados del modelo (solución óptima y valor óptimo) en aquellos casos donde uno o varios parámetros sufren modificaciones en relación a sus valores originales, sin la necesidad de resolver nuevamente el problema (sin reoptimizar). En dicho contexto en el siguiente artículo presentamos un ejemplo de dicho análisis para un problema de optimización lineal que considera 2 variables de decisión.

Ejemplo Análisis de Sensibilidad (Método Gráfico)

Un productor tabaquero posee 85 hectáreas (ha) de terreno para plantar dos variedades de tabacos Virginia y Procesado. La variedad Virginia tiene un ingreso de 9.600 USD/ha y necesita 3 horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación a 30 ha como máximo. La variedad Procesado tiene un ingreso de 7.500 USD/ha y utiliza 2 horas/ha de uso de maquinaria y 60 horas/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado un máximo de 190 horas de uso de maquinaria y solo se dispone de 5.420 horas de mano de obra a 12 USD/hora.

Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita determinar cuánto se debe plantar de cada variedad de tabaco de manera de maximizar la utilidad total.

En primer lugar definimos el modelo de optimización para este problema. Esto consiste en identificar las variables de decisión, función objetivo y restricciones. Detalle de este procedimiento aplicado a problemas de 2 variables puede ser consultado en el artículo Programación Lineal (Método Gráfico).

Variables de Decisión:

X₁ = Número de Ha a plantar de la variedad Virginia
X₂ = Número de Ha a plantar de la variedad Procesado

Función Objetivo:

Maximizar (9.600 – 960)X₁ + (7.500 – 720)X₂ = 8.640X₁ + 6.780X₂

Restricciones:

X₁ ≤ 30
X₁ + X₂ ≤ 85
3X₁ + 2X₂ ≤ 190
80X₁ + 60X₂ ≤ 5.420
X1, X2 ≥ 0

Una representación gráfica del problema para el productor de tabaco se puede realizar a través del software Geogebra:

Sabemos según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal que en caso de existir solución óptima ésta se encontrará en un vértice o en un tramo en la frontera del dominio de soluciones factibles (en el ejemplo área achurada en color verde). Adicionalmente podemos apreciar que no es tan evidente que el vértice C reporte una mayor utilidad en la función objetivo que el vértice D, por lo cual, inspeccionaremos ambos puntos.

En el caso del vértice C éste se encuentra en la intersección de las restricciones 2 y 4. La coordenada respectiva se obtiene al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

X₁ + X₂ = 85
80X₁ + 60X₂ = 5.420

De donde X₁=16 y X₂=69, lo cual reporta un valor en la función objetivo de V(P)=8.640*(16)+6.780(69)=606.060.

Análogamente en el caso del vértice D las restricciones activas son 3 y 4:

3X₁ + 2X₂ = 190
80X₁ + 60X₂ = 5.420

Luego de resolver el sistema lineal anterior se obtiene X₁=28 y X₂=53, lo cual reporta un valor en la función objetivo de V(P)=8.640*(28)+6.780(53)=601.260.

En consecuencia la solución óptima del problema es X₁=16 y X₂=69, con valor óptimo V(P)=8.640*(16)+6.780(69)=606.060.

Una vez resuelto el escenario original a continuación se presentan algunos análisis adicionales que representan por separado modificaciones en los coeficientes de la función objetivo y restricciones del problema.

Intervalo Variación Coeficiente Función Objetivo

Determine cuánto podría variar la utilidad por hectárea del tabaco Virginia, manteniendo constante la utilidad por hectárea del tabaco procesado, de forma que la actual solución óptima no cambie. Para este caso determine el intervalo de variación de la utilidad total.

Sea en términos generales la función objetivo Z=C₁X₁+C₂X₂, donde inicialmente en el ejemplo C₁=8.640 y C₂=6.780. La pendiente de las curvas de nivel de la función objetivo es -C₁/C₂. De este modo se conserva la actual solución óptima (vértice C) en la medida que:

$-\frac{4}{3}\leq-\frac{C_{1}}{C_{2}}\leq -1$
$\frac{4}{3}\geq \frac{C_{1}}{C_{2}}\geq 1$
$\frac{4}{3}\geq \frac{C_{1}}{6.780}\geq 1$
$9.040\geq C_{1}\geq 6.780$

En este caso la utilidad por hectárea del tabaco Virginia puede variar entre 6.780 USD y 9.040 USD, de tal forma que el actual nivel de producción (solución óptima) sería el mismo. Lo anterior permite concluir que el intervalo de variación para la utilidad total será $576.300\leq Z\leq 612.460$ .

Precio Sombra (Método Gráfico)

Si se pudiese contratar más mano de obra disponible en el mercado, ¿Cuántas horas de mano de obra en total estaría dispuesto a utilizar? ¿Cuál sería el aporte adicional de esas horas extras que utilizaría en términos monetarios? Responda lo anterior utilizando el concepto de Precio Sombra.

Para calcular gráficamente el precio sombra necesitamos identificar la máxima y mínima variación para el lado derecho de la restricción de mano de obra que permita garantizar que se conserva la actual base óptima (restricciones activas originales). En este sentido en el caso de aumentar el lado derecho de dicha restricción la solución óptima podrá ser encontrada manteniendo las restricciones activas (e incorporando una adicional) hasta la coordenada (20,65) que es donde se interceptan la segunda y tercera restricción. En el caso de disminuir la disponibilidad de horas en mano de obra se mantiene la base óptima hasta el vértice B cuya coordenada es (0,85). De esta forma se obtiene el precio sombra de la siguiente forma:

En consecuencia el lado derecho de la restricción 4 (disponibilidad de mano de obra) puede variar entre [5.100, 5.500] y se conservan las actuales restricciones activas. Adicionalmente dado que en el óptimo actual se utilizan 5.420 horas de mano de obra se deben contratar 80 horas adicionales (de modo de alcanzar las 5.500 horas). Luego, la variación de 80 horas adicionales implicaría un aumento en la utilidad total de 80*USD93=7.440USD.

Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con TORA

El software TORA es una excelente herramienta para resolver de forma intuitiva distintos modelos y aplicaciones de la Investigación Operativa. TORA está incluido en un CD (Compact Disc) adjunto al libro Investigación de Operaciones de Hamdy Taha y es compatible aún con las últimas versiones disponibles de Windows. Al respecto en el siguiente artículo se muestra su uso en un computador con sistema operativo Windows 7 Home Premium de 64 bits. para abordar la pregunta Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con TORA. Adicionalmente el libro de Investigación de Operaciones de Hamdy Taha puede ser adquirido en sus versiones en español e inglés a precios convenientes desde distintos portales de comercio electrónico como Amazon.

Luego de su instalación y previo a su utilización es necesario realizar un ajuste a la resolución de pantalla seleccionando alguno de las 2 opciones recomendadas: 800×600 o 1024×786 pixeles (en realidad en este último caso 1024×768 como se podrá observar abajo). Para ello se debe ir al Panel de Control.

A continuación seleccionamos la resolución 1024×768 pixeles y Aplicar.

Luego se despliega una ventana que nos solicita confirmar nuestra selección anterior. En este caso debemos Conservar Cambios.

Una vez que el cambio en la resolución de pantalla ha sido ejecutado abrimos el programa TORA y se procede seleccionando el botón Click Here.

Una vez en el menú principal podemos seleccionar un importante número de funcionalidades relativas a la Investigación Operativa que se tratan en el libro de Hamdy Taha y donde TORA resulta ser un excelente complemento para el aprendizaje de los estudiantes. En esta oportunidad mostraremos cómo resolver un modelo de Programación Lineal por ello seleccionamos la opción Linear Programming.

En el menú que se despliega ingresamos el nombre o título del problema, la cantidad de variables y restricciones (aquellas adicionales a las de no negatividad).

En este tutorial utilizaremos el mismo ejemplo que implementamos en el artículo Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial, un problema que tiene 2 variables de decisión y 5 restricciones (donde 2 de ellas son las de no negatividad).

Luego se completan los parámetros de la grilla con la información relativa al ejemplo que nos interesa resolver tal como se observa en la siguiente imagen:

Una vez ingresados los datos del problema se selecciona Solve Menu, Solve Problem y Graphical.

En la ventana a continuación se nos pide confirmar la cantidad de decimales. En este caso mantendremos los valores que ofrece el programa por defecto y seleccionamos Go To Output Screen.

Finalmente llegamos a la interfaz que permite realizar una representación gráfica del modelo lineal. Para graficar las restricciones se debe seleccionar cada una de ellas de forma individual y finalmente marcar la función objetivo que mostrará el desplazamiento de la curva de nivel que permite alcanzar la solución óptima y valor óptimo (visible en la esquina inferior izquierda de la siguiente imagen). En próximos artículos seguiremos mostrando funcionalidades adicionales de TORA, hasta entonces.

Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial

Los modelos de Programación Lineal han sido motivo de amplio estudio en nuestro Blog y en esta oportunidad queremos presentar a nuestros usuarios una herramienta computacional sencilla e intuitiva llamada IORTutorial (Interactive Operations Research Tutorial) la cual nos permite resolver gráficamente modelos de Programación Lineal con 2 variables de decisión, además de proporcionar informes de sensibilidad para complementar la interpretación de los resultados alcanzados.

Para ello consideremos el ejemplo descrito en el artículo Cálculo del Intervalo de Variación del Lado Derecho que conserva la Base Óptima que permitirá al lector contrastar los resultados alcanzados en dicho ejemplo con el procedimiento alternativo que presentamos a continuación a través del uso de IORTutorial. El ejemplo en cuestión que considera 2 variables de decisión y 5 restricciones (considerando las 2 de no negatividad) es el siguiente:

La implementación computacional se muestra en el siguiente tutorial disponible en nuestro canal de Youtube que detalla Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial:

Cabe destacar que los resultados que se observan en el Informe de Sensibilidad (o Análisis de Sensibilidad) son equivalentes a los obtenidos en la resolución con Solver de Excel como se muestra en la imagen a continuación: