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Problema de Explotación de Minas y Transporte de Carbón a Puertos

Es frecuente reconocer en los problemas de optimización que representan una estructura productiva, un componente de costo fijo asociado a la utilización de un recurso (dentro de un intervalo de producción relevante) y un costo variable que que asume proporcional al nivel de actividad que represente la unidad productiva (por ejemplo, lo que se refiere a costos de producción, costos de transporte en una red logística, entre otros). Por ejemplo, el Problema de Inclusión de Costos Fijos en Programación Entera representa una situación muy sencilla de lo anteriormente descrito.

En este contexto a continuación se presenta un problema de operación de minas de carbón que su simple utilización tiene asociado un costo fijo, además de incurrir en costos variables por concepto de producción y transporte a distintos puertos demandantes, que adicionalmente tienen requerimientos particulares sobre la calidad del producto recepcionado.

Problema de Explotación de Minas y Transporte

La compañía ABC puede explotar hasta tres minas de carbón y debe realizar envíos a tres puertos. El costo por tonelada de producción (en dólares), el costo fijo de operación en dólares (en caso de ser utilizada), los contenidos de una cierta clase de ceniza y de sulfuro por tonelada y las capacidades de producción (en toneladas de carbón) se resumen en la siguiente tabla:

Por su parte, las toneladas demandadas que deben ser enviadas a cada puerto, conjuntamente con los costos de transporte (en dólares por tonelada) se dan en la siguiente tabla:

Formule y resuelva un modelo de optimización que permita determinar la eventual operación de cada mina y sus niveles de producción, de modo de satisfacer los requerimientos de demanda y que las cantidades enviadas a cada puerto contenga a los más un 4,5% de ceniza y a lo más un 3% de sulfuro.

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Se desea minimizar los costos asociados a la explotación de las minas, el costo de producción del carbón y los costos de transporte del carbón enviado desde las minas a los puertos.

Restricciones:

Capacidad de Producción de las Minas: cada mina puede operar a su capacidad máxima de producción para abastecer los requerimientos de los distintos puertos en caso en que se decida realizar funciones de explotación en la misma.

Demanda de Carbón los Puertos: cada puerto debe recibir la cantidad de toneladas de carbón que demanda.

Máximo Porcentaje de Ceniza admitido por cada Puerto: cada puerto esta dispuesto a recibir como máximo un 4,5% de ceniza en los envíos de carbón que recibe desde las minas. En este caso se expresa dicha condición de forma general a través de parámetros.

Máximo Porcentaje de Sulfuro admitido por cada Puerto: similar al caso anterior pero estableciendo un límite máximo al porcentaje de sulfuro que admite cada puerto (en el ejemplo un 3%).

No Negatividad: las toneladas producidas en las minas y transportadas a los puertos naturalmente deben satisfacer las condiciones de no negatividad.

A continuación de presenta un extracto de la implementación computacional del modelo anterior haciendo uso de Solver de Excel junto a un tutorial de nuestro canal de Youtube con los detalles de la resolución:

Se puede observar que sólo se utilizan las minas 1 y 3. La mina 1 envía 35, 45 y 30 toneladas al Puerto 1, 2 y 3, respectivamente. En el caso de la mina 3, ésta envía 35, 35 y 30 toneladas a los Puertos 1, 2 y 3, respectivamente. La demanda en toneladas de carbón es satisfecha en los puertos y se respeta adicionalmente la capacidad máxima de producción de las minas. Adicionalmente se puede observar en color verde el porcentaje de ceniza o sulfuro (según sea el caso) que recibe cada puerto lo cual satisface las condiciones expuestas. Finalmente el valor óptimo, es decir, el costo mínimo asociado al plan de producción y transporte descrito es de 14.550 dólares.

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Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte Multiperíodo

Una empresa multinacional de productos de consumo masivo que opera a nivel nacional tiene 2 plantas de producción donde fabrican un solo producto para transportar a 2 locales con capacidad máxima de producción de 1.000 y 1.500 unidades mensuales, respectivamente. Uno de los locales está en el norte y otro en el sur de Chile. Para llegar a estos locales se tiene un centro de distribución que sólo abastece el norte y otro que sólo abastece el sur. Además de esto se tiene un centro de distribución en la ciudad capital (Santiago) que se abastece de los otros 2 centros de distribución y que despacha tanto al norte como al sur. Una red logística que representa el Problema de Transporte con Transbordo anterior se presenta a continuación:

La demanda de los locales para los próximos 2 meses es:

Adicionalmente sólo los centros de distribución norte y sur tienen capacidad para almacenar unidades de inventario de modo de satisfacer una demanda futura. El costo unitario mensual de almacenar inventario es de $1,5 y $0,8, para el centro de distribución norte y sur, respectivamente.

Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal que permita determinar el plan de distribución óptimo para el problema de transbordo que representa la Gestión de una Cadena de Suministro. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones.

Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: se busca minimizar durante el período de planificación los costos de la logística de transporte desde las plantas a los centros de distribución, desde los centros de distribución a los locales, desde los centros de distribución a Santiago y desde Santiago a los locales, en conjunto con los costos de inventario en los centros de distribución.

Restricciones:

Capacidad de Producción de las Plantas: lo que envía mensualmente cada planta a cada uno de los centros de distribución (norte y sur) no puede superar la capacidad máxima de producción de la respectiva planta.

Balance en los Centros de Distribución: la cantidad de productos que recibe un centro de distribución desde las plantas en un mes, considerando adicionalmente el inventario inicial y lo que se desee dejar en inventario al final del mes respectivo, deberá ser igual a lo que dicho centro de distribución envíe en aquel mes a los locales y al centro de distribución en Santiago.

Demanda de los Locales: los productos que demande mensualmente cada local (1 o 2) deberá ser satisfecho desde los centros de distribución, incluyendo lo que eventualmente se envíe desde Santiago.

Balance en Santiago: los productos que recibe mensualmente Santiago desde los centros de distribución norte y sur deberá ser igual a lo que este centro de distribución envíe a los 2 locales que abastece (Santiago a diferencia de los centros de distribución norte y sur no almacena inventario).

Rutas Infactibles: no es posible enviar productos de forma directa (en cualquiera de los meses) desde el centro de distribución norte al local 2 y desde el centro de distribución sur al local 1.

No Negatividad: naturalmente las variables de decisión definidas inicialmente deberán adoptar valores mayores o iguales a cero.

A continuación se muestra un extracto de la implementación computacional del problema de transbordo haciendo uso de Solver de Excel. El valor óptimo es de $24.370.

Por otra parte las celdas en color amarillo corresponden a las variables de decisión (con color naranjo se identifican los parámetros), donde destaca que no se utiliza el centro de distribución sur. En cuanto al centro de distribución norte, éste se abastece de 1.620 unidades durante el mes de Julio (1.000 de la Planta 1 y 620 de la Planta 2), de los cuales envía 1.500 unidades a Santiago y las restantes 120 las almacena en inventario. De las 1.500 que dispone Santiago en el mes de Julio, envía 900 al Local 1 (Norte) y 600 al Local 2 (Sur) satisfaciendo la demanda. En cuanto al mes de Agosto, el centro de distribución norte recibe en total 2.500 unidades las cuales suma a las 120 en inventario que quedaron a fines de Julio, enviando todas ellas a Santiago. Luego de las 2.620 disponibles en Santiago en el mes de Agosto, envía 1.750 al Local 1 y 870 al Local 2, satisfaciendo la demanda de dichos destinos y minimizando el costo total de la logística de transporte.

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Optimización de una Red Logística de Transporte y Localización de Centros de Distribución

Los problemas de optimización que modelan el desempeño de una red logística o cadena de suministro admiten distintas extensiones que permiten representar la particularidad de distintos escenarios. Es así como en el Blog hemos abordado anteriormente el Problema de Transporte que simplemente aborda el transporte de productos desde oferentes a demandantes al mínimo costo y una extensión al mismo como el Problema de Transporte con Transbordo que incorpora intermediarios en dicho proceso con un objetivo similar. En el siguiente artículo se propone un problema de transporte con transbordo que incorpora adicionalmente la decisión de utilizar centros de distribución que operan como intermediarios entre los oferentes (plantas) y los demandantes (mercados).

Una compañía tiene una red logística que consta de dos plantas y dos centros de distribución (CD). Una de las plantas tiene una capacidad de producción de 150.000 unidades semanales y la otra de sólo 95.000 unidades semanales. Por otra parte la capacidad de despacho en cada ruta es de 65.000 unidades semanales (por ejemplo de la primera planta al segundo CD no se pueden enviar más de 65.000 unidades, lo mismo ocurre desde cualquier CD a cualquier mercado).

La compañía debe entregar sus productos semanalmente en tres mercados diferentes con demandas de 50.000, 80.000 y 45.000, respectivamente (no considerar el valor de demanda de 35.000 para el Mercado 2 que se observa en la imagen a continuación). El siguiente diagrama muestra los costos unitarios de transporte entre las distintas ubicaciones (por ejemplo el costo de transportar una unidad de la planta 1 al centro de distribución 2 cuesta $5).

Existe un costo fijo semanal por concepto de arriendo asociado a utilizar un centro de distribución correspondiente a $2.000 y $3.000, para el centro de distribución 1 y 2, respectivamente. El pago de dicho costo fijo habilita al centro de distribución para recibir productos de las plantas y despachar productos a los mercados (en caso de no asumir el costo fijo de un centro de distribución, éste no se podrá utilizar).

Formule y resuelva un modelo de optimización que permita escoger la política de producción y transporte de los productos, además del arriendo de centros de distribución que minimice los costos totales.

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Se desea minimizar los costos totales asociados a la logística de transporte desde las plantas a los centros de distribución, como de éstos hacia los mercados. Adicionalmente los costos de arriendo de los centros de distribución que se decidan utilizar.

Restricciones:

Capacidad de Producción de las Plantas (Semanal): la cantidad de unidades que puede enviar cada planta a los distintos centros de distribución no puede superar la capacidad de producción de la respectiva planta.

Disponibilidad de los Centros de Distribución: un centro de distribución puede recibir unidades desde las plantas en la medida que se decida su utilización (arriendo). En dicho caso se podrá recibir como máximo 130.000 unidades (2*M), en caso contrario no recibe nada.

Demanda de los Mercados: cada mercado debe recibir las unidades que demanda semanalmente desde los centros de distribución.

Máximo a Despachar en cada Ruta: en cada ruta (combinación de transporte de una planta a un centro de distribución o de un centro de distribución a un mercado) no se podrá enviar más de 65.000 unidades (representado por el parámetro M).

Balance en los Centros de Distribución: la cantidad de unidades que recibe un centro de distribución desde las plantas debe ser igual a las unidades que éste envíe a los mercados.

No Negatividad: se debe respetar las no negatividad para las variables de decisión continuas que representan la logística de transporte (eventualmente se podría exigir adicionalmente que adopten valores enteros)

La implementación del problema anterior haciendo uso de OpenSolver, permite alcanzar los resultados que se observan a continuación:

En la solución óptima de este problema de red logística de transporte y localización de centros de distribución se deben arrendar los 2 centros de distribución. La planta 1 produce 110.000 unidades semanales de las cuales envía 65.000 al centro de distribución 1 y 45.000 unidades al centro de distribución 2. Por otra parte la planta 2 produce sólo 65.000 unidades las cuales envía en su totalidad al centro de distribución 2. El centro de distribución 1 envía 50.000 unidades al mercado 1 y 15.000 unidades al mercado 2 (en el caso del centro de distribución 2, éste envía 65.000 y 45.000 unidades al mercado 2 y 3, respectivamente). Se puede apreciar que se satisfacen las condiciones anteriormente expuestas y se minimiza el costo total semanal que corresponde a $790.000 (valor óptimo).

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Problema de Arriendo de Camiones y Distribución de Carga en Programación Entera

Los problemas de optimización asociados a redes logísticas de distribución o cadenas de suministro, admiten distintas variantes que buscan representar los aspectos más relevantes de estas problemáticas. Tal es el caso del problema de localización y transporte, problema de producción y transporte, problema de transporte con transbordo, entre otros. En el siguiente artículo presentamos la formulación y resolución con Solver de Excel de un problema de arriendo de camiones y distribución de carga, que por su naturaleza se puede clasificar como un modelo de Programación Entera Mixta.

Una empresa debe transportar grava a tres construcciones. La empresa puede comprar hasta 18 toneladas de grava al norte de la ciudad (Foso 1) y hasta 14 toneladas al sur de la ciudad (Foso 2). Se necesitan 10, 5 y 10 toneladas de grava en las construcciones 1, 2 y 3, respectivamente. Los costos de transporte por tonelada desde cada foso a cada construcción y el precio de compra por tonelada de material en cada foso están dados en la siguiente tabla:

Adicionalmente, suponga que los camiones necesarios para el transporte de dicho material deben ser arrendados. Cada camión puede ser usado para llevar grava de un solo foso a una sola construcción. El arriendo de un camión es de $5 por camión. Un camión puede transportar 5 toneladas pero no tiene que ir necesariamente lleno. Formule y resuelva un modelo de programación lineal entera-mixta que permita tomar una decisión óptima del número de camiones a usar y la cantidad de material que va a transportar cada uno.

Variables de Decisión: Se debe establecer las toneladas de grava a transportar desde cada foso a cada construcción y adicionalmente especificar la cantidad de camiones utilizados para transportar grava para cada combinación origen destino.

Función Objetivo: Se busca minimizar los costos totales de compra, la logística de distribución y arriendo de camiones. En color amarillo se observan los costos de compra, con color verde los costos de transporte y con color celeste el costo de arriendo de los camiones.

Restricciones: A continuación se detallan las condiciones que deben satisfacer las variables de decisión para este problema.

Demanda de las Construcciones: cada construcción (1, 2 y 3, respectivamente) debe recibir las toneladas de grava.

Capacidad de Abastecimiento de los Fosos: la cantidad de toneladas de grava que cada foso puede despachar a las distintas construcciones no puede superar el máximo de compra.

Capacidad de Transporte de los Camiones: cada camión puede transportar como máximo 5 toneladas de grava. En consecuencia las toneladas de grava que como máximo se pueden transportar en cada combinación origen destino estará limitada a la cantidad de camiones contratados en dicho trayecto. Por ejemplo, si se arriendan 2 camiones para transportar grava desde el foso 1 a la construcción 1 (el lector podrá apreciar que en efecto eso es lo que sucede en la solución óptima que se detalla más abajo) la cantidad máxima a transportar serán 10 toneladas.

No Negatividad y Enteros: el número de camiones contratados para transportar grava en cada combinación origen destino necesariamente deberá ser un número entero mayor o igual a cero.

No Negatividad: las toneladas de grava a transportar desde cada foso a cada construcción deberá respetar las condiciones de no negatividad (se permite transportar fracciones de tonelada de grava).

Al implementar el modelo de optimización anterior haciendo uso de Solver de Excel se alcanza la siguiente solución óptima y valor óptimo.

Se observa que se arriendan en total 5 camiones (por un total de $25 por concepto de costo de arriendo): 2 camiones para llevar grava del foso 1 a la construcción 1 (transportando 10 toneladas), un camión para llevar grava del foso 2 a la construcción 2 (transportando 5 toneladas), un camión para transportar grava del foso 1 a la construcción 3 (transportando 5 toneladas) y un camión del foso 2 a la construcción 3 (transportando 5 toneladas). En consecuencia el costo de transporte total es de $90, asumiendo adicionalmente un costo de compra de $270. Finalmente el costo total (valor óptimo) es de $385 (sumatoria de los costos de arriendo de camiones, costo de transporte y costo de compra).

Problema de Arriendo de Buses para Transporte de Pasajeros en Programación Lineal

El siguiente problema de Programación Lineal consiste en determinar una política óptima de arriendo de buses para el transporte de pasajeros que minimice los costos asociados a su arriendo y satisfaga los requerimientos de transporte y otras condiciones adicionales que se deseen imponer.

El Centro de Alumnos de Ingeniería Industrial de una respetada universidad desea celebrar el día del alumno en la playa. Este paseo está planificado para 1.200 alumnos como mínimo. Una empresa de transporte ofrece 2 tipos de buses pero solo cuenta con 28 conductores. La tabla de abajo indica la capacidad y el costo de arriendo de cada tipo de bus:

Para mantener el equilibrio de su flota, la empresa de transporte impone la condición de que el número de buses tipo B arrendados no puede exceder el número de buses tipo A arrendados. Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal que permita determinar cuántos buses de cada tipo hay que arrendar para el paseo de modo que resulte lo más económico para el Centro de Alumnos.

Variables de Decisión:

$x$ : Cantidad de Buses Tipo A arrendados
$y$ : Cantidad de Buses Tipo B arrendados

Función Objetivo:

Minimizar $80.000x+110.000y$

Restricciones:

Cantidad de Alumnos: $40x+60y\geq 1.200$
Cantidad de Conductores: $x+y\leq 28$
Condición de Flota: $x-y\geq 0$
No Negatividad: $x,y\geq 0$

El dominio de soluciones factibles del problema esta dado por el polígono ABC según se detalla a continuación (representación gráfica realizada con el software Geogebra). En particular la solución óptima corresponde al vértice A donde $x=12$ e $y=12$ , con valor óptimo $V(P)=80.000*12+110.000*12=2.280.000$ .

Notar que si bien el problema fue modelado como uno de Programación Lineal, dadas las características del problema sería deseable obtener una solución entera para las variables de decisión (dado que no es posible arrendar una fracción de buses y asumir por ejemplo que el costo del mismo es proporcional a la capacidad ocupada). No obstante en el ejemplo propuesto la solución óptima obtenida cumple de forma natural con las condiciones de integralidad, lo que indica que sus resultados son idénticos al problema de Programación Entera asociado (es decir, aquel al cual se le agregan de forma explícita las condiciones de enteros para las variables de decisión).

De forma complementaria al análisis anterior se pueden responder las siguientes preguntas correspondientes al análisis de sensibilidad o postoptimal:

1. Determine cuánto podría variar el costo de arriendo del Bus tipo A que conserve la solución óptima. Si C1 (costo arriendo del Bus tipo A) varía en el intervalo entre [73.333,3 , ∞[ se conserva la actual solución óptima.

2. Determine el impacto en el valor óptimo del problema si se elimina la condición que el número de buses tipo B arrendados no puede exceder el número de buses tipo A arrendados. El precio sombra de la restricción de condición de flota es 4.000. Luego si se elimina la condición de flota la solución óptima se alcanza en la mínima variación $(x,y)=(0,20)$ para una reducción permisible del lado derecho de dicha restricción en 20 unidades. Luego el nuevo valor óptimo es $V(P)=2.280.000+(-20-0)*4.000=2.200.000$ .