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Problema de Producción y Transporte resuelto con Solver

El siguiente problema de producción y transporte fue enviado por uno de nuestros usuarios de Colombia de la ciudad de Santa Cruz de Lorica: “Una compañía que fabrica Cereal de Maíz tiene dos campos de siembra, el Campo I y el Campo II, y dos molinos, A y B. Las capacidades de suministro mensual de maíz de los Campos I y II son 125 y 245 toneladas, respectivamente. El molino A requiere por lo menos 190 toneladas de Maíz al mes y el B por lo menos 158 toneladas mensuales. Los costos de transporte en unidades monetarias por tonelada de cada Campo a cada molino son los siguientes: 2 del Campo I al molino A, 3 desde el Campo I al molino B, 4 desde el Campo II al molino A, y 5 desde el Campo II al molino B”.

¿Qué cantidad de Maíz debe transportarse desde cada Campo I y II a cada molino A y B de forma que se logre minimizar el costo total de transporte? ¿Cuál es ese costo mínimo? ¿Hay algún envío que no debe realizarse para conseguir dicho costo mínimo?.

Para una mejor comprensión del problema anterior representaremos gráficamente la información anterior donde se puede apreciar los distintos oferentes (Campos) y demandantes (Molinos), además de la capacidad de producción y demanda (en toneladas mensuales) junto a los costos de transporte para cada combinación origen destino.

Problema de Producción y Transporte

1. Variables de Decisión: (con i=I,II y j=A,B)

2. Función Objetivo: Minimizar los costos que se asumen mensualmente por el transporte de cereal desde los campos a los molinos.

3. Restricciones:

Capacidad de Producción de los Campos: La cantidad de toneladas que se transporte desde cada campo a cada uno de los molinos no puede superar su capacidad de producción.

Demanda de los Molinos: Cada molino debe recibir un mínimo de toneladas mensuales de cereal desde los campos.

No Negatividad: Las variables de decisión deben adoptar valores reales no negativos.

A continuación se detalla la implementación computacional del modelo de optimización haciendo uso de Solver de Excel:

Notar que la celda F9 es una fórmula asociada a la función objetivo que pondera los costos unitarios de transporte por las toneladas transportas en cada combinación de origen (campos) destino (molinos). La celda E3 es la suma de C3 y D3 (análogamente E4=C4+D4) representando las restricciones de capacidad. De similar forma la celda C5 es una fórmula que considera la suma de las celdas C3 y C4 (por supuesto D5=D3+D4). Una vez generada la estructura del modelo de Programación Lineal se carga éste en la interfaz de Solver:

La solución óptima (celdas color amarillo) consiste en transportar 125 toneladas del Campo I al Molino B y el Campo II envía 190 y 33 toneladas a los Molinos A y B, respectivamente. El valor óptimo es de 1.300 unidades monetarias.

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[sociallocker]Problema de Producción y Transporte[/sociallocker]

Problema de Asignación de Capacidad de un Avión (Programación Lineal)

La industria de transporte de pasajeros enfrenta diariamente el problema de determinar cómo asignar de forma eficiente su capacidad de transporte al momento de ofrecer distintos tipos de tarifas a sus clientes para una ruta específica. Para ello se debe considerar de forma simultanea los ingresos por venta asociados a cada tipo de tarifa, una estimación de demanda de los clientes por dichas tarifas y la capacidad del medio de transporte en términos de la cantidad de asientos.

El siguiente problema considera la formulación y resolución computacional de un Problema de Asignación de capacidad de un avión para una empresa de transporte aéreo. La complejidad del problema y el nivel de detalle de la información se ha simplificado para fines académicos.

Problema de Asignación de Capacidad de un Avión

Consideremos una línea aérea que realiza la ruta Santiago (Chile) a Bogotá (Colombia) con escala en Lima (Perú). Para dicha ruta utiliza un avión con capacidad de 200 pasajeros. El departamento de ventas ha estimado los precios de mercado (en dólares) para las combinaciones de origen destino de 3 tipos de tarifas que actualmente ofrece la empresa: “Tarifa Y” (primera clase), “Tarifa B” (estándar) y “Tarifa C” (turista).

Adicionalmente y según información histórica de esta ruta, la línea aérea ha estimado el número máximo de pasajes que los clientes demandarán por cada combinación de tarifa en un tramo del vuelo. Por ejemplo la demanda máxima esperada para el tramo Santiago (SCL) a Bogota (BOG) en la Tarifa B es de 35 tickets.

Con esta información la línea aérea desea determinar cómo asignar la capacidad del avión de modo de ofrecer un determinado número de pasajes para cada tipo de tarifa en un tramo del vuelo. Para ello definiremos el siguiente modelo de Programación Lineal:

Variables de Decisión:

Donde i=1,2,3 representa los distintos tipos de tarifa (Y, B y C, respectivamente) y j=1,2,3 las combinaciones de origen destino (SCL-LIM, LIM-BOG y SCL-BOG, respectivamente).

Parámetros:

Al utilizar una notación con parámetros podemos representar el modelo de optimización de forma compacta.

Función Objetivo:

Restricciones:

Se ofrece para cada tarifa en las combinaciones origen destino un número de tickets que no supere la demanda máxima del mercado.

Para cada tramo del vuelo se debe respetar la capacidad total del avión de 200 pasajeros.

Cuando el avión despega desde Santiago con destino Lima lleva pasajeros con destino tanto a Lima como Bogotá. Por tanto independiente de la tarifa que cada uno de estos pasajeros haya pagado (por ello la sumatoria en las tarifas) no pueden superar la capacidad total del avión. Lo anterior esta garantizado por la primera restricción de capacidad.

La segunda restricción de capacidad es para el tramo desde Lima a Bogotá, donde se consideran adicionalmente los pasajeros que vienen desde Santiago.

Finalmente se definen las condiciones de no negatividad.

Al resolver con Solver el problema anterior se alcanza la siguiente solución óptima que determina cuántos pasajes debería ofertar la línea aérea para cada combinación de tarifa y origen destino.

El valor óptimo del problema que representa los ingresos totales (en dólares) asociados a la solución óptima propuesta es de US$158.340.

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

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Solver, Premium Solver Pro y What’sBest! en la resolución del Problema de Localización y Transporte

¿Qué complemento de Excel es mejor para resolver un modelo de optimización: Solver, Premium Solver Pro o What’sBest!?. Esta consulta fue enviada por uno de nuestros seguidores de México y en este artículo trataremos de presentar algunos argumentos que permitan al lector formar una opinión al respecto. Para ello utilizaremos como caso aplicado la resolución del Problema de Localización y Transporte (Programación Entera Mixta). A continuación te presentamos los resultados que alcanzamos con Solver, Premium Solver Pro y What’sBest!.

Resolución con Solver: Se alcanza una solución factible con un costo total asociado de US$12.617.919.

Resolución con Premium Solver Pro: Se alcanza una solución factible con un costo total de US$12.414.340.

Resolución con What’sBest!: Se alcanza una solución factible con un costo total de US$12.414.340. Notar sin embargo que la solución óptima difiere de la alcanzada al implementar el modelo con Premium Solver Pro aun cuando tiene asociado idéntico valor de la función objetivo.

Comentarios: Se puede apreciar que la versión básica de Solver genera una solución factible con un costo mayor a la obtenida tanto con Premium Solver Pro y What’sBest!. Lo anterior sugiere la conveniencia de implementar este tipo de problemas con una herramienta de resolución mejorada. Adicionalmente, en la medida que un modelo de optimización crece en tamaño y complejidad es recomendable poder contrastar los resultados obtenidos con distintas herramientas de resolución de modo de tener una mayor claridad si las soluciones obtenidas son sólo factibles o eventualmente óptimas. A continuación encontrarás un tutorial que hemos subido a Youtube con la resolución del problema de localización y transporte.

Formulación de un Problema de Localización y Transporte (Programación Entera Mixta)

Un modelo de Programación Entera Mixta (PEM) es un híbrido entre la Programación Lineal (PL) y la Programación Entera (PE), es decir, corresponde a una categoría particular de modelamiento matemático con características similares a la Programación Lineal pero donde un subconjunto de las variables de decisión deben adoptar valores enteros o binarios. Este característica de la Programación Entera Mixta permite representar situaciones de naturaleza real como los problemas que consideran la inclusión de costos fijos. En este contexto el siguiente artículo aborda la formulación de un Problema de Localización y Transporte el cual se describe a continuación.

Una ciudad tiene 10 zonas o áreas urbanas cada una de los cuales genera una determinada cantidad de basura (en toneladas) durante el periodo de planificación según se describe a continuación:

La basura generada debe ser transportada a centros de depósitos o vertederos entre un total de 5 candidatos posibles, cada uno de los cuales tiene un costo fijo de construcción en dólares.

Adicionalmente se ha estimado el costo de transportar una tonelada de basura desde una zona a cada uno de los potenciales centros de depósito, el cual depende básicamente de la distancia a recorrer y el tipo de transporte seleccionado.

Formule un modelo de Programación Entera Mixta que permita seleccionar los centros de depósito a construir y la política de transporte de basura que minimiza los costos totales.

1. Variables de Decisión: Sea i=1,…,10 las Zonas y j=1,…,5 los Depósitos:

2. Función Objetivo: Con el propósito de trabajar con una notación compacta podemos definir el siguiente conjunto de parámetros para el modelo de optimización:

Tij: Costo de transportar una tonelada de basura desde la Zona i al Depósito j
Fj: Costo fijo de construcción del Depósito j

La función objetivo en consecuencia se puede representar a través de la siguiente expresión:

3. Restricciones:

Se debe despachar (transportar) la totalidad de la basura que genera cada Zona (definimos para ello el parámetro Ai como la cantidad de basura en toneladas que genera la Zona i).

Se debe respetar la capacidad de almacenamiento de basura para cada Depósito, utilizándolo sólo en caso que se decida su construcción. Para ello definimos el parámetro Cj como la capacidad de almacenamiento de basura en toneladas del Depósito j. Lo anteriormente expuesto explica la ponderación de la capacidad por la variable binaria para cada j.

Finalmente establecemos condiciones de no negatividad para Xij>=0 Para todo i,j y Yj{0,1} para todo j.

¿Quieres saber cuál es la solución de este problema?. Te recomendamos leer el siguiente artículo: Solver, Premium Solver Pro y What’sBest! en la resolución del Problema de Localización y Transporte.

Modelo de Transporte con Transbordo resuelto con Solver de Excel

Una de las aplicaciones clásicas de la Investigación de Operaciones y en particular de la Programación Lineal es proponer alternativas óptimas para el proceso logístico o transporte de insumos o productos desde un conjunto de oferentes hasta un conjunto de destinatarios o demandantes.

Cuando consideramos que en este proceso de transporte pueden participar intermediarios estamos frente a una extensión del modelo básico de transporte el cual es comúnmente conocido como Modelo de Transporte con Transbordo. A continuación presentaremos un caso aplicado de dicho modelo.

Ejemplo Problema de Transporte con Transbordo

Se deben transportar 20 millones de barriles de petróleo desde Dhahran en Arabia Saudita a las ciudades de Rotterdam, Marsella y Nápoles en Europa. Las demandas de estas tres ciudades son 4, 12 y 4 millones de barriles, respectivamente. A continuación se presenta un diagrama con las posibles rutas:

Observe que para cada ciudad existe la posibilidad directa de envío, es decir, que los barriles sean transportados directamente desde Dhahran. Sin embargo, la ruta que une Dhahran y Marsella no puede transportar más de 3 millones de barriles debido a ciertos acuerdos comerciales.

Por otro lado, existe la posibilidad que se realice una detención, ya sea en el puerto de Alejandría o Suez, donde la capacidad de almacenamiento es de 8 y 10 millones respectivamente.

Por último, observe que es posible enviar barriles de petróleo desde Marsella a Nápoles. Sin embargo, le está prohibido a Nápoles recibir más petróleo de Marsella que directamente de Dhahran. Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal que permita hallar la política óptima de transporte para cumplir con los requerimientos de demanda de los puertos.

Variables de Decisión:

X1: Barriles transportados desde Dhahran a Rotterdam
X2: Barriles transportados desde Dhahran a Marsella
X3: Barriles transportados desde Dhahran a Nápoles
X4: Barriles transportados desde Dhahran a Alejandría
X5: Barriles transportados desde Dhahran a Suez
X6: Barriles transportados desde Alejandría a Rotterdam
X7: Barriles transportados desde Alejandría a Marsella
X8: Barriles transportados desde Suez a Marsella
X9: Barriles transportados desde Suez a Nápoles
X10: Barriles transportados desde Marsella a Nápoles

Función Objetivo:

Minimizar los costos totales de transportes dados por la siguiente expresión: 7X1 + 8X2 + 15X3 + 6X4 + 5X5 + 8X6 + 7X7 + 2X8 + 6X9 + 1X10

Restricciones:

Satisfacer la Demanda en los Puertos:

X1 + X6 = 4.000.000 (Rotterdam)
X2 + X7 + X8 – X10 = 12.000.000 (Marsella)
X3 + X9 + X10 = 4.000.000 (Nápoles)

Notar que Marsella eventualmente podría recibir más de 12 millones de barriles de petróleo (su demanda) debido a que este Puerto tiene la posibilidad de abastecer a Nápoles.

Balance en el Transbordo:

X4 = X6 + X7 (Alejandría)
X5 = X8 + X9 (Suez)

La cantidad de barriles que recibe Alejandría y Suez debe ser igual a lo que cada uno de ellos despacha a los Puertos, es decir, los intermediarios no acumulan inventario al final del periodo de planificación. En este punto es importante destacar que si se considera un modelo extendido donde se busca satisfacer los requerimientos de demanda de varios periodos podría ser admisible almacenar inventario en Alejandría y Suez, cambiando en este caso la forma del modelo de optimización.

Capacidad de Procesamiento en el Transbordo:

X4 <= 8.000.000 (Alejandría)
X5 <= 10.000.000 (Suez)

Tanto Alejandría como Suez no pueden recibir una cantidad de barriles mayor a la que pueden procesar.

Capacidad Ruta entre Dhahran y Marsella:

X2 <= 3.000.000

La ruta que une Dhahran y Marsella no puede transportar más de 3 millones de barriles por acuerdos comerciales.

Cantidad Recibida por Nápoles:

X3 >= X10

Está prohibido a Nápoles recibir más petróleo de Marsella que directamente de Dhahran.

No Negatividad:

Xi >= 0 Para todo i

Al implementar el modelo anterior con Solver de Excel se obtienen los siguientes resultados:

Donde la solución alcanzada tiene la siguiente estructura (sobre los arcos se detalla el valor de la solución óptima):