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Cómo obtener la Ruta Crítica de un Proyecto (Critical Path Method)

El método de la Ruta Crítica conocida también por CPM por sus siglas en inglés (Critical Path Method) es una metodología de la Gestión de Proyectos que nos permite entre otros aspectos estimar la duración de un Proyecto. Para este propósito es necesario conocer las actividades que contempla el proyecto, su duración en una unidad de tiempo y el orden en el cuál deben ser realizadas (por ejemplo, algunas actividades se pueden desarrollar sólo cuando una o varias actividades previas o predecesoras han sido completadas).

Cómo obtener la Ruta Crítica de un Proyecto

El ejemplo a continuación muestra en detalle la aplicación del Método de Ruta Crítica a un proyecto que consta de 9 actividades cuyos tiempos estimados se encuentran en semanas. Adicionalmente en la columna “Predecesor” se establece el orden en el cual se deben realizar las distintas actividades, por ejemplo, la Actividad G se puede realizar una vez completada las Actividades D y F.

En este contexto resulta de utilidad desarrollar un Diagrama o Representación Gráfica del Proyecto donde cada nodo representa una actividad, el número al interior del paréntesis la duración de dicha actividad, y las flechas un camino o ruta consistente con las relaciones de precedencia.

Por ejemplo, la Actividad G tiene una duración estimada de 14 semanas y dicha actividad se puede iniciar una vez que hayan concluido sus predecesores, es decir, las Actividades D y F.

Se puede observar adicionalmente que las actividades iniciales son A y B y la actividad final es I.

Una actividad inicial es aquella que se puede comenzar inmediatamente y no existe ninguna otra actividad que le precede.
Una actividad final es una actividad que termina una ruta o camino del proyecto y en consecuencia no es predecesora de ninguna otra actividad del proyecto.

Por tanto la duración del proyecto estará determinado por aquella ruta o camino más largo que comenzando en una actividad inicial concluya en una actividad final. En nuestro ejemplo, un camino que comenzando en A (o en B) termine en I.

Luego, dado el tamaño reducido de este ejemplo es posible enumerar todas las posibilidades rutas o caminos que satisfacen la condición anterior:

Ruta: A-C-I: 5[sem]+4[sem]+2[sem]=11[sem]
Ruta: A-D-G-I: 5[sem]+3[sem]+14[sem]+2[sem]=24[sem]
Ruta: A-E-F-G-I: 5[sem]+1[sem]+4[sem]+14[sem]+2[sem]=26[sem]
Ruta: B-H-I: 6[sem]+12[sem]+2[sem]=20[sem]

La Ruta Crítica por tanto es A-E-F-G-I lo que determina que la duración del proyecto es de 26[sem].

Adicionalmente podemos estimar cuándo es lo más pronto que se puede comenzar cada actividad (inicio más cercano o IC – color rojo) y cuándo es lo más pronto que se puede terminar una actividad (término más cercano o TC – color azul).

Por ejemplo, para obtener el inicio más cercano y el término más cercano, en el caso de la Actividad A, éste será la semana 0 y 5, respectivamente. De la misma forma, lo más pronto que puede comenzar la Actividad C será en la semana 5 (tan pronto concluyo su predecesor que es la Actividad A) y lo más pronto que puede terminar es en la semana 9 (dado que la duración de la Actividad C es de 4 semanas) y así se continua el procedimiento desde el inicio hasta el final del proyecto.

En forma complementaria se puede obtener el tiempo más lejano en el cual se puede terminar una actividad sin atrasar el proyecto (término más lejano o TL – verde) y cuándo es lo más tarde que se puede comenzar una actividad sin retrasar el proyecto (inicio más lejano o IL – naranjo). Para obtener dichos tiempos retrocedemos desde la actividad final (I) hacia las actividades iniciales (A y B).

Por ejemplo, lo más tarde que puede terminar la Actividad H sin retrasar el proyecto es en la semana 24 (si termina más tarde de ello, entonces la Actividad I no se podrá iniciar en la semana 24 y por tanto el proyecto terminará más tarde que la semana 26). Naturalmente dado lo anterior, la Actividad H no podrá comenzar más tarde que la semana 12 si es que se desea terminar el proyecto en 26 semanas.

En este contexto se define el término Holgura (H) o Slack como el tiempo máximo que una actividad se puede retrasar en su inicio sin que esto afecte el tiempo estimado para terminar el proyecto como un todo:

Holgura = IL – IC = TL – TC

El siguiente diagrama muestra la ruta del proyecto con el cálculo de las holguras de cada una de las actividades. Se puede apreciar por ejemplo que la actividad B se puede retrasar un máximo de 6[sem] (su holgura) y aun así estar en condiciones de terminar el proyecto en 26[sem].

Adicionalmente las actividades que pertenecen a la ruta crítica tienen holgura igual a cero, lo que en este ejemplo en particular permite identificar una ruta única: A-E-F-G-I (notar que en general un proyecto puede tener más de una ruta o camino crítico).

Actualización: De forma de corroborar los resultados anteriores, a continuación se presenta una Carta Gantt del Proyecto obtenido a través del Método de Ruta Crítica (CPM). Con color rojo se destacan aquellas actividades que forman parte de la ruta crítica con holgura igual a cero.

Ejemplo del Problema del Camino Más Corto en Programación Entera

El Problema del Camino más Corto (o ruta más barata) consiste en encontrar una ruta o camino óptimo entre un nodo fuente y un nodo destino, los cuales están enlazados a través de una red con arcos que poseen un cierto atributo, el cual puede ser costo, distancia, tiempo, etc.

La Programación Entera permite abordar de forma eficiente este tipo de problemas, en especial cuando la cantidad de nodos y rutas posibles resulta ser un número significativo. Utilizar en estos casos un enfoque intuitivo de resolución es tedioso y de no ser exhaustivo no garantiza la identificación de la mejor alternativa o ruta.

Consideremos el siguiente diagrama donde los números asignados a cada uno de los arcos representan la distancia en kilómetros de un nodo a otro. Se desea encontrar la ruta con la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 8.

El tamaño reducido de la red anterior permite encontrar el camino más corto simplemente enumerando las distintas alternativas que comenzando en el nodo 1 permita llegar al nodo 8. De esta forma las rutas posibles son:

Ruta 1-2-5-7-8: 4+8+17+9=38[km]
Ruta 1-3-4-7-8: 3+12+20+9=44[km]
Ruta 1-3-4-6-8: 3+12+2+22=39[km]
Ruta 1-3-4-8: 3+12+15=30[km]
Ruta 1-3-6-8: 3+4+22=29[km]

La ruta o camino más corto esta dada por la secuencia 1-3-6-8 con una distancia total de 29[km].

A continuación se formula un modelo de Programación Entera que permite extender este tipo de resultados a un problema de estas características:

Variables de Decisión:

Función Objetivo: Minimizar la distancia total en [km] dada por la siguiente expresión:

Restricciones:

La primera restricción (1) garantiza que sólo un nodo (entre el 2 y el 3) pueda ser el que se visita a continuación de comenzar en el nodo 1.
La restricción (2) determina que si se visito el nodo 2 después del nodo 1, entonces necesariamente el nodo 5 será visitado después del nodo 2.
La restricción (3) permite verificar que si el nodo 3 fue visitado luego del nodo 1, entonces a continuación se visita el nodo 4 o el nodo 6 (sólo uno de ellos).
La restricción (4) establece que si el nodo 5 fue visitado luego del nodo 2, entonces el nodo 7 debe ser visitado luego del nodo 5.
La restricción (5) garantiza que si el nodo 4 fue visitado luego del nodo 3, entonces a continuación se visita uno de los siguientes nodo: 7, 8 o 6.
La restricción (6) indica que si el nodo 6 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 3 o 4, a continuación se visita el nodo 8.
La restricción (7) determina que si el nodo 7 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 4 o 5, a continuación se visita el nodo 8.
Finalmente la restricción (8) asegura que ya sea el nodo 7, 4 o 6 sea el último en visitar previo a terminar la ruta en el nodo 8.

Al implementar en Solver el problema del Camino más Corto o Ruta Mínima anterior se alcanzan los siguientes resultados:

Donde se corrobora que la ruta más corta (solución óptima) corresponde al camino 1-3-6-8 con una distancia total de 29[km] (valor óptimo).

El tutorial a continuación disponible en nuestro canal de Youtube muestra en detalle la implementación y resolución computacional de este problema:

Formulación un modelo de Programación Entera para un Plan Maestro de la Producción (PMP)

La Planificación Agregada y el Plan Maestro de la Producción (PMP o MPS según sus siglas en inglés Master Production Schedule) son metodologías ampliamente utilizadas hoy en día en empresas de manufactura para planificar las necesidades de producción de una serie de productos, de modo de responder a un pronóstico de demanda a través de los recursos productivos que se disponen.

En este contexto, la evidencia empírica muestra que existen diversas estrategias que se pueden utilizar para enfrentar la demanda, cada una de las cuales se puede valorar en términos de costos pero también a través de una serie de criterios cualitativos que por su naturaleza son difíciles de estimar en una unidad monetaria.

A continuación se presenta un gráfico con el Pronóstico de Demanda de un producto para el cual propondremos un modelo de optimización que permita cumplir con dichos requerimientos, minimizando los costos asociados a la utilización de los recursos productivos:

Se puede apreciar que la demanda presenta una estacionalidad marcada donde al inicio y final del año los valores son menores a la demanda de un mes promedio (7.817 unidades).

En contraste con lo anterior en los meses de Junio, Julio y Agosto se presenta un peak de demanda, superando en magnitud claramente lo que correspondería a la demanda de un mes promedio. Adicionalmente consideremos los siguientes antecedentes de operación:

Costo de Contratar un Trabajador: US$1.000
Costo de Despedir un Trabajador: US$1.800
Costo de Almacenamiento Unitario Mensual: US$10
Inventario Inicial: 500 unidades
Costo Remuneración (Sueldo) de un Trabajador al Mes: US$600
Número de Trabajadores al Inicio de la Planificación: 100
Unidades de Producto producidas por un Trabajador al Mes: 50

La pregunta inmediata es: ¿Cómo responder a la demanda pronosticada durante el período de planificación al menor costo posible?. Algunas posibles respuestas son:

Fuerza Laboral Exacta: Esto es mediante contratación y despido de trabajadores para responder de forma exacta a las necesidades de cada mes. Con esta alternativa se busca evitar la acumulación de inventario.

Acumulación y Liquidación de Inventario: Producir en mayor volumen en los meses de menor demanda de modo de acumular inventario para enfrentar los requerimientos adicionales de los meses de mayor demanda. Si se considera adecuado se puede utilizar esta alternativa buscando no afectar el tamaño de la fuerza laboral.

Por cierto también se puede utilizar una estrategia mixta o híbrida que mezcle por ejemplo características de las 2 opciones presentadas anteriormente. Este enfoque generalmente es el que permite alcanzar menores costos.

Adicionalmente cabe destacar que en un Plan Maestro de la Producción (PMP) se podrían considerar otras alternativas o variables de ajuste no consideradas en este ejemplo como la utilización de trabajadores en tiempo extraordinario, la subcontratación parcial de la producción, la eventual postergación de demanda, entre otras opciones.

Luego, en relación a los antecedentes de operación previamente detallados, un modelo de Programación Entera para el Plan Maestro de la Producción es:

1. Variables de Decisión:

2. Función Objetivo:

3. Restricciones:

Satisfacer la Demanda (Balance de Inventario): Donde Dt corresponde a la demanda pronosticada para el mes t (parámetros).

Balance Mano de Obra: La cantidad de trabajadores en operación en cada período corresponde a los trabajadores disponibles al final del mes anterior, más los contratados y menos los despedidos en el mes en curso.

Capacidad de Producción: La producción de cada mes se ve limitada por la disponibilidad de trabajadores y el rendimiento mensual (en unidades de producto) que cada uno de éstos tiene.

No Negatividad e Integralidad: Todas las variables de decisión deben adoptar valores no negativos y adicionalmente ser enteras.

El modelo anterior se puede implementar con Solver y What’sBest! obteniendo los siguientes resultados:

Implementación Computacional en Solver: Se alcanza una solución factible con valor en la función objetivo de US$1.468.700.

El detalle de la resolución la puedes revisar en el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube:

Implementación Computacional con What’sBest!: Se alcanza una solución factible con valor en la función objetivo de US$1.468.400, la cual es ligeramente inferior en costos a la solución obtenida con Solver.

La carga del modelo en What’sBest! y la obtención de los resultados anteriores se puede revisar en el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube:

[sociallocker]Problema PMP www.gestiondeoperaciones.net[/sociallocker]

Programación No Lineal no Convexo

A diferencia de la Programación Lineal donde sus distintas aplicaciones corresponden a problemas de optimización convexos (situación que facilita la resolución computacional), en Programación No Lineal no existen garantías a priori que permita garantizar que un modelo en particular será un problema convexo.

Es decir, una aplicación de Programación No Lineal puede ser un problema convexo o un problema no convexo.

En este artículo abordaremos a través de un ejemplo sencillo las dificultades prácticas y algorítmicas asociadas a la resolución de un modelo de Programación No Lineal no convexo.

Consideremos el siguiente modelo matemático no lineal con restricciones:

Una primera aproximación a su resolución consiste en graficar la función anterior utilizando Geogebra:

Se puede observar que la función es no convexa, constatándose adicionalmente la presencia de mínimos locales (por ejemplo los Puntos B y C) y mínimo global (Punto A).

En este sentido la expectativa que debiéramos tener al implementar este problema computacionalmente es obtener la solución óptima para un valor de x en el intervalo entre [4,5] (por simple inspección) lo que corresponde al Punto A de la gráfica anterior.

Una alternativa de resolución computacional para este problema es utilizar AMPL como lenguaje de programación matemática y MINOS 5.5 como solver de resolución. El código de la implementación y los resultados alcanzados se muestra a continuación:

La solución óptima encontrada por el algoritmo corresponde a x=1 (Punto C) lo que permite alcanzar un valor en la función objetivo igual a cero: f(1)=0. Claramente según nuestro gráfico esta solución corresponde sólo a un mínimo local aun cuando el programa sugiere que es el mínimo global del problema.

Otra alternativa de resolución consiste en la utilización de Solver. En primera instancia el algoritmo converge a la solución x=1 con f(1)=0.

Sin embargo, si manualmente editamos el valor de la celda color amarillo B3 (variable de decisión) a “2” y reoptimizamos con Solver se obtiene lo siguiente:

Se alcanza ahora una nueva solución con x=2,45608774 con f(2,45608774)=-1,41869663 lo que corresponde al Punto B de nuestro gráfico y que si bien corresponde a un mínimo local provee un valor menor en la función objetivo al ser comparado con el Punto C. En este contexto resulta razonable considerar el valor “4” para la celda cambiante como punto de partida para una nueva reoptimización:

Ahora obtenemos lo que correspondería al mínimo global del problema (Punto A) con solución óptima x=4,64443285 y valor óptimo f(4,64443285)=-3,63143221.

Finalmente hemos resuelto el problema con What’sBest! donde en el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube mostramos los detalles de la implementación:

Luego de reoptimizar sobre la solución local alcanzada en primera instancia se obtiene el mínimo global del problema (Punto A):

Conclusiones: Las principales dificultades enfrentadas al intentar resolver un modelo de Programación No Lineal no convexo es no tener la certeza si la solución obtenida a través de una herramienta computacional corresponde a un mínimo local o mínimo global.

Con las herramientas presentadas en este artículo fue necesario reoptimizar sobre soluciones obtenidas en primera instancia para encontrar la solución óptima del problema. Cabe destacar que en este ejemplo al disponer de una representación gráfica del problema sabíamos de antemano cuál era la solución del problema lo cual nos permitía contrastar los resultados computacionales. En este sentido claramente un modelo de mayor complejidad (por ejemplo, un mayor número de variables de decisión y/o restricciones) una aproximación intuitiva no tiene sentido práctico.

En este contexto una de las principales áreas actuales de desarrollo de la Investigación de Operaciones es proveer de métodos numéricos de resolución que permita abordar de forma eficiente la complejidad de esta categoría de problemas de optimización.

Problema de Plan de Personal en un Call Center (Programación Entera)

Una línea aérea está considerando incorporar vuelos desde y hacia su aeropuerto base y por lo tanto necesita contratar más agentes de servicio al cliente. Sin embargo, no está claro cuántos más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo brindar un nivel de atención satisfactorio. Se ha realizado un análisis del número mínimo de agentes de servicio que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio.

Se ha acordado que cada agente trabaje un turno de 8 horas en los turnos mostrados en la tabla anterior. Por ejemplo, el turno 3 va desde las 12:00 hasta las 20:00. Los sueldos de cada turno son diferentes debido a que unos son más deseables que otros. Por ejemplo, a cada agente que cumpla el turno 3 debemos pagarle diariamente $175.

Se busca formular y resolver un modelo Programación Entera que permita a la línea aérea encontrar el plan de asignación de agentes al menor costo posible y que cumpla los requerimientos impuestos.

1. Variables de Decisión: Establecer un plan de asignación de agentes a los distintos turnos de trabajo.

Xi: Número de Agentes asignados al Turno i con i=1,2,3,4,5 con Xi>=0 {Enteros}

2. Función Objetivo: Minimizar el costo total de la asignación de agentes.

Minimizar 170X1+160X2+175X3+180X4+195X5

3. Restricciones: Se busca garantizar que en cada período del día se cuenta con la cantidad mínima de agentes requeridos.

X1 >= 48
X1 + X2 >= 79
X1 + X2 >= 65
X1 + X2 + X3 >= 87
X2 + X3 >= 64
X3 + X4 >= 73
X3 + X4 >= 82
X4 >= 43
X4 + X5 >= 52
X5 >= 25

A continuación implementamos el modelo anterior en Solver. Notar que las celdas color amarillo son las asignadas a las variables de decisión y éstas a la vez vinculan las combinaciones posibles entre turnos y períodos atendidos.

Adicionalmente en la columna I se ha guardado el valor del lado izquierdo de las restricciones que garantizan el mínimo número de agentes por período.

Finalmente la función objetivo (celda color naranjo) corresponde a la suma producto entre las variables de decisión y los parámetros que representan el costo diario por agente en los respectivos turnos (SUMAPRODUCTO(C4:G4;C19:G19)).

La implementación del modelo anterior en la interfaz de Solver es la siguiente:

Alcanzando la solución óptima del problema que considera la asignación de 48, 31, 39, 43 y 25 personas a los turnos 1,2,3,4 y 5, respectivamente, con un costo total (mínimo) de $32.560.

El siguiente video de nuestro canal en Youtube muestra la resolución del problema anterior:

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

[sociallocker]Descargar Aquí Problema Agentes Call Center[/sociallocker]